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解决方案1：
2020年上海市春季高考压轴题（21题）圆锥曲线详解
题目：
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，其中 $c = sqrt{a^2 - b^2}$。过点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 $angle AF_1F_2 = 30^circ$，$angle BF_1F_2 = 60^circ$，则 $frac{b}{a}$ 的值为 _______。
详解：
步骤1：确定直线$l$的斜率
已知 $angle AF_1F_2 = 30^circ$ 和 $angle BF_1F_2 = 60^circ$，则 $angle AFB = angle AF_1F_2 + angle BF_1F_2 = 90^circ$。这意味着 $triangle AFB$ 是一个直角三角形，且 $angle BAF = 60^circ$，$angle ABF = 30^circ$。设 $|AF_2| = m$，由 $angle BAF = 60^circ$ 和 $angle AF_1F_2 = 30^circ$，利用正弦定理可得 $|AF_1| = 2m$。由椭圆的定义 $|AF_1| + |AF_2| = 2a$，解得 $m = frac{2}{3}a$。同理，设 $|BF_2| = n$，由 $angle ABF = 30^circ$ 和 $angle BF_1F_2 = 60^circ$，可得 $|BF_1| = frac{n}{2}$。由椭圆的定义 $|BF_1| + |BF_2| = 2a$，解得 $n = frac{4}{3}a$。因此，直线$l$的斜率 $k_{AB} = frac{n - m}{|F_1F_2|} = frac{frac{4}{3}a - frac{2}{3}a}{2c} = frac{a}{3c}$。步骤2：利用直线$l$的方程和椭圆方程求解交点
直线$l$的方程为 $y = frac{a}{3c}(x - c)$。将此方程代入椭圆方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，得到：$frac{x^2}{a^2} + frac{(frac{a}{3c}(x - c))^2}{b^2} = 1$化简得：$(9c^2 + a^2)x^2 - 6a^2cx + a^2(a^2 - 9c^2) = 0$由韦达定理，$x_1 + x_2 = frac{6a^2c}{9c^2 + a^2}$，$x_1x_2 = frac{a^2(a^2 - 9c^2)}{9c^2 + a^2}$。步骤3：利用弦长公式和已知条件求解
已知 $|AF_2| = frac{2}{3}a$，$|BF_2| = frac{4}{3}a$，则 $|AB| = |AF_2| + |BF_2| = 2a$。弦长公式 $|AB| = sqrt{1 + k^2}|x_1 - x_2|$，代入得：$2a = sqrt{1 + (frac{a}{3c})^2}|frac{6a^2c}{9c^2 + a^2}sqrt{1 - frac{4a^2(a^2 - 9c^2)}{(9c^2 + a^2)^2}}|$化简得：$4a^2 = (1 + frac{a^2}{9c^2})(frac{36a^4c^2}{(9c^2 + a^2)^2} - frac{4a^2(a^2 - 9c^2)}{(9c^2 + a^2)})$进一步化简得：$36a^4c^2 + 4a^6 = 36a^4c^2 + a^6 - 36a^4c^2 + 36a^2c^4$整理得：$3a^6 = 36a^2c^4$解得：$a^4 = 12c^4$即 $a^2 = 2sqrt{3}c^2$ 或 $a^2 = -2sqrt{3}c^2$（舍去）。步骤4：求解$frac{b}{a}$
由 $c^2 = a^2 - b^2$，代入 $a^2 = 2sqrt{3}c^2$，得：$c^2 = frac{a^2}{2sqrt{3}}$$b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - frac{a^2}{2sqrt{3}} = frac{2sqrt{3}a^2 - a^2}{2sqrt{3}} = frac{sqrt{3}a^2}{2sqrt{3}} = frac{a^2}{2}$因此，$frac{b}{a} = sqrt{frac{b^2}{a^2}} = sqrt{frac{1}{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。综上所述，$frac{b}{a}$ 的值为 $frac{sqrt{2}}{2}$。
图片展示：
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（注：图片为题目示意图，有助于理解题目中的几何关系，但解题过程主要依赖于文字描述和数学推导。）