椭圆与双曲线的经典性质50条--(必背的经典结论)

椭 圆

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y221. 15、若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26、若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27、椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2x2y28、 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211、AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则

abb2x0b2kOMkAB2，即KAB2。

aay0x0xy0yx02y02x2y212、若P则被Po所平分的中点弦的方程是2222 0(x0,y0)在椭圆221内，

abababx2y2x2y2x0xy0y13、若P则过Po的弦中点的轨迹方程是2222. 0(x0,y0)在椭圆221内，

ababab 1 / 6

双曲线

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切P在右支；外切P在左支）

x0xy0yx2y21. 15、若P在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是(x,y)P0000a2b2a2b2x2y26、若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点

abxxyy为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27、 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点

abF1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot.

2x2y28、 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.

当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

1）设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

2）过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y23） AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中

abb2x0b2x0点，则KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x0xy0yx02y02x2y24)若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则PO所平分中点弦方程是2222.

abababx2y2x2y2x0xy0y5)若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过PO弦中点轨迹方程是2222.

ababab

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椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y21、椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭

abx2y2圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22、过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆

abb2x0于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23、若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2,

abPF2F1，则

actancot. ac22x2y24、 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一

ab点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsinax2y25、若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21ab时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26、P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

ab则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7、椭圆22abA2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y28、已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

ab 3 / 6

4a2b2a2b2111122

22（（1）;2）|OP|+|OQ|的最大值为22（;3）SOPQ的最小值是22. 22|OP||OQ|abababx2y29、过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的

ab|PF|e垂直平分线交x轴于P，则.

|MN|2x2y210、已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线

aba2b2a2b2x0与x轴相交于点P(x0,0), 则. aax2y211、设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

ab2b22.(2) SPF1F2btan. F1PF2，则(1)|PF1||PF2|21cosx2y212、设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

ab2ab2|cos|PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|2.(2)

ac2cos22a2b22cot. tantan1e.(3) SPAB2ba2x2y213、已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线

ab与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

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17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

双曲线

x2y21、双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线

abx2y2交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221.

abx2y22、过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交

abb2x0双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）.

ay0x2y23、若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,

abPF1F2, PF2F1，则

cacatancot（或tancot）. ca22ca22x2y24、设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任

ab意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F则有1F2P，

since.

(sinsin)ax2y25、若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e

ab≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y26、P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

ab|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y27、双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

ab 5 / 6

A2a2B2b2C2.

x2y28、已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

ab4a2b2a2b2111122

（1）;2）|OP|+|OQ|的最小值为2（;3）（SOPQ的最小值是22.

ba2ba|OP|2|OQ|2a2b2x2y29、过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，

ab|PF|e弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

|MN|2x2y210、已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线

aba2b2a2b2与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0.

aax2y211、设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

ab2b22.(2) SPF1F2bcot. F1PF2，则(1)|PF1||PF2|21cosx2y212、设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，

abPAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，

2ab2|cos|2a2b22cot. 则有(1)|PA|22 (2) tantan1e.(3) SPAB2ba2|accos2|x2y213、已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F

ab的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段

EF 的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率)(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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