直线的倾斜角和斜率(第6讲)

7.1 直线的倾斜角和斜率

主要内容

1、初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念；

2、掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。

学习指导

1、从本讲开始，同学们开始接触数学的一个重要的分支——《平面解析几何》。它的研究对象是平面几何中的图形，研究方法是通过代数的有关知识（方程组，不等式等）去解决平面图形的位置关系及几何性质，最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。

通过建立平面直角坐标系，建立了平面图形的最基本元素——点与实数集中——对有序实数对（x，y）之间的一一对应关系。在此基础上，建立了图形与方程之间的一一对应关系，进而将形的问题等价转换为数的问题，如图形的几何性质转化为方程特征，图形之间位置关系转化为方程组的解，等等。例如，直线与二元一次方程之间的对应关系，由作函数图象的描点法可知，当某点的坐标满足函数解析式（横、纵坐为对应的原象与象）时，该点一定在该函数对应的图象上；尽管描点法指的是特殊点，实质上我们知道，该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想，用解析几何的语言可叙述为：

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；同时，这条直线上的所有点的坐标都是该方程的解。此时称该方程为“直线的方程”，这条直线是“方程的直线”。正因为有这样对应关系，所以可简说成“直线y=kx+b”。

上述概念体现了形与数互相转化的两个方面：①点直线上坐标满足方程；②有序数对是方程的解

点在线上。

2、用解析法研究几何问题的一般步骤是：①建立坐标系；②设出必需的点的坐标；③代数运算得到问题的代数解；④代数解回到几何解。

在用代数方法求解过程中，除未知数x、y及已知量外，有时还需引入适当参数。

3、倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。 （1）已知倾斜角为α，求斜率k时

α k 0 0 （0，） 2 2不存在 （,） 2（0，+∞） （-∞，0） （2）已知斜率k，求倾斜角α时 法一：k≥0时，α=arctank k<0时，α=π+arctank 法二：k=0时，α=0

1 k4、斜率的坐标公式是借助于向量工具推导的。同学们在学习过程也应注重对已学知识的复习及运用。 k≠0时，α=arccot

由教材P36方向向量的定义，P1P2的方向向量为λP1P2（λ∈R），其中一个特殊的方向向量为（1，k），k为直线P1P2斜率，它在后面研究直线位置关系时仍会用到。



典型例题

例1、试用解析法证明：△ ABC中，M为BC中点，则AB+AC=2(AM+MC)。 解题思路分析：

第一步是建立适当的坐标系，所谓适当，是指借助于图形的对称性，或使尽可能多的点在坐标轴上，或尽可能将图形置于第一象限，等等。就本题来讲，可以如图建立坐标系，也可以把点M作为原点，BC

1

2

2

2

2

所在直线为x轴等。

第二步是设出必要的已知量。本题△ABC确定，可设B（0，0），C（a，0），A(b，c)，同时确定与已知量相关的量，如本题M(

a，0)。 2第三步是借助于代数运算解决几何问题，利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。 |AB|=b+c，|AC|=(b-a)+c ∴ |AB|+|AC|=a+2b+2C-2ab

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a22a2a22

|AN|=(b-)+c，|MC|=(a-)=

4222

a2222

ab)=a+2b+2c-2ab ∴ 2(|AM|+|MC|)=2(b+c+22

2

2

2

∴ |AB|+|AC|=2(|AM|+|MC|) 最后写出原命题需证的结论： AB+AC=2（AM+MC）

注：本题结论是很有用的一个结论，同学们最好能够记住它。若不用解析法，这道题该怎么解，请同学们思考。

例2、已知M(-4，2)，N(2，15)，若直线的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线斜率。 解题思路分析：

思路一：直接法思路。按照题目的逻辑关系，应先求出MN的倾斜角，再求的倾斜角。当然只需求出相关角的三角函数值即可。

设直线MN倾斜角为α，则tanα=∵ tanα>0 ∴ α∈（0，∴ sinα=

25153=2

2(4)2

2

2

2

2222

） 2，cosα=

15

则直线α倾斜角为

 21251551 2∴ tan

1cos2sin51 2∴ k思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线α倾斜角为α，则直线MN倾斜角为2α。下找关于tanα的等量关系。

∵ tan2α=kMN=2

2tan=2

1tan∴ tanα+tanα-1=0 ∴ ∴ tanα=

15 22

∵ 2α∈[0，π）

∴ α∈[0，)

2∴ tanα=

51 2例3、已知P（3，-1），M（6，2），N（-3,（1）直线与线段MN相交；

，直线过点P，求满足下列条件的的倾斜角范围。 3）

（2）直线与线段MN的延长线（或反向延长线）相交； 解题思路分析：

可首先求出直线的斜率范围，画出示意图帮助分析。 考虑临界状态： kPN=1，kPM=- （1）1≤k≤-3 333，即1≤tan≤-

33 tanα在α∈[0， tanα在（

当α=

)上递增，由1≤tanα得≤α< 24235，π）上递增，由tnaα≤-得≤、 3262时，仍与MN相交 25,] 465或直接看示意图得到α∈[,]

46 （2）思路一：借助于集合的补集思想

综上所述，倾斜角α范围为[ kMN=

23631583 33当绕点P绕转[0，π]时，k∈R 当∥MN时，k相交。

∴ k<1，或k>-∴ 倾斜角α≤α<

31583，且k≠ 33315835，或<α<π，且α≠arctanα

332

1583，直线与直线MN无交点；否则，直线与线段MN相交，或与MN是直线33思路二：从运动的角度，研究α在0～π之间变化时，直线与MN的位置关系。 例4、若直线的斜率k=1-m（m∈R），求直线的倾斜角α范围。 解题思路分析：

首先求出斜率k的范围，将等量关系k=1-m看成是k关于m的二次函数，则k≤1，即tanα≤1。 其次利用正切函数的单调性：0≤tanα≤1时，0≤α≤∴ α∈[0，

2

；tanα<0时，α>。 42]∪（，π） 423

注：由tanα范围求α范围，也可利用单位圆或正切函数图象。

例5、过P（6，3）的直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P分有向线段AB所成的分λ=

12，求直线的的斜率和倾斜角。 解题思路分析：

由斜率的坐标公式，只需求出A，或B的坐标即可。利用解方程的思想。 思路一：设A（a，0），B（0，b） 由分比xAxPx公式得：1ab6，a=9 ，A（9，0）

PxB2k3AB3，AB倾解角56 或利用分比λ公式：λ=yAyByy得：

PB

10323b，b=33，B（0，33 下略

思路二：利用定比分点公式：  xAxBxP1yyy

PAB16a3∴ 2b

3232∴ a9

b33下同思路一。 同步练习 （一）选择题

、若直线过点（1，2），（4，2+3），则此直线倾斜角为：

A、

6 B、4 C、3 D、2 2、设有斜率的直线一定是： A、过原点的直线 B、垂直于x轴的直线 C、垂直于y的直线 D、垂直于坐标轴的直线 3、下列命题中正确的是：

A、直线倾斜角为α，则些直线的斜率为tanα

4

比 1

B、直线的斜率为tanα，则此直线倾斜角为α C、直线的倾斜角为α，则sinα≥0

D、直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

4、若三点A（2，3），B（a，4），B（8，a）共线，则a值为： A、 0 B、5 C、0或5 D、0或-5

5、直线：y=kx+6沿x轴负向平移3个单位，再沿y轴正向平移1个单位，回到原位置，则k等于：

11A、- B、-3 C、 D、3

3336、已知直线的倾斜角α满足sinα=，则直线的斜率是：

5433433A、 B、 C、或- D、或-

34434417、过点A（-2，m），B（M，4）的直线倾斜角为π-arctan，则实数m的值是：

2A、10 B、2 C、0 D、-8 8、如图直线1、2、3的斜率分别为k1、k2、k3，则：

A、k1α)值属于： 4222222） B、[-1，] C、（，） D、[-，） 2222223，则y等于： 4A、-1 B、-5 C、1 D、5 10、过两点A（4，y），B（2，-3）的直线倾斜角是 （二）填空题

11、直线的倾斜角α∈[

3,）∪（,]，则斜率k∈________________。

2442

12、A（-1，1），B（x，2），C（-2，y）为直线上之点，已知斜率k=2，则x=________，y=________。 13、直线AB过A（3，-5（，B（0，-9），倾斜角为α， （1）直线CD的倾斜角为2α，则kCD=__________； （2）直线EF的倾斜角为

，则kEF=__________； 214、已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），α、β∈（0，），则直线AB斜率k=__________，

2倾斜角α=__________。

15、如图，△ABC为正三角形，∠CDE=45，则三条直线AB、BC、AC的斜率分别是： kAB=________ kBC=________ kAC=________ （三）解答题

16、过点P（-1，-3）的直线与y轴正半轴无公共点，求直线的倾解角范围。 17、已知A（m，m+1），B（2，m-1），求直线AB倾解角α的值。

18、已知M（2，-3），N（-3，-2），直线过点P（1，1）且与线段MN相交，求直线斜率范围。 19、用解析法证明：四边平方和等于两对角线平方和的四边形是平行四边形。

5

0

20、求函数f(x)x210x34x24最小值。 参 （一）选择题 1、 A 。k 2、 B 。 3、 C 。

23233，tan，[0,)，。

413361a32，kAC=，代入kAB=kAC得a-5a=0，a=0，或a=5。

6a2 5、 A 。思路一：考虑方程特征，平移后直线方程为y-1=k(x+3)+b，y=kx+3k+b+1，由已知3k+b+1=b， 4、 C 。kAB

13k+1=0，k=-。

3思路二：考虑直线上的点，设P为上任一点，P（x，y），点P平移后为P’，P’(x-3，y+1)。由已知

6

y1y1。

x3x33316、 D 。∵α∈(0，π)，sinα=，∴当α∈[0，）时，tanα=；当α∈（，π）时，tanα

P’，P’(x-3)，y+1)，由已知P’∈，kkPP'5242=-34。 7、 A 。kAB=tan(π-arccos11112)=-tan(arctan2)=-tan(arccos2)=-2，

∴m42m12，∴m=0 8、 D 。

9、 B 。∵0≤α<π，∴344≤24，由图象可知，-1≤sin(4)≤2。 10、 C 。kABtan3y34=-1，∴421，∴y=1

（三）填空题

11、（-∞，-1）∪[1，+∞]。≤≤∵∈∵∈∴∈∴∈

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