函数的概念与表示知识点与经典题型归纳

函数的概念与表示

知识领航

1．函数的定义

一般地：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f(x):AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x),xA. 注意：函数概念中的关键词

(1) A，B是非空数集.

(2)任意的x∈A，存在唯一的y∈B与之对应.

2. 函数的定义域、值域

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域. 3. 函数的三要素

定义域、值域和对应法则. 4. 相等函数

如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等； 这是判断两函数相等的依据. 5. 区间的概念

设a,b是两个实数，而且ab.我们规定：

（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]. （2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b).

（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)，(a,b]. 这里的实数都叫做相应区间的端点.

实数R可以用区间表示为(,).“”读作“无穷大”， “”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”，我们可以把满足xa，xa，xb，xb，的实数x的集合分别表示为[a,)，

(a,)，(,b]，(,b).

6. 函数的表示法

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. （3）图像法: 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.

用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线(视其定义域决定是否连线). 7. 求函数的解析式的方法

（1）待定系数法: 适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等. （2）换元法: 适用于已知f(g(x))的解析式,求f(x).

1（3）消元法: 适用于同时含有f(x)和f()，或f(x)和f(x).

x

1

8. 分段函数

在它的定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数. 9. 映射的概念

设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则 ,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应，那么就称对应f(x):AB为从集合A到集合B的一个映射。

注意：由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集.

e线聚焦

【例1】下列图象中不能作为函数的是( ).

A B C D

解：答案为B. 因为B中存在x，使得有两个y与之对应.

【例2】已知函数f(x)x31x2.

(1)求函数的定义域. （2）求f(3),f(6)的值.

(3）当a0时，求f(a),f(a1)的值.

解：（1）使得x3 有意义的实数x的集合是{x|x3}， 使得

1x2有意义的实数x的集合是{x|x2}， 所以，这个函数的定义域就是{x|x3且x2} （2）f(3)331321

f(6)63125628

（3）因为a0，所以f(a)，f(a1)有意义， f(a)a31a2 f(a1)a1311a12a2a1

2

.

【例3】已知f(x)的定义域为[0,2]，求f(2x1)的定义域.

13解：由题意知，02x12，所以 x22

13 所以f(2x1)的定义域为 {x|x}22【例4】求下列函数的值域. （1）yx1

（2）yx24x6,x[1,5]

xx3（4）yx2x1 （3） y解：（1）因为x0，所以x11，

所以yx1的值域为[1,). （观察法） （2）配方，得y(x2)22 又x[1,5]，所以2y11，

所以yx24x6,x[1,5]的值域为[2,11]. （配方法）

xx333（3） y1x3x3x3

3因为0，所以y1

x3xy所以 的值域为{y|y1}. （分离常数法）

x31u2（4）设u2x1，则u0且 x2

1u21yu即 y(u1)2所以 22

1[,]所以yx2x1的值域为 . （换元法） 2

【例4】下列函数中哪个与函数yx相等( )

x2A.y(x) B.yx C.yx D.y

x2332解：函数yx的定义域为R，对应法则为yx.

22A中y(x)的定义域为[0,)，所以y(x)与yx不是同一个函数；

B中y3x3的定义域为R，且y3x3x；y3x3与yx的定义域和对应法则都相同，所以为

同一函数；

C中yx2的定义域为R，但yx2|x|，所以yx2与yx不是同一个函数；

3

x2x2D中y的定义域为{x|x0}，所以y与yx不是同一个函数.

xx所以，应选B.

【例4】某种笔记本的单价是5元，买x(x{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数yf(x).

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}

用解析法表示为y5x,x{1,2,3,4,5} 列表法表示如下：

笔记本数x 钱数y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25 用图象法可将函数表示如下图：

注意：（1）函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等。 （2）函数的定义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候，一般要写出函数的定义域。 【例5】已知f(x1)2x3，求f(x)和f(1). 解：令tx1，则xt1，

所以f(t)2(t1)32t1， 所以f(x)2x1， 所以f(1)2(1)11. 注意：此方法为换元法.

【例6】已知f(x)是一次函数，f(f(x))4x1，求f(x)的解析式. 解：设f(x)kxb(k0)，

则f(f(x))f(kxb)k(kxb)bk2xkbb4x1

k2k24k2对比系数得 解得 或 1bb1kbb131所以函数f(x)的解析式为f(x)2x或f(x)2x1.

3 4

注意：此方法为待定系数法，适用于已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等).

1【例7】已知3f(x)2f()x(x0)，求f(x)的解析式.

x111解：用代替x得3f()2f(x)

xxx13f(x)2f()x1x所以 消去f()

x3f(1)2f(x)1xx解得f(x)3x2(x0) 55x1注意：此方法为消元法求函数的解析式，适用于同时含有f(x)和f()，或f(x)和f(x).

xx2,x1【例8】已知函数f(x)x2,1x2

2x,x21（1）求f(3),f(),f(5)的值.

2（2）若f(x)3，求x的值. 解：（1）f(3)236

111 f()()2

224 f(5)523

（2）①若x1，则x23，解得x1，不满足x1，舍去；

②若1x1，则x23，解得x3或x3，x3不满足1x1，舍去； 所以x3；

③若x2，则2x3，解得x【例9】画出函数y|x|的图象.

3，不满足x2，舍去. 2x,x0解：y|x|

x,x0根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:

【例10】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元；

5

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的按5公里计算）.

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.

解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x的取值范围是（0，20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规定，可得到以下函数解析式：

2,3,y4,5,0x55x1010x1515x20

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图:

双基淘宝

 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1．下列说法正确的是( )

A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是数集

D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 2．下列说法中正确的为( )

A．y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数 B．y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数 C．f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数

D．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 3．下列函数完全相同的是( )

A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2

B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2 x2

C．f(x)＝|x|，g(x)＝x 6

x2－9

D．f(x)＝，g(x)＝x＋3

x－3

4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．

5．下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )

A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值 6. 下列两个函数是否表示同一个函数 （1）f(x)|x|;g(t)t2 （2）f(x)x24x2;g(x)x2 （3）f(x)x2;g(x)(x)4 （4）f(x)x;g(x)x2

7. 求下列函数的定义域 （1）f(x)5x|x|3 （2）f(x)x12x

8. 已知函数f(2x1)的定义域为(1,5]，求f(x)的定义域.

9. 求下列函数的值域 （1） yx22x3,xR （2）y5x4x1 （3）y2xx1 7

10．已知f(x)＝1

(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． 1＋x

(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值．

11．已知函数y＝ax＋1(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．

12．画出下列函数的图象: （1）f(x)2x,xR,且|x|2 （2）f(x)x2,(xN,且|x|3)

13．已知二次函数f(x)的图象过点A(0,5)，B(5,0)，其对称轴为x2，求其解析式．

14. 已知f(x1)x22x2，求f(x)的解析式.

15．已知f(x)2f(x)3xx2，求f(x)的解析式.

x9x3,16．已知f(x)，求f(15),f(7)的值.

f(f(x4)),x9

1x01,17. 已知f(x)2，求使得f(x)1成立的x的取值范围.

(x1)2,x0

18. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元，当用水超过4吨，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户居民共缴水费y元，已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨). (1)求y关于x的函数；

(2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

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