山东建筑大学07-08线性代数试题A卷参

一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．C ； 2．C ； 3. A； 4. A； 5. C 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）

441. 5 ；2、；3. 1 ；4．

4413

34 ；5．正数. 

abac三、（本题10分）计算行列式bdcdbfcfaede. efabac解：bdcdbfcfbaede=adfbbefcece……….…….…..…………（3分） ce11111……………………………………………………………………………….（6分）=adfbce1 111=4abcdef……….………………………………………………………....……（10分）

52 四、（本题10分）求方阵002100008500的逆矩阵. 32A1O5283,解：A A1,A1,.……….……..……..（3分） 12OA21522A1112A125,.……….……………………………………………（5分）

A2123A258,.…………………………………………..……..…（7分）

 1 -2 050200200-5 00.……….…………………………………….…（10分） -3 8 A12x14x25x33x47五、（本题12分） 求线性方程组 3x16x24x32x47通解.

4x8x17x11x212341解.对方程组的增广矩阵作初等行变换

12024537A327001481711210002757011………………………..（4分） 0于是方程组的同解方程组为

2x12xx4217，x2,x4为自由未知量……………………..………..（8分） 5x1x3472x1127x2010所以方程组的通解为：k15k2 . …………….…..….（12分） x3107x0014六、（本题12分）解：A的特征方程为

1|EA|41100=(2)(1)20，……………..………....（2分） 230故A的特征值为12，231. ……………..………………….……..（5分）

3x1x20(1) 对于特征值12，得到齐次线性方程组 4x1x20，它的基础解系是

x10000k ， 所以属于特征值2的全部特征向量为0, (k0).………..…….（7分）112x1x20(2) 对于特征值231，得到齐次线性方程组 4x12x20，它的基础解系

x1x3011是2，所以属于特征值1的全部特征向量为k2, (k0).………...（9分） 11因此A不与对角形矩阵相似. .…………….…………………………….（12分） 七、（本题8分）

设1,2,3线性无关，证明12,23,123也线性无关.

证明：设k1(12)k2(23)k3(123)0，………..…….（2分） 则有(k1k3)1(k1k2k3)2(k2k3)30， ……………….（4分）

k1k30 1,2,3线性无关，k1k2k30，k1k2k30……….….（6分）

kk023所以12,23,123线性无关. …………………………..….（8分） 八、（本题8分） 证明：若A为nn阶非零矩阵，则秩（A）=1的充分必要条件是A可写为一列向量与一行向量的积.

证明：必要性：因为秩（A）=1，所以存在可逆矩阵P和Q，

10使得PAQ00000100(100)，.……………………..….（2分） 00a11a20得到AP1(100)Q1=(b1b2bn)，

a0na11a20这里=P1，(b1b2bn)=(100)Q1。………………(4分)

a0n充分性：不妨设

AT，这里(a1,a2,an),(b1,b2,bn)。

因为A为nn阶非零矩阵，所以秩（A）>0, ……………..……........（6分） 而秩AT秩(T)1,

所以秩（A）=1. ……………..………………………………………….（8分）