2011-2012学年湖北省武汉市部分学校八年级（下）
期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（3分）在式子、 A． 2个 2．（3分）分式
、B．3 个 、
、C． 4个 、
中，分式的个数有（ ） D．5 个 有意义，x、y应满足的关系式是（ ）
D．x =﹣y A． x=y B．x ≠y C． x≠﹣y 3．（3分）下列等式正确的是（ ） A． C． （﹣3）=﹣ 0.0000618=6.18×10 ﹣5﹣2B． D． 4a=22﹣2 a÷a×=a 4．（3分）已知反比例函数图象经过点A（2，6），下列各点不在图象上的是（ ） A． （3，4） B． （﹣2，﹣4） C． （2，5） D． （﹣3，﹣4） 5．（3分）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A． a=9，b=41，c=40 B． a=b=5，c=5 C． a：b：c=3：4：5 D． a=11，b=12，c=15 6．（3分）三角形的面积为4cm，底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系图象大致为（ ）
2
A． B． C． D． 7．（3分）如图，已知点A是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA=OB，则△AOB的面积为（ ）
A． 2
B． C． 2 1
D．4
8．（3分）现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，求原来每天装配机器的台数x，下列所列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（3分）在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（ ） A． 14 8 B．1 4或4 C． D．4 或8 10．（3分）如图，一次函数与反比例函数图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则图中反比例函数值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1 11．（3分）（2001•常州）已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1﹣y2的值是（ ） A． 正数 B．负 数 12．（3分）下列说法：①当m＞1时，分式
B． ﹣1＜x＜0或x＞2 C． x＞2 D． x＜﹣1或0＜x＜2 C． 非正数 D．不 能确定 总有意义；②若反比例函数y=的图象经过点（m，33m），
则在每个分支内y随着x的增大而增大；③关于x的方程﹣2=有正数解，则m＜6；④在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，AB边上的高CD=h，那么以、、长为边的三角形是直角三角形．其中正确的结论的个数是（ ） A． 1个 B．2 个 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．（3分）当x _________ 时，分式
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3．若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则Rt△ABC的面积为 _________ ．
C． 3个 D．4 个 值为0．
2
15．（3分）一个圆柱形的容器的容积为8立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面的高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间为t分钟．则大水管注水的速度为 _________ 米/分．
16．（3分）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于D，交y=的图象于点B．
给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④
．
3
其中所有正确结论的序号是 _________ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（6分）计算：
18．（6分）化简求值：（1﹣
19. （6分）（2010•荆州）解方程：
20．（8分）当a为何值时，关于x的方程
﹣．
）÷，其中x=3．
﹣=1无解？
3
21．（8分）列方程解应用题：
一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求原计划的时间．
22．（8分）已知反比例函数的解析式为y=
（k≠1）．
（1）在反比例函数图象的每一条曲线上，y随着x的增大而增大，求k的取值范围； （2）在（1）的条件下点A为双曲线y=反比例函数的解析式．
（x＜0）上一点，AB∥x轴交直线y=x于点B，若AB﹣OA=4，求
2
2
23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2． （1）求证：S1+S2=S△ABC；
（2）若Rt△ABC的周长是2+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD、AC相交于点G，∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，∠ACD=24°． （1）求证：BG=AC． （2）求∠ADB的度数．
4
25．（12分）如图1，点A（m，m+1）、B（m+3，m﹣1）均在反比例函数y=的图象上，正比例函数y=nx的图象交反比例函数图象于A、C两点． （1）求出k值和线段AC的长．
（2）在y轴上是否存在点D，使∠ADC=90°？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由． （3）如图2，若E（﹣4，3），点P是线段AC上的一个动点，试判断的值是否发生变化？若不变，求
出其值；若变化，说明理由．
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2011-2012学年湖北省武汉市部分学校八年级（下）
期中数学试卷
参与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分） 1．（3分）在式子、、、、、 A． 2个 B．3 个 C． 4个 考点： 分式的定义． 分析： 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 解答： 解：、、9x+这3个式子的分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选B． 点评： 本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母． 2．（3分）分式有意义，x、y应满足的关系式是（ A． x=y B．x ≠y C． x≠﹣y 考点： 分式有意义的条件． 分析： 分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意
6中，分式的个数有（ ） D．5 个 ） D．x =﹣y
义 解答： 解：根据题意得：x﹣y≠0，解得：x≠y． 故选B． 点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0． 3．（3分）下列等式正确的是（ ） A． （﹣3）﹣2=﹣ B． 4a﹣2= C． 0.0000618=6.18D． 2×10﹣5 a÷a×=a2 考点： 负整数指数幂． 分析： A、B利用负指数次幂的意义即可判断； C、根据科学记数法的表示法即可判断； D、除法与乘法的混合运算，从左到又依次计算． 解答： 解：A、（﹣3）﹣2==，故选项错误； B、4a﹣2=，故选项错误； C、正确； D、a2÷a×=a×=1，故选项错误． 故选C． 点评： 本题考查了负指数次幂，科学记数法以及有理数的混合运算，正确理解运算顺序是关键．
7
4．（3分）已知反比例函数图象经过点A（2，6），下列各点不在图象上的是（ ） A． （3，4） B． （﹣2，﹣4）C ． （2，5） 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 把点A（2，6）代入求出k，只要横坐标乘以纵坐标不等于12就能判断该点不在图象上． 解答： 解：把A（2，6）代入，得：k=12，只要横坐标乘以纵坐标等于12就能判断该点在图象上，反之就不在图象上， A、3×4=12，故点（3，4）在此函数的图象上，不符合题意； B、（﹣2）×（﹣4）=12，故点（﹣2，﹣4）在此函数的图象上，不符合题意； C、2×5=10≠12，故点（2，5）不在此函数的图象上，符合题意； D、（﹣3）×（﹣4）=12，故点（﹣3，﹣4）在此函数的图象上，不符合题意． 故选C． 点评： 本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解
D．（ ﹣3，﹣4） 8
和掌握，能根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断是解此题的关键． 5．（3分）在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A． a=9，b=41，c=40 B．a =b=5，c=5 C． a：b：c=3：4：D．a =11，b=12，5 考点： 勾股定理的逆定理． 分析： 根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形． 解答： 解：A、92+402=412，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误； B、，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误； C、设a=3k则b=4k，c=5k，则（3k）2+（4k）2=（5k）2，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故错误； D、112+122≠152，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故正确． 故选D． 点评： 本题考查了直
c=15 9
角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 6．（3分）三角形的面积为4cm，底边上的高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系图象大致为（ ） A． B． C． D． 2
考点： 专题： 分析： 反比例函数的应用． 应用题． 根据题意有：xy=2S=8；故高y（cm）与底边x（cm）之间的函数关系图象为反比例函数，且x、y应大于0，即可得出答案． 解：∵xy=2S=8 解答： ∴y=（x＞0，y＞0） 故选B． 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 点评： 7．（3分）如图，已知点A是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴负半轴上，且OA=OB，则△AOB的面积为（ ）
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A． 2 考点： B． C． 2 D．4 专题： 分析： 反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积． 数形结合． 本题可以先求出A点坐标，再由OA=OB求出B点坐标，则S△AOB=|xB||yA|即可求出． 解答： 解：点A是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点， 则x=，x=2，A（2，2），又OA=OB=， 则B（﹣，0），S△AOB=|xB||yA|=××2=点评： ． 故选C． 本题考查了由函数图象求交点坐标，并求点之间连线所围成图形的面积的方法． 8．（3分）现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，求原来每天装配机器的台数x，下列所列方程中正确的是（ ） A． B． C． D．
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考点： 由实际问题抽象出分式方程． 专题： 应用题． 分析： 本题的等量关系为：用原来技术装6台的工作时间+用新技术装剩下24台的工作时间=3． 解答： 解：用原来技术装6台的工作时间为：，用新技术装剩下24台的工作时间为．所列方程为：+=3．故选A． 点评： 题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到相应的等量关系是解决本题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 9．（3分）在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（ A． 14 B．1 4或4 C．8 D．4 或8 考点： 勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 根据勾股定理先求出BD、CD的长，再求BC就很容易了． 解答： 解：此图中有两个直角三角形，利用勾股定理可得： CD2=152﹣122=81，
12
）
∴CD=9， 同理得BD=132﹣12=25 ∴BD=5 22∴BC=14， 此图还有另一种画法．即 当是此种情况时，BC=9﹣5=4 故选B． 点评： 此题主要考查了直角三角形中勾股定理的应用．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 10．（3分）如图，一次函数与反比例函数图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则图中反比例函数值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣1 考点： B．﹣ 1＜x＜0或xC． x＞2 ＞2 反比例函数与一次函数的交点问题． 数形结合． 由一次函数与反比例函数图象的两交点的横坐标﹣1和2，以及0，将x轴分为三部分：xD．x ＜﹣1或0＜x＜2 专题： 分析：
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小于﹣1，x大于﹣1小于0，x大于0小于2，x大于2，找出图形中反比例函数图象在一次函数图象下方时x的范围即可． 解：由一次函数与反比例函数图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，及原点横坐标0， 得到四个范围，分别为：x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜2，x＞2， 根据函数图象可得：反比例函数值小于一次函数的值的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2． 故选D 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想，做题时要灵活运用． 解答： 点评： 11．（3分）（2001•常州）已知反比例函数y=（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则y1﹣y2的值是（ ） A． 正数 B．负 数 考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 分析： 由于自变量所在象限不定，那么相应函数值的大小也不定． 解答： 解：∵函数值的C． 非正数 D．不 能确定
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大小不定，若x1、x2同号，则y1﹣y2＜0； 若x1、x2异号，则y1﹣y2＞0． 故选D． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内． 点评： 12．（3分）下列说法：①当m＞1时，分式
总有意义；②若反比例函数y=的图象经过点（
，
），
则在每个分支内y随着x的增大而增大；③关于x的方程﹣2=有正数解，则m＜6；④在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，AB边上的高CD=h，那么以、、长为边的三角形是直角三角形．其中正确的结论的个数是（ ） A． 1个 B．2 个 考点： 勾股定理的逆定理；分式有意义的条件；分式方程的解；反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理． 2分析： ①将x﹣2x+m配方，再根据m＞1判断分母的符号， ②本题隐含条件为m＜0，由k=xy判断k的符号； ③先求解，再根据x＞0且x≠3求m的取值范围； ④利用勾股定理的逆定理进行判断． 2解答： 解：①∵x﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，∴当mC． 3个 D．4 个
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＞1时，x2﹣2x+m＞0，分式有意义，结论正确； ②由有意义可知，m＜0，则k=•＜0，图象在二、四象限，在每个分支内y随着x的增大而增大，结论正确； ③解方程得x=6﹣m，由x＞0可得m＜6，但x≠3，故m≠3，故应为m＜6且m≠3，结论错误； ④依题意，得a2+b2=c2，ab=ch，所以，+===，结论正确； 正确的有三个． 故选C． 点评： 本题考查了勾股定理及其逆定理，分式方程的解，反比例函数图象上点的坐标特点．关键是熟练掌握各知识点的解题方法． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13．（3分）当x =﹣1 时，分式值为0．
16
考点： 分析： 分式的值为零的条件． 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 解：根据题意2得：x﹣1=0，且x﹣1≠0 解得：x=﹣1 故答案是：=﹣1 本题主要考查了分式值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 解答： 点评： 14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3．若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则Rt△ABC的面积为 37 ．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理． 证明题． 先过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，由于EF⊥l2，l1∥l2∥l3，易知EF⊥l1⊥l3，那么∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°，而∠ABC=90°，可得∠ABE+∠FBC专题： 分析： =90°，根据同角的余角相等可
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得∠EAB=∠FBC，根据AAS可证△ABE≌△BCF，于是BE=CF=5，AE=BF=7，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB2=74，进而可求△ABC的面积． 解答： 解：过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如右图， ∵EF⊥l2，l1∥l2∥l3， ∴EF⊥l1⊥l3， ∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°， 又∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°， ∴∠EAB=∠FBC， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF， ∴BE=CF=5，AE=BF=7， 在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2，∴AB2=74， ∴S△ABC=AB•BC=AB2=37． 故答案是37．
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点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，并证明△ABE≌△BCF． 15．（3分）一个圆柱形的容器的容积为8立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面的高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间为t分钟．则大水管注水的速度为 考点： 分析： 米/分．
3
解答： 列代数式（分式）． 由大水管口径是小水管的2倍，可知大水管注水速度是小水管的4倍． 可设小、大水管的注水速度各是x立方米/分，4x立方米/分，继而可得方程，解方程即可求得答案． 解：∵大水管口径是小水管的2倍， ∴大水管注水速度是小水管的4倍． 设小、大水管的注水速度各是x立方米/分，4x立方米/分， 则小、大水关注水各用分、
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=分． 据题意得 +=t， 解得：x= ∴4x=， ∴则大水管注水的速度为：米/分． 故答案是：点评： ． 3本题考查了列代数式，正确分清题目中的各个量的关系是关键． 16．（3分）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于D，交y=的图象于点B．
给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④
．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
考点： 专题： 分析： 反比例函数综合题． 探究型． 由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD=S△OAC=故①正确；当P的横纵坐标相
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等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论． 解答： 解：∵A、B是反比函数y=上的点， ∴S△OBD=S△OAC=，故①正确； ∵当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误； ∵P是反比例函数y=上的点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；连接OP， ∵===4， ∴AC=PC，PA=PC， ∴=3， 21
同理可得=3， ∴=，故④正确． 故答案为：①③④ 点评： 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）计算：﹣
．
考点： 分式的加减法． 分析： 最简公分母为（a+b）（a﹣b），先通分，再将分子合并，约分． 解答： 原式=﹣=﹣=﹣=﹣． 点评： 本题考查了分
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式的加减法．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 18．（6分）化简求值：（1﹣ 考点： 分析： ）÷
，其中x=3．
分式的化简求值． 通分，将除法转化为乘法，因式分解，约分，再代值计算． 解答： 解：（1﹣）÷= •=，当x=3时，原式=． 点评： 本题考查了分式的化简求值．分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握． 19．（6分）（2010•荆州）解方程：
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考点： 专题： 分析： 解分式方程． 计算题． 本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解． 解：方程两边都乘3（x+1）， 得：3x﹣2x=3（x+1）， 解得：x=﹣1.5， 经检验x=﹣1.5是方程的根， ∴原方程为x=﹣1.5． 当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母． 解答： 点评： 20．（8分）当a为何值时，关于x的方程 考点： 分析： ﹣=1无解？
解答： 分式方程的解． 先把分式方程化成整式方程得出（a+2）x=3，根据等式得出a=﹣2，原方程无解，再根据当x=1或x=0时，分式方程的分母等于0，即整式方程的解释分式方程的增根，代入求出a即可． 解：去分母，得：x（x﹣a）﹣3（x
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﹣1）=x（x﹣1）， x﹣ax﹣23x+3=x﹣x， （a+2）x=3， （1）当a+2=0时，a=﹣2，原方程无解； （2）当a=1时，x=1是原方程的增根，原方程无解； 综上可知，当a=﹣2或a=1时，原方程无解． 本题考查了分式方程的解，能要求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2点评： 21．（8分）列方程解应用题：
一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求原计划的时间． 考点： 分式方程的应用． 分析： 根据路程为180千米，一定是根据时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“比原计划提前40分钟到达目的地”；进而得出等量关系列方程． 解答： 解：设原来的速度为x千米/时，依题意，得 =1+， +解之，得 x=60， 经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意，
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==3（小点评： 时）． 答：原计划的时间为3小时． 此题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，利用时间得出等量关系是解题关键． 22．（8分）已知反比例函数的解析式为y=
（k≠1）．
（1）在反比例函数图象的每一条曲线上，y随着x的增大而增大，求k的取值范围； （2）在（1）的条件下点A为双曲线y=反比例函数的解析式．
（x＜0）上一点，AB∥x轴交直线y=x于点B，若AB﹣OA=4，求
2
2
考点： 专题： 分析： 反比例函数综合题． 综合题． （1）根据反比例函数的性质得到1﹣k＜0，然后解不等式即可； （2）设B（t，t），双曲线解析式为y=，利用AB∥x轴且A点在反比例函数图象上可得到A点坐标为（，t），然后利用勾股定理
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分别表示出AB2=（t﹣）2，OA2=（）2+t2，再利用AB2﹣OA2=4，得到方程（t﹣）2﹣[（）2+t2]=4，再解方程即可得到m的值，从而可确定反比例函数的解析式． 解答： 解：（1）∵在双曲线的每个分支内，y随着x的增大而增大， ∴1﹣k＜0， ∴k＞1； （2）点B在直线y=x上，设B（t，t），1﹣k=m（m≠0）， 故双曲线解析式为y=（m≠0）， ∵AB∥x轴， ∴A点的纵坐标为t， 把y=t代入y=得x=， ∴A点坐标为（，t）， ∴AB2=（t﹣）2，OA2=（）2+t2， ∵AB2﹣OA2=4， ∴（t﹣）2﹣ 27
[（）+t]=4，解得：m=﹣2， 故1﹣k=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=． 22点评： 题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=（k≠0）的图象为双曲线，当k＜0，图象发布在第二、四象限，在双曲线的每个分支内，y随着x的增大而增大；掌握待定系数法求反比例函数解析式；运用勾股定理计算线段的长度． 23．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．在AB的同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆．图中阴影部分的面积分别记作为S1和S2． （1）求证：S1+S2=S△ABC；
（2）若Rt△ABC的周长是2+，斜边长为2，求图中阴影部分面积的和．
考点： 专题： 分析： 勾股定理． 常规题型． （1）根据题给图形可知：
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S1+S2=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC，又在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2，继而即可得出答案； （2）要求阴影部分的面积求出Rt△ABC的面积即可，也即求出AC•BC即可． 解答： 解：（1）在Rt△ABC中，有BC2+AC2=AB2…（1分） ∴S1+S2=π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC =π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC=S△ABC．…（4分） （2）∵AB+AC+BC=2+，AB=2，∴AC+BC=．…（5分） 两边平方得：AC2+BC2+2AC•BC=6， 又AC2+BC2=AB2=4，
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∴2AC•BC=2，AC•BC=1． ∴S△ABC=AC•BC=． ∴图中阴影部分面积的和为．…（8分） 点评： 本题考查勾股定理的知识，解题关键是找出各个图形之间的关系，证得S1+S2=S△ABC，难度一般． 24．（10分）如图，在四边形ABCD中，对角线BD、AC相交于点G，∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°，∠ACD=24°． （1）求证：BG=AC． （2）求∠ADB的度数．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． （1）求出∠ABC，推出AB=AC，求出∠AGB和∠BAC的度数，推出BG=AB，即可得出答案； （2）在四边形ABCD形外作∠PBA=∠DBA=12°，并使BP=BD，连AP、PC，根据SAS推出△PBA≌△DB分析： A，推出∠BPA=∠BDA
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，求出∠BCD、∠BDC的度数，推出BC=BD=BP，求出∠PBC的度数，推出△PBC为等边三角形．推出PB=PC．根据SSS证△PBA≌△PCA，推出∠BPA=∠CPA=30°，即可得出答案． 解答： （1）证明∵∠ABD=12°，∠DBC=36°，∠ACB=48°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°=∠ACB， ∴AB=AC， 又∠AGB=∠ACB+∠DBC=48°+36°=84°， ∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=84°， ∴∠BAG=∠BGA=84°， ∴BG=BA， ∴BG=AC． （2）解：在四边形ABCD形外作∠PBA=∠DBA=12°，并使BP=BD，连AP、PC． 则在△PAB和△DBA中 ， ∴△PBA≌△D
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BA（SAS）， ∠BPA=∠BDA， 又∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=48°+24°=72°， ∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠BCD=72°， ∴∠BCD=∠BDC， ∴BC=BD=BP，又∠PBC=∠PBA+∠ABD+∠DBC=12°+12°+36°=60°， ∴△PBC为等边三角形． ∴PB=PC， ∵在△PBA和△PCA中 ∴△PBA≌△PCA（SSS）， ∴∠BPA=∠CPA=30°． ∴∠ADB=∠BPA=30°． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定
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理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度． 25．（12分）如图1，点A（m，m+1）、B（m+3，m﹣1）均在反比例函数y=的图象上，正比例函数y=nx的图象交反比例函数图象于A、C两点． （1）求出k值和线段AC的长．
（2）在y轴上是否存在点D，使∠ADC=90°？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由． （3）如图2，若E（﹣4，3），点P是线段AC上的一个动点，试判断出其值；若变化，说明理由．
的值是否发生变化？若不变，求
考点： 专题： 分析： 反比例函数综合题． 探究型． （1）利用图象上点的性质将A，B分别代入解析式，即可得出m的值，再利用反比例函数的对称性得出AC的长即可； （2）首先在y轴的正半轴上取OD=OA=5，连接AD、CD，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进而求出即可； （3）利用已知首先证明
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△ENO≌△OMA，进而得出∠EOA=90°再利用勾股定理得出即可． 解：（1）∵点A（m，m+1）、B（m+3，m﹣1）均在反比例函数y=的图象上， ∴m（m+1）=（m+3）（m﹣1）， ∴解得：m=3． ∴A（3，4）、B（6，2）． ∴k=m（m+1）=12； 如图1，过A作AM⊥x轴于M， 则OM=3，AM=4， ∴AO=5． 根据反比例函数的对称性，AC=2AO=10； （2）如图1，在y轴的正半轴上取OD=OA=5，连接AD、CD． 则OD=OA=OC． 则∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA． 在△ACD中，有∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°． 即∠OCD+∠ODC+∠OAD+∠ODA=180°． ∴∠ODC+∠O34
解答：
DA=90°， 即∠ADC=90°． ∴D（0，5）． 同理在y轴负半轴上还有点：D′（0，﹣5）． 另法：如图1，设OD=t，由AD2+CD2=AC2， AE2+ED2+FD2+CF2=AC2， 32+（t﹣4）2+32+（t+4）2=102， 解得：t=±5． 则D（0，5）或D′（0，﹣5）． （3）的值不发生变化，理由为： 如图2，连EO，过E作EN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M． ∵E（﹣4，3），A（3，4）， ∴EO=OA=5，EN=OM=3，NO=AM=4， 在△ENO和△OMA中， ∵， ∴△ENO≌△OMA（SSS）， ∴∠EON=∠OAM， ∴∠EON+∠AOM=∠OAM+∠AOM=90°， ∴∠EOA=90°， 设CP=t，则AP=10﹣t， 35
CP•AP=t（10﹣t）=10t﹣t2， 而EP2=OP2+EO2=（5﹣t）2+52=50﹣10t+t2． ∴50﹣CP•AP=50﹣（10t﹣t2）=50﹣10t+t2． ∴50﹣CP•AP=EP2， ∴=1， 即的值不发生变化，其值恒为1．点评： 此题主要考查了反比例函数的综合应用以及全等三角形的证明和勾股
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定理等知识，利用勾股定理表示出EP与CP•AP是解本题第二问的关键．
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