积分第二中值定理“中间点”的分析性质

第２６卷第３期　大　学　数　学　Ｖｏ１．２６，№．３　２０１０年６月　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｊｕｎ．２０１０　积分第二中值定理“中间点’’的分析性质　杜争光　（陇南师范高等专科学校数学系，甘肃成县７４２５００）　［摘　要］主要讨论了积分第二中值定理“中间点”的连续性和可导性．　［关键词］积分第二中值定理；“中间点”；分析性质　［中图分类号］０１７２．２　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１０）０３—０１５５—０６　文Ｅｌｌ和文［２］对积分第二中值定理“中间点”的渐近性进行了研究，得到了一系列很好的结果．本文　通过在一定条件下，对“中间点”的分析性质的探讨，得到了一些关于连续性和可导性方面的结果，从而　使渐近性的结果成了其特例．　为了便于讨论，现将积分第二中值定理叙述如下：　设函数ｇ（ｚ）在［口，６］可积．　１。若函数，（ｚ）单减，且　（ｚ）≥Ｏ，则ｊ　∈［ｎ，６］，使得　Ｉ＇ｂ　ｒ｝　Ｉ　ｆ（　）ｇ（ｚ）ｄｚ一厂（口）Ｉ　ｇ（ｚ）ｄｘ；　２。若函数，（ｚ）单增，且厂（ｚ）≥Ｏ，则　∈［口，ｂ３，使得　ｒ６　ｒ６　Ｊ口　Ｉ厂（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｘｚ厂（口）ｌＪ　ｆ　　ｇ（ｚ）ｄｘ；　３。若函数，（ｚ）单调，且厂（　）≥０，则　叩∈［ｎ，５３，使得　Ｐｂ　厂　Ｉ＊ｂ　ＪＩ　ｎ　ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ＩＪ口　　ｇ（ｚ）如＋厂（６）ＩＪ　目　ｇ（ｘ）ｄｘ．　这里　，　，　分别称为积分第二中值定理１。，２。，３。的“中间点”．下面分别讨论　，　，　的分析性质．　定理１设函数－厂（￡）在［口，ｚ］连续，单减，且，（　）＞Ｏ，ｇ（￡）在［口，ｚ］连续且不变号，　是由积分第二　中值定理ｌ。所确定的“中间点”，则　是Ｘ的连续函数，且　（ｎ）一口．　证先证　是ｚ的函数，只需证明Ｖｚ∈Ｅａ，６］，存在唯一的　与之对应即可．　事实上，　的存在性已由积分第二中值定理给出，因此，只证　的唯一性．反证Ｖ　Ｘ∈［ｎ，６］，　。，　∈Ｅａ，　］，使得　ｒＩ厂（ｚ　　）ｇ（￡）ｄｔ＝厂（口）ｌｒ　｝ｔ　ｇ（　）ｄｔ和　ｌ，（￡ｒｚ　）ｇ（￡）ｄｔ＝厂（口）Ｉｒ　ｅ，　ｇ（ｆ）ｄｔ，　于是有　ｆＩ　　’７　（ｆ）ｇ（　）　ｆ　Ｉ，（ｄｔ－　－７　（￡）ｇ（￡）　　厂（ｄｔ＝　（口）ｆ口）Ｉ　　（ｇ　ｄ（　）ｔ）　ｔ－ｆ（ａ）ｆｌ　　ｇ（ｇ（￡）ｄ￡，　广　ｒ￡　即，（口）ＩＪ｝　ｌ　ｇ（ｔ）ｄｔ＝Ｏ．注意到厂（ｆ）＞ｏ，则Ｉ。ｇ（Ｊ　１　ｚ）ｄｔ＝０．又由于ｇ（ｆ）不变号，不妨设ｇ（￡）＞ｏ，于是由　ｒ　Ｉ　ｇ（￡）ｄｒ＝０，必有　。一＆．即有Ｖ　ｚ∈Ｅａ，６］，存在唯一的ｅ∈［ｎ，ｚ］与之对应．所以　是　的函数，记为　Ｊ｝１　一　（　）．显然有　（ｎ）一ｎ．　次证，　一　（ｚ）的连续性．设Ｖ　Ｘ∈Ｅａ，５１，使ｚ＋△ｚ∈Ｅａ，５１，则有　［收稿日期］２００８—０３—１４；　［修改日期］２００８—０５—３０　１５６　大　学数　学　第２６卷　ｃＩ　　ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ＝－ｆ（ａ）Ｉｆ　Ｈｚ　ｇ（ｔ）ｄｔ和　｝ｆ　ｚ十△　厂（￡）ｇ（￡）ｄｔ￣－ｆ（ａ）Ｉｒ　ｒ　’＋△ｌ１　ｇ（ｔ）ｄｔ，　４　Ｊ　４　Ｊ　ｎ　Ｊ　０　从而有　ｒｌ　＋△　ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ－－Ｉ　ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ａ）Ｉｒ　｝（　＋ｄ　）　ｇ（ｔ）ｄｔ－ｆ（ａ）ｌｒ　＃（　ｇ（ｔ）ｄｔ，　Ｊ　ｎ　Ｊ　ｄ　Ｊ　４　Ｊ　０　即　Ｉ　ｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ａ）Ｉ　ｇ（ｔ）ｄｔ．　注意到厂（￡）和ｇ（　）的连续性，由积分第一中值定理，］ｆ。在　（ｚ）与｛（ｚ＋△ｚ）之间，ｊ　Ｃ　在ｚ＋△ｚ与　之间，使得　ｒｅ（　—　△ｚ）　厂（￡）ｇ（　）ｄｔ＝ｆ（ｃ２）ｇ（ｃ２）ｚｘ　ｚ　和　ＩＪ　（ｚ）　　ｇ（　）ｄｒ＝ｇ（ｃ１）（　（ｚ＋△ｚ）一ｅ（ｚ））．　于是有　ｆ（ｃｚ）ｇ（ｃ２）△ｚ—ｆ（ａ）ｇ（ｃ１）（　（ｚ＋△ｚ）一　（　）），　所以　（ｚ＋Ａ　ｘ）一　（　）一　△ｚ．　（１）　由于厂（　）和ｇ（　）的连续性，极限ｌｉｍｇ（ｃ２）一ｇ（ｚ），ｌｉｍｆ（ｃ２）＝－ｆ（ｘ）Ｒ　ｇ（ｃ　）≥ａ＞０，于是　ｚ＋Ａ　ｘ　（　一　Ａ　ｘ△ｚ斗０　△　—Ｏ　／－　“，　６＂１　，　因此，　＝＝＝　（ｚ）是ｚ的连续函数．　定理２设函数厂（￡）在［口，　］连续，单减，且，（￡）＞０，ｇ（　）在［口，ｚ］连续且不变号，　是由积分第二　中值定理１。所确定的“中间点”，则　一　（ｚ）是可导的，且　一　．　证　由定理１的（１）式，有　（ｚ＋Ａｘ）一　（ｚ）一　△ｚ．　注意到，（　），ｇ（￡）与　（ｚ）的连续性和△ｚ—Ｏ时Ｃ　一　（ｚ），Ｃ２一　，就有　：＝＝　△　—ｏ　＝　／－３　ｚ　△　＿．ｏ凳ｔ厂　．ａ　Ｃ１　△　，Ｘ＝　　口　ｇ　Ｌ∈ＬｚＪ　．　推论１设函数／（￡）在［＆，　］连续，单减，且厂（　）＞Ｏ，ｇ（　）在［ｎ，ｚ］连续且不变号，　是由积分第二　中值定理１。所确定的“中间点”，则ｌｉｍ￡　一１．　证由于　（口）一ａ，因此　ｌ　ｉｍ一ｌｉｍ　一　一　一ｄ　Ｚ一。　口　…ｚ—ｄ　Ｚ—ｎ　ｒ　Ｌ口　Ｌ∈Ｌ口，Ｊ　注推论１正是文Ｅｌｉ的定理１和文［２］的推论１．　下面讨论“中间点”　的分析性质．　定理３设函数ｆ（ｔ）￣ｉＥＦａ，ｚ］连续，单增，且，（ｎ）≥０，ｇ（￡）在［口，　］连续且不变号，　是由积分第二　中值定理２。所确定的“中间点”，则　是Ｘ的连续函数，且　（ｎ）一口．　证　是ｚ的函数及　（ｎ）一ｎ的证明可参考定理１的证明。　下证　一　（　）的连续性．设Ｖ　ｘＥ［口，６］，使ｚ＋△ｚ∈［口，６］，则有　ＣＩ，（ｚ　　）ｇ（￡）ｄｔ＝厂（ｚ）Ｉ　ｚ　ｇ（￡）ｄｔ　和　Ｉ　ｚ＋　ｚ　厂（ｆ）ｇ（￡）ｄｒ＝ｆ（ｘ＋Ａ　）Ｉ　ｌ七　ｇ（　）ｄｔ，　ＪⅡ　Ｊ　Ｃ（ｚ）　Ｊ　ｄ　Ｊ　ｒ（　＋△ｚ）　从而有　ｒｚ＋△ｚ　ｆ＇ｘ　ｒｚ＋△ｚ　ｒｚ　　Ｉ厂（￡）ｇ（￡）ｄｔ－Ｉ　ｆ（　）ｇ（　）ｄｔ＝ｆ（ｘ＋△ｚ）Ｉ　ｇ（　）ｄｔ－厂（ｚ）Ｉ　ｇ（￡）ｄｔ，　即　第３期　杜争光：积分第二中值定理“中间点”的分析性质　１５７　ｒ　）ＪＩ　ｚ　，（ｆ）ｇ（￡）　ｄｔ＝ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ）（（Ｉ、　Ｊ　ｒ（　＋△　）　ｇ㈤＋　（￡）　＋Ｉｄｔ　Ｊ　ｒ（ｚ）　ｇ（　）ｒ　∽１）　Ｉｄｔ＋　ｇＪ　　（　ｄ￡）　ｌｔ　／　一，（　）ＩＪ　ｇ｝（ｚ）　ｇ（（）．￡ｔ）ｄｔ．　整理得　Ｉｒ　抖△ｚ　（厂（￡）－－ｆ（ｘ－［－￣ｚ））ｇ（￡）ｄｒ＝，（ｚ＋△ｚ）Ｉｆ　　ｚ　ｇ（￡）ｄｔ＋ｌｒ　ｚ　（厂（ｚ＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（￡）ｄｔ，　即　ｒｒ＜ｚ）　ｒｊ斗　Ｘ　ｒ　ｆ（ｘ－＋－Ａ　ｚ）Ｉ　ｇ（￡）ｄｒ＝Ｉ　（　（￡）－－ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ））ｇ（￡）ｄｔ－Ｉ　（厂（　＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（￡）ｄｔ．　注意到／（￡）和ｇ（￡）的连续性，由积分第一中值定理，］ｃ　在　（　＋△　）与　（　）之间，ｊ　ｃｚ在　（　）与　之间，］ｃ。在　＋Ａ　ｚ与　之间，使得　ｒｒ（　）　ｆ（ｘ－Ｆ－￣ｚ）ＩＪ　ｒ（　＋△．　　）　ｇ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ＋Ａ　ｘ）ｇ（ｃ　）（　（ｚ）一　（ｚ＋△　）），　ｒ　Ｊｌ　ｒ（　）　（　（ｚ＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（￡）ｄ　一（厂（　＋△　）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｃｚ）（ｘ－－　（ｚ）），　ｒｚ＋△　Ｉ　（厂（￡）一ｆ（ｘ＋△　））ｇ（　）ｄｔ＝（厂（ｃ３）－－ｆ（ｘ＋△ｚ））ｇ（ｃ３）△　．　于是有　厂（ｚ＋△ｘ）ｇ（ｃ１）（　（ｚ）一　（　＋△　））　一（ｆ（ｃ３）一厂（ｚ＋△ｚ））ｇ（ｃ３）△ｚ一（厂（ｚ＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｃ２）（ｚ—　（ｚ）），　所以　＋Ａ　ｘ　（　看　．（２）　由于　（　）和ｇ（ｆ）的连续性，极限ｌｉｍｆ（ｘ＋Ａ　）一厂（　），ｌｉａｒｆ（ｃ３）一－厂（ｚ）且ｇ（ｃ１）≥ａ＞Ｏ，于是　ｌｉｍ（　（ｚ＋△　）一　（　））　４　—’０　＝ｌｉｍ一。　看　因此，　—　（ｚ）是　的连续函数．　定理４设函数厂（ｚ）在ａ，　］可导，单增，且厂（口）≥Ｏ，ｇ（　）在［ｎ，ｚ］连续且不变号，　是由积分第二　中值定理２。所确定的“中间点９９　９则　—　（ｚ）是可导的，且　（ｚ）一　．　证　由定理３的（２）式，有　＋Ａ　ｘ　（　丝　．　注意到厂（￡）的可导性及ｇ（￡）与　（ｚ）的连续性和△ｚ—Ｏ时Ｃ１－－－￣（ｘ），ｆｚ—　（　），ｃ。一ｚ，有　（　）一ｌｉｍ　立　一　△　＿．　０　ｒ　十　ｚ５　，　ｃ１　△ｚ　一　高等　一　一　：　兰　墨！芏！　二羔！　２　２　一！　！兰２二　！　曼　，（ｚ）ｇ（　（　））　－厂（ｚ）ｇ（　（ｚ））　一　：！兰２　１　二　！＝兰２　２　－厂（ｚ）　’　推论２设函数厂（￡）在［ｎ，ｚ］可导，单增，且厂（ｎ）≥Ｏ，ｇ（￡）在［口，ｚ］连续且不变号，　是由积分第二　中值定理２。所确定的“中间点”，则　（ｉ）当　（ｎ）≠Ｏ时，ｌｉｍ　一０；　—ｎ　Ｘ一口　１５８　大　学　数　学　第２６卷　（ｉｉ）当，（口）一，　（口）一・一，‘ｎ　（ｎ）一０，但ｆ‘　（ｎ）≠０时，ｌｉｍ　＝＝＝　！＿．　证　由于　（口）：口，因此ｌｉｍ　—ｌｉｍ—ｇ（ｘ）－－ｇ（ａ）一　（—ｎ）．　’　ｚ—ｎ　Ｚ一口ｒ，口　Ｚ—ｎ　（ｉ）　当厂（口）≠ｏ时，　（ｎ）＝＝＝　一０；　（ｉｉ）当，（口）一厂（ｎ）＿．－・一厂　（ｎ）一０，但ｆ‘”　（日）≠ｏ时，利用Ｌ，Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则，有　㈤一　（　一　争　一　十卜ｌｉｒａ＋Ｃ（　一因此，　２２　ｌｉｍ（　）＝ｌ）＝　ｉｍ　Ｌ　等　＋１＋．．　一ｄ　＋　—　口　Ｊ　…　重复以上过程　一１次，有　ｃｚ　一　＋ｒ／－１￣ｆ㈤ｃｎ　＋　一　ｎ’　＋ｎ－－ｌ＝＿－－　（ｚ）　因此，（　（ｚ）　即ｌｉｍ一　一　・　…注推论２正是文Ｅｌｉ的定理２及定理３和文［２］的推论２．　下面讨论“中间点”　的分析性质．　定理５设函数厂（　）在［ａ，－ｚ］连续，单调，且厂（￡）不是常数，ｇ（　）在［ｎ，ｚ］连续且不变号，叩是由积分　第二中值定理３。所确定的“中间点”，则　是ｚ的连续函数，且　（。）一ａ．　证　是ｚ的函数及Ｔｌ（ａ）一口的证明参考定理１．　现证　一　（ｚ）的连续性．设Ｖ　ｚ∈［ｎ，６］，使ｚ＋△：ｒＥ［ｎ，６］，则有　ｒＴ　ｒ　（　）　ｒ　Ｉ，（￡）ｇ（　）ｄｔ一－厂（ｎ）Ｉ　ｇ（￡）ｄｔ＋厂（１ｚ）Ｉ　ｇ（￡）ｄｔ，　ｒｘ＋ｚ￣　ｒ　７／（　＋△ｚ）　ｒＴ＋△　ｌ　ｆ（　）ｇ（≠）ｄｒ＝，（日）Ｉ　ｇ（￡）ｄｔ十ｆ（ｘ＋△ｚ）Ｊ　ｇ（￡）ｄｔ，　从而有　ｒ　ｄ　ｒ　（ｚ＋△Ｔ）　ｒ　＋△ｚ　ｒ　Ｊｌ　（￡）ｇ（ｚ）ｄｔ＝ｆ（ａ）ＩＪ　７１（　）　ｇ（　）ｄｔ＋ｆ（ｘ＋Ａ．ｚ）ＩＪ　（　＋△　）　　ｇ（￡）ｄｔ－－ｆ（ｘ）ｌＪ　（　）　　ｇ（ｚ）ｄｔ，　即　ｒｚ＋△　ｒ　（ｚ＋△　）　ｒ日（ｚ）　ｒ　Ｊｌ　２１２　厂（￡）ｇ（ｆ）ｄｔ一厂（　）Ｉ。Ｊ日（　）　　ｇ（ｚ）ｄｔ＋ｆ（ｘ＋Ａ　ｌｚ）ＩＪ　（　＋△ｚ）　　ｇ（ｚ）ｄｔ＋ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ）ｌＪ日（　　）　ｇ（ｔ）ｄｔ　ｆ＇ｘ十△ｚ　ｒＩ　＋ｆ（ｘ＋Ａ　）ＩＪ　　ｇ（￡）ｄｔ－－ｆ（ｘ）ＩＪ＂（　　）　ｇ（　）ｄｔ，　整理得　（　（口）一　（　＋△　））ｇ（￡）ｄ￡　Ｊ　（ｚ）　ｒ　＋　ｚ　ｒ　一Ｊｌ　ｚ　（，（￡）一ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ））ｇ（ｆ）ｄｔ－－Ｊ∞（ｚ）Ｉ　　（厂（ｚ＋△　）一厂（１ｚ））ｇ（　）ｄｔ．　注意到，（　）和ｇ（￡）的连续性，由积分第一中值定理，了ｃ　在　（ｚ＋△ｚ）与　（ｚ）之间，］Ｃ２在　与　（　）　之间，　ｃ。在Ｘ与ｚ＋△ｚ之间，使得　Ｉ‘　（，（口）－－ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ））ｇ（　）ｄ　一（厂（以）－－ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ））ｇ（ｃ１）（　（ｚ＋△　）一ｊ７（ｚ）），　Ｊｌ　＂（　）　（　（　＋△　）－－ｆ（ｘ））ｇ（　）ｄ￡一（／（　＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｆｚ）（ｘ－－　（　）），　第３期　杜争光：积分第二中值定理“中间点”的分析性质　１５９　ｒＩ　ｚ＋ｄ　（－厂（￡）－－ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ））ｇ（￡）ｄ￡一（厂（ｃ３）－－ｆ（ｘ＋Ａ　））ｇ（ｃａ）△ｚ，　Ｊ　于是　（，（ｎ）一，（　＋△　））ｇ（ｃ１）（＇７（　＋△ｚ）一　（ｚ））　一（厂（ｃ３）一厂（　＋△ｚ））ｇ（ｃ３）△ｚ一（厂（ｚ＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｃ２）（　一７ｉ（ｘ））．　所以　（ｚ＋△ｚ）一　（ｚ）一　（厂（ｚ＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｃ　）（ｚ一（ｚ））一（　（ｃ。）一，（　＋４　（，（ｚ＋△　）－－ｆ（ａ））ｇ（ｃ１）　曼　垒　．　（３）　　ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ）一厂（ｚ）’　ｌｉ　ｍｆ（ｃ。）一，（ｚ）且ｇ（ｃ　）≥口＞ｏ・于是，由于厂（￡）和ｇ（￡）的连续性，极限　ｉｍ一。一。ｉｍ（ｙ（ｘｑ－Ａｚ）一叩（ｚ））　一：＝ｌｉｍ　△ｚ—・０　（厂（ｚ＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｃ２）（ｚ一（ｚ））一（厂（ｃ３）一厂（ｚ＋△　））ｇ（ｃ３）　（厂（　＋Ａ　ｚ）－ｆ（ａ））ｇ（ｃ１）　一０．　因此，　—１７（　）是ｚ的连续函数・　定理６设函数厂（￡）在Ｖａ，ｚ］可导，单调，且厂（￡）不是常数，ｇ（￡）在［ｎ，　］连续且不变号，叩是由积分　第二中值定理３。所确定的“中间点”，则　一　（ｚ）是可导的，且　（ｚ）一　簧荟　证　由定理（５）的（３）式，　－．　．　ｃ２）ｘ－Ｔｘ））ｃ）ｘ）－－ｆ（ｘ））ｇ（（Ｉ（（ｆ（　－ｆ（ｘ＋Ａ　ｘ））ｇ（ｃａ）Ａ　ｘ（ｚ＋△ｚ）一１７（ｚ）一—（ｆ（ｘ＋Ａ　（ａｚ＋△ｚ））（（－厂，（口）ｇｃ）一注意到，（￡）可导性和ｇ（￡）与７１（ｘ）的连续性和△ｚ—Ｏ时ｃ　一叩（　），ｃｚ－－￣Ｔｌ（ｘ），Ｃ３一ｚ且厂（￡）不是常数，　有　叩，（ｚ）一ｌｉｍ　ｙ（ｘ＋Ｚ￣ｘ）－－ｑ（ｘ）．　．．．　一　ｌｉｍ———————　—．　—　（厂（ｚ＋△　）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｃ２）（ｘ－－刀（　））一（厂（ｆ３）－－ｆ（ｘ＋Ａ　ｚ））ｇ（ｃ３）△ｚ　再　—————一　．一△　一ｏ　（厂（ｚ　△　）一厂（＋－　了　ｎ））ｇ（ｃ１）△ｚ　一一　－ｌｉｍ１１１。（厂（　＋△ｚ）－－ｆ（ｘ））ｇ（ｃ２）（ｘ－－＇７（ｚ））　１．（，（ｃ３）一ｆ（ｘ＋△ｚ））ｇ（ｃ３）△ｚ　．　一（，（　＋△ｚ）　－—ｆ（ａ—））—ｇ（ｃｌ　）△ｚ　２　一　：　兰　墨　！　２　２　１　二翌！兰　一　１　！　２二　．　（厂（ｚ）－－ｆ（ａ））ｇ（叩（ｚ））　（厂（ｚ）－－ｆ（ａ））ｇ（　（ｚ））　一　：　兰　！兰二　２　２　｝　）——，　ａ）　推论３设函数ｆ（ｔ）７￣Ｅ［－ａ，ｚ］可导，单调，且厂（￡）不是常数，ｇ（￡）在［口，ｚ］连续且不变号，叩是由积分　第二中值定理３。所确定的“中间点”，则　ｍ（ｉ）当厂（ｎ）≠０时，ｌ　ｉ—ｒ／－－ａ　一一。　专；　ｒ／－－一（ｉｉ）当　（口）一・一厂‘一１　（ｎ）一ｏ，但ｆ‘　（ｎ）≠ｏ时，ｌ　ｉｍ　ｚ证　由于　（口）一ｎ，因此ｌｉｍ￣／－－ａ．一ｌｉｍ　至　ａ　一　ｎ．　一　，（口）．　（ｉ）当厂（ｎ）４：０时，利用Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则，有　（口）一　即有２　ｌｉａ　（ｚ）一１．所以ｌｒｉ一口　。）一　ｐｎ十　Ｚ　若　—　一厂　）　ｌｉｍ　ｘ　－）一ｙ（厂ｘ（）　Ｚ　（以　．（ａ）南　‘１一　））一１一　），　，一　，（ｚ　一　磐　ｍ　７／　（ｚ）一专，ｌｍ；ｉｒ／－一ａ。　．一　１　（ｉｉ）当厂（ｎ）一・一厂　（口）一０，但ｆ　（口）≠０时，利用Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则，有　ｌ６Ｏ　大　学数　学　第２６卷　一　遗　ｚ一Ⅱ＋　Ｊ　＿ｚ　一　一　ｌｉａｒ）＋１．　—ｎ＋　，　ｋｘ）　一口＋　因此，２ｌｉｒａ７／　）一　＋１．　＋…ｎ　一　＋ｒｌ－１￣　＋　一　＋．－１＝－ｌｉｒａ　）　．　…因此，（　＋１）ｌｉｍ　＋　７／（ｚ）＝＂，即ｌｉｍ　（—ｄ—ｎ＋　ｚ）＝　十１　，所以ｌＴ一口Ｚ—ｉｍ　ａ　一　—ｔ－ｌ　．　注　椎诊３皂寸ｒ１］的窜硼４　硼５和寸厂　］的椎诊３　［参　考　文　献］　Ｅ１］吴至友，夏雪．积分第二中值定理“中间点”的渐近性ＥＪ］．数学的实践与认识，２００４，３４（３）：１７Ｏ一１７６．　［２］刘文武．积分第二中值定理“中间点”的渐近性分析［Ｊ］．数学的实践与认识，２００５，３５（９）：２２１—２２５．　Ｔｈｅ　Ａｎａｌｙｔｉｃ　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ‘‘Ｔｈｅ　Ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ　Ｐｏｉｎｔ’’ｉｎ　ｔｈｅ　Ｓｅｃｏｎｄ　Ｍｅａｎ　Ｖａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ＤＵ　Ｚｈｅｎｇ—ｇｕａｎｇ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｌｏｎｇｎａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈｅｎｇｘｉａｎ，Ｇａｎｓｕ　７４２５００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｓｏｍｅ　ａｎａｌｙｔｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ“ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ　ｐｏｉｎｔ’’ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌｓ，ｓｕｃｈ　ａｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ａｎｄ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｉｎｔｅｇｒａｌｓ；“ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ　ｐｏｉｎｔ”；ａｎａｌｙｔｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ