2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试——数学理

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

a＋i1．复数z＝为纯虚数，则实数a的值为

4＋3i3344A． B．－ C． D．－

44332．命题“x∈R，ex－x＋1≥0”的否定是

A．x∈R，lnx＋x＋1＜0 B．x∈R，ex－x＋1≥0 C．x∈R，ex－x＋1＞0 D．x∈R，ex－x＋1＜0 3．如右图，是一程序框图，若输出结果为

5，则其中的“?”11x＝2，曲线y＝

1及x轴所围成的图形的面积是2 ln2；③已知随机变量ξ服从正态分布Nx（1，2），P(4)0.79，则P(2)0.21；④设回归直线方程为y22.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位． 其中正确结论的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4

uuurrr1uuu3uuu9．在△ABC中，｜AB｜＝3，｜AC｜＝2，AD＝AB＋AC，则直线AD通过△ABC

24的

A．垂心 B．外心 C．重心 D．内心 10．已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示，则该几何体的体积为 A．23 B．

4323 C．3 D． 33

x2y213a与双曲线2－2＝1（a＞0，b＞0）11．已知圆x＋y＝ab222框内应填入

A．k11 B．k10 C．k9 D．k10

4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的

是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P(BA)

1321 A． B． C． D．

510525．下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为

e－x－ex1 A．y＝ B．y＝ C．y＝sinx D．y＝lgx

2x的右支交于A，B两点，且直线AB过双曲线的右焦点，则

双曲线的离心率为

A．2 B．3 C．2 D． 3

x＋2，x0,12．已知函数f(x)若函数yf(x)k(xe2)的零点恰有四个，则实数k

lnx,x0.的值为

11A．e B． C．e2 D．2

ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

x＋y－40,13．实数x，y满足条件x－2y＋20,则x－y的最小值为______________

x0，y0,1－3nn为偶数，14．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1则其前10项和为____________．

2,n为奇数.6．已知集合A＝Axx2axa10，且集合Z∩CRA中只含有一个元素，则实数a的取值范围是

A．（－3，－1） B．[－2，－1） C．（－3，－2] D．[－3，－1] 7．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(2ac)cosBbcosC0．角B的值为

25 A． B． C． D．

3663118．给出下列四个结论：①二项式(x2)6的展开式中，常数项是－15；②由直线x＝，

x2

1

15．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C

上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C

的准线的距离为．则抛物线C的方程为___________

16．已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其

a外接球的半径为R，则等于____________

R三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝5，an＋1＝

8an－121，nN, bn＝．

3an－4an－2uuuruuur （Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OP·OQ为定值．

21．（本小题满分12分）函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数f(x)满足：（1）f(x)在[a，b]内是单调函数；（2）f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为yf(x)的“和谐k区间”．

（Ⅰ）若函数f(x)ex存在“和谐k区间”，求正整数k的最小值；

（Ⅱ）若函数g(x)m2，求实数m的取x(m2)lnx2x(m0)存在“和谐2区间”

2 （Ⅰ）求证：数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；

（Ⅱ）已知以数列{bn}的公差为周期的函数f(x)＝Asin（ωx＋）[A＞0，ω＞0，1]上单调递减，求的取值范围． 218．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，M，N分别是BC、PC的中点．

（Ⅰ）证明：AM⊥PD；

（Ⅱ）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的

∈（0，π）]在区间[0，

正切值为6，求二面角M－AN－C的余弦值． 219．（本小题满分12分）居住在同一个小区的甲、乙、丙三位教师家离学校都较远，每天

1早上要开车去学校上班，已知从该小区到学校有两条路线，走线路①堵车的概率为，不

43堵车的概率为；走线路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1－p．若甲、乙两人走线路

4①，丙老师因其他原因走线路②，且三人上班是否堵车相互之间没有影响．

7 （Ⅰ）若三人中恰有一人被堵的概率为，求走线路②堵车的概率；

16（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三人中被堵的人数ξ的分布列和数学期望．

x2y220．（本小题满分12分）过点C（0，3）的椭圆2＋2＝1ab值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做。则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于点E、D． （Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；

1 （Ⅱ）若tan∠CED＝，⊙O的半径为6，求OA的长．

2 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2＝acos （a＞0），过点P(2,4)的

x＝－2＋直线l的参数方程为y＝－4＋2t,2 （t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点． 2t,2（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜AB｜2，求a的值．

24．（本小题满分10分）已知函数f(x)2xa5x，其中实数a0． （Ⅰ）当a＝3时，求不等式f(x)4x6的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)0的解集为xx2，求a的值．

2

（a＞b＞0）的离心率为

1，椭圆与x轴交于Aa,0和2Ba,0两点，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x

轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（Ⅰ）当直线l过椭圆的右焦点时，求线段CD的长；

2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试

理科数学试题参及评分标准

一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 A 7 C 8 B 9 D 10 B 11 C 12 D B D B D B 答案 二、填空题（每小题5分，共20分） 而PAADA，

所以AM平面PAD.„„„„„„„„„„„„„„4分 又PD平面PAD，所以AMPD.„„„„„„„5分

（Ⅱ）解法一：设AB2，H为PD上任意一点，连接AH、MH. 由（Ⅰ）可知：AM平面PAD.

则MHA为MH与平面PAD所成的

z 角.„„„„„„„„„„„„„6分

P在RtMAH中，AM23，

NA（13） 1 （14）256 （15） x2y （16）三、解答题

17.解：（Ⅰ）bn1bn14 4所以当AH最短时，MHA最大，„„„„„„„„„„„7分 即当AHPD时，MHA最大，此时

H D3a43a6311111nn.

8a12an12an2n2an22an4an22an423an4tanMHA因此AHAM36

.AHAH2By 所以数列{bn}为首项为b1故bn113，公差为的等差数列， „„„„„„„„4分 a12322.又AD2，所以ADH45是PA2.

如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,2)，

MC，于

x „„8分

139n7(n1). „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 3262224（Ⅱ）由于函数f(x)的周期T，所以， „„„„„„„„8分 3T321423又x[0,],x[,][,]， „„„„„„„„„„„„„„10分

23322D(0,2,0)，M(3,0,0)，B(3,1,0)，C(3,1,0)， E(3,1,0).

22所以

≥,22≤3.233131则设AC的中点为E，由（1）知BE就是面PACN(,,1)AN(,,1)，AM(3,0,0)，

2222的法向量，面角为.

所以

P33EB(,,0).设平面MAN的法向量为n(x,y,1)，二面角MANC的平

22[526 „„„„„„„„„„„„„12分 ,].SN 60，

BAOH18. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC可得

DCMABC为正三角形.因为M为BC的中点，所以AMBC.„„„„„„„„„„„„„„1分

又BC∥AD，因此AMAD.因为PA平面ABCD，AM平面ABCD，所以PAAM. „„„„„„3分

由 AMn0,3x0,x0,y2,z1,n(0,2,1).31ANn0.xy10.22„„„„„„„„„10分

coscosEB,n3

315

.553

二面角MANC的余弦值为15.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

5答：p的值为11, 即走线路②堵车的概率为„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 33.（Ⅱ）解法二：设AB2，H为PD上任意一点，连接AH、MH

由（Ⅰ）可知：AM平面PAD.

则MHA为MH与平面PAD所成的角.„„„„„„„„„„„„„„„6分 在RtMAH中，AM（Ⅱ）可能的取值为0，1，2，3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 P(0)3，

所以当AH最短时，MHA最大，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

即当AH33237  , P(1)443816 .

PD时，MHA最大，此时tanMHAAMAH36.

AH2112111111131P(2)C2 ,P(3)

4434434348„„„„„„„„„„„„„8分

的分布列为：

 0 1 2 3

3711 P 8168

„„„„„„„„10分

2.又AD2，所以ADH45，于是PA2.„„„„„„„„8分

因为PA平面ABCD，PA平面PAC，

所以平面PAC平面ABCD.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

过M作MOAC于O，则由面面垂直的性质定理可知：MO平面PAC，所以MOAN，过M作MSAN于S，连接OS，AN平面MSO，所以ANSO则MSO为二面角MANC的平面角. „„„„„„„„„„„„„10分

因此AH在RtAOM中，

3，3OMAMsin30OAAMcos30

22又N是PC的中点，在RtASO中，

SOAOsin4532

4711523 . 16865答：三人中被堵的人数的数学期望为．„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

6所以E0120. 解：（Ⅰ）由已知得b38又

SMMO2SO230 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 43，c1，得a2a2所以，椭圆x在RtMSO中，

cosMSOSO15

SM515.„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 52y21.„„„„3分 432y C B O P A x D Q 椭圆的右焦点为F(1,0)，此时直线l的方程为

即二面角MANC的余弦值为

y3x3.

由y7311319．解:（Ⅰ）由已知条件得C2(1p)p .„„„„„„„„„3分

44416即3p1，则p

223x4y12.3x3, 1 . 34

解得

8x10,x2.

5所以

816CD(1k2)x1x24.„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

553„„„„„„„„„„„„„„7分 ).283k

x10,或x2.234k上单调递增，所以v(x)≥v(lnk)，„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

由于v(x)在R上有两个零点，所以v(lnk)elnk（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符，所以直线l与x轴不垂直，即直线的斜率存在. 设直线l的方程为

klnkk(1lnk)0.

所以ke，又k为正整数，所以k的最小值为3. „„„„„„„„„„„„„5分 （Ⅱ）由题意知函数g(x)的定义域为(0,)，

ykx3(k0且k代入椭圆的方程，化简得（34k2)x283kx0，解得3(34k)

.234k2m2mx22xm2(x1)(mxm2)， g(x)mx2xxx由于x0,m≥0，所以

代入直线l的方程，得

y13,或y2mxm20，由g(x)0知函数g(x)在区间(1,)上单调递增； x由g(x)0知函数g(x)在区间(0,1)上单调递减. „„„„„„„„„„„„„„„„7分

所以，D的坐标为

83k3(34k2)„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 (,).2234k34k2yy2032k3，因B(2,0)，

1kBD，

x2232k3232k3

(x2).22k3由于函数g(x)存在“和谐2区间” [a,b]，若[a,b](0,1]，则又直线AC的方程为xg(a)2b,

g(b)2a.所以直线BD的方程为

ym2g(a)a(m2)lna2a2b,2即

mg(b)b2(m2)lnb2b2a.2两式相加得

联立解得

4kx,即Q(4k,2k3).„„„„„„„„„„„„„„„„10分 33y2k3.3 所以34k.

P(,0)OPOQ(,0)(,2k3)404kk3m2m2ab(m2)lna(m2)lnb0， 22由于[a,b](0,1]及m≥0,易知上式不成立. „„„„„„„„„„„„„„8分

若[a,b][1,)，由g(x)在区间[1,)上单调递增知，a,b为方程f(x)2x的两个不等根，

而P的坐标为

所以OPOQ为定值4. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

21.解：（Ⅰ）由于函数f(x)e为R上的增函数，若f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb]，则必有

xm2mx2(m2)m2. 令h(x)f(x)2xx(m2)lnx，则h(x)mxxx2若m0，则h(x)2lnx在[1,)单调递减，不可能有两个不同零点；„„„10分

f(a)ka,f(b)kb,所以a,b为方程f(x)kx的两个不等根，„„„„„„„1分

令v(x)f(x)kxekx(kN)，则v(x)ek，由v(x)ek0知xlnk， 由v(x)ek0知0xlnk，所以函数v(x)在区间(,lnk)单调递减，在区间(lnk,)

5

xxxxm2mx2(m2),)上单调递增；同样，由h(x)00知，h(x)在[若m0，h(x)mx知，h(x)在[1,m2)上单调递减. m函数h(x)m2x2(m2)lnx在[1,)上有两个不同零点，又h(1)m20，故有 h(m2m)m2m2m(m2)lnm2m0，解之得0m2e1. 综上，所求实数m的取值范围为0m2e1.„„„„„„„„„„„„„„12分 22.解：（Ⅰ）如图，连接OC，

∵OAOB ，CACB，∴OCAB，∴AB是⊙O的切线. „„„„„„4分 （Ⅱ）∵ ED是直径， ∴ECD90，RtBCD中，

tanCED1, 2CD1 ∵AB是⊙O的切线，

EC2.E ∴BCDE.又 ∵CBDEBC ∴CBD∽

O EBC,∴

BDBC=CDEC=12. 设BDx,BC2x，

又BC2BDBE， ∴ (2x)2=x·(x12).

A D C

B

解得：x10,x24, ∵BDx0 , ∴BD4 .

∴OAOBBDOD4610.„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 23．解：（Ⅰ） 由sin2acos(a0)得2sin2acos(a0),

∴曲线C的直角坐标方程为y2ax(a0).„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 直线l的普通方程为yx2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 （Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2ax(a0)中， 得t22(a8)t4(a8)0, 设A、B两点对应的参数分别为t1,t2, 则有t1t22(a8),t1t24(a8).„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分

∵PAPBAB2,

∴(t221t2)t1t2, 即(t1t2)5t1t2.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 ∴[2(8a)]220(8a),a23a40.

解之得：a2或a8 (舍去),∴a的值为2.„„„„„„„„„„„„„„„„10分 24．解：（Ⅰ）当a3时，f(x)≥4x6可化为2x3≥x6，

2x3≥x6或2x3≤x6.

由此可得x≥3或x≤3.

故不等式f(x)≥4x6的解集为{xx≥3或x≤3}.„„„„„„„„„„„„„„5分 （Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）

由fx≤0,得2xa≤5x,此不等式化等价于x≥a2,或xa2, 2xa5x≤0.(2xa)5x≤0.解之得x≥a,xa,22a或a

x≤7.x≤3.因为a0,所以不等式组的解集为xx≤a,由题设可得a332,故a6.„„„„„„„„10分

法二：（从等价转化角度考虑）

由fx≤0,得2xa≤5x,此不等式化等价于5x≤2xa≤5x,

a即为不等式组x≤,5x≤2xa,32xa≤5x. 解得

x≤a7.因为a0,所以不等式组的解集为xx≤a,由题设可得a332,故a6.„„„„„„„„10分

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