二次函数经典100题突破

二次函数培优卷

★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

★★二次函数y=ａx2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠０) 一般式:y=ax2+bx+c，三个点

b4acb2顶点式：y=ａ(ｘ－h）＋k，顶点坐标对称轴,顶点坐标（-,）．顶点坐标(h,k）

4a2a２

★★★a b c作用分析

│a│的大小决定了开口的宽窄,│a│越大,开口越小，│ａ│越小,开口越大，a,b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时,对称轴x=0,即对称轴为y轴,当a,b同号时,对称轴ｘ=－

bb<０,即对称轴在y轴左侧,当a,b•异号时，对称轴x=－>0,即对称轴在y轴右侧,(左同2a2a右异y轴为0）

c•的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=０时,抛物线经过原点,c＞0时,与y轴交于正半轴;c<0时,与ｙ•轴交于负半轴，以上a，ｂ，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

交点式:y=a（x- x1)(x- ｘ2)，（有交点的情况)与ｘ轴的两个交点坐标x1，x2 ,对称轴为

hx1x2 2１. 二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) 1．把二次函数的图象向左平移２个单位，再向上平移１个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是y(x1)22则原二次函数的解析式为

2．二次函数的图象顶点坐标为(2，１），形状开品与抛物线ｙ= - 2x2相同，这个函数解析式为_＿______。 3.如果函数y(k3)xk23k2kx1是二次函数,则k的值是_____＿

4.已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线yx21上,下列说法中正确的是( ）

A．若y1y2,则x1x2

Ｂ.若x1x2，则y1y2

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Ｃ.若0x1x2，则y1y2 D.若x1x20,则y1y2

2yxbxc图像向右平移2个单位再向下平移３个单位,所得图像的解析式为5．抛物线

yx22x3，则b、c的值为

A . b=2， c＝２ B． b=2,c=0 C . b＝ -2，c=-1 D. b= －3， c＝２

★6．抛物线y(m1)x2(m23m4)x5以Y轴为对称轴则。M=

7.二次函数yax2a5的图象顶点在Y轴负半轴上。且函数值有最小值，则ｍ的取值范围是

a4a52x1, 当a_＿__＿_＿时, 它是一次函数; 当a______＿８.函数y(a5)x2时， 它是二次函数．

9.抛物线y(3x1)2当x 时，y随x的增大而增大

10.抛物线yx2ax4的顶点在x轴上，则x值为

★11.已知二次函数y2(x3)2，当X取x1和x2时函数值相等,当X取x1+x2时函数值为

12.若二次函数yax2k,当X取X１和X2（x1x2)时函数值相等,则当Ｘ取X１+Ｘ2时,函数值为

--

--

13.若函数ya(x3)2过(2.９)点，则当X=4时函数值Y＝

★14．若函数y(xh)2k的顶点在第二象限则,ｈ ０ ，k ０

15.已知二次函数当x＝2时Y有最大值是１.且过（３.0）点求解析式?

16.将y2x212x12变为ya(xm)2n的形式,则mn＝____＿。

★1７．已知抛物线在X轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为（2,3)求解析式?（讲解对称性书写）

一般式交点式中考要点 18．如果抛物线ｙ=x２-６x+c－2的顶点到x轴的距离是３，那么c的值等于( ) (A）8 (B）14 （Ｃ)８或14 （Ｄ)－８或-14

1９.二次函数y=x2-(12-k）x＋12,当x>1时，ｙ随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ) （A）12 （B）1１ (Ｃ）10 (D）９

２0.若b0，则二次函数yx2bx1的图象的顶点在( ）

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（A）第一象限(B）第二象限 （C）第三象限(D）第四象限

２1.不论x为何值,函数y＝ax2＋bx＋c(ａ≠0)的值恒大于0的条件是（ )

A．ａ＞０,△＞0

★２2.已知二次函数y(a1)x23xa(a1)的图象过原点则ａ的值为

２3.二次函数yx23x4关于Y轴的对称图象的解析式为 关于X轴的对称图象的解析式为

关于顶点旋转1８０度的图象的解析式为

2４. 二次函数y＝2(x+3）(x-1)的ｘ轴的交点的个数有__个,交点坐标为＿_＿＿___。

2５.已知二次函数yax22x2的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是 ２6.二次函数y=（x-1）(ｘ+２）的顶点为_＿_,对称轴为 ＿。

27.抛物线y=(k-1)x2＋(2－2ｋ）ｘ+1，那么此抛物线的对称轴是直线____＿___＿，它必定经过＿_______和____

28．若二次函数y2x26x3当取两个不同的值x1和x2时,函数值相等,则x1x2=

２9.若抛物线yx22xa的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（ )

Ｂ.ａ＞0, △<0 C.a＜０， △<０ ﻩD．a<0, △＜0

--

--

A.a1ﻩ B.a1 ﻩC．a≥1ﻩ D.a≤1

3０.抛物线y= (k2-2）x２+ｍ-4ｋx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y＝ －求函数解析式。

3１.已知二次函数图象与x轴交点(2,0）(-1,０)与y轴交点是(０，-1）求解析式及顶点坐标。

32.ｙ= ax２+bx+c图象与ｘ轴交于A、Ｂ与ｙ轴交于C，ＯA＝2,OB=1 ，OC=1,求函数解析式

３２. ★★★★★抛物线yx26x5与x轴交点为A,B,(A在Ｂ左侧）顶点为Ｃ.与Y轴交于点D

(1)求△ABC的面积。

3３(2)若在抛物线上有一点M,使△AＢＭ的面积是△AＢC的面积的２倍。求Ｍ点坐标(得分点

1+2上,2--

--

的把握)

34（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ＱAＣ的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由．

3５（4)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBAC是等腰梯形,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由

二次函数图象与系数关系+增减性 ３6.二次函数yax2bxc图象如下,则a，b,ｃ取值范围是

--

--

37已知ｙ＝ax２+ｂx+ｃ的图象如下，

则：a＿_＿＿0 b_＿_０ c＿_＿0 a+b+c_＿_＿0 b2

－4ac＿＿_0 4a＋2b+c 0

3８.二次函数yax2bxc的图象如图所示. 有下列结论：

①b24ac0；

②ab0; ③abc0； ④4ab0；

⑤当y2时，x等于0.

⑥ax2bxc0有两个不相等的实数根 ⑦ax2bxc2有两个不相等的实数根 ⑧ax2bxc100有两个不相等的实数根 ⑨ax2bxc4有两个不相等的实数根 其中正确的是( ）

--

-b+c__0 a+ｂ__＿＿0 ａ ２ --

３9．（天津市)已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,下列结论：① abc0;②

bac；③ 4a2bc0;④ 2c3b；⑤ abm(amb)，(m1的实数）其中正确的结论有（ ）。

Ａ. 2个ﻩ Ｂ. 3个ﻩﻩ C. ４个ﻩﻩ D. 5个

40.小明从右边的二次函数yax2bxc图象中，观察得出了下面的五条信息:①a0,②

c0,③函数的最小值为3,④当x0时,y0,⑤当0x1x22时，y1y2.你认为其中正确的

个数为（ ）

A.2ﻩ B．3 ﻩ Ｃ.４ﻩ D．5

y0 2 x3

41.已知二次函数yax2bxc，其中a，b，c满足abc0和9a3bc0,则该二次函数图象的对称轴是直线 ．

42.直已知y=ax2+bx＋c中a<0，ｂ＞0，c<０ ，△＜0，函数的图象过 象限。

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21351yx4x5的图象上的三点,则y1，y2,y3４3.若A(,y1),B(,y2),C(,y3)为二次函数

444的大小关系是（ )

A.

4４.在同一平面直角坐标系中，一次函数yaxb和二次函数yax2bx的图象可能为( )

y1y2y3ﻩB．

y2y1y3 Ｃ.

y3y1y2ﻩD.

y1y3y2

yyyyOxOxOxOxＡ

Ｂ

Ｃ

Ｄ

45.二次函数yax2bxc的图象如图所示,则直线ybxc的图象不经过( A．第一象限 ﻩＢ.第二象限 ﻩC．第三象限ﻩ Ｄ．第四象限

yO x

４6.抛物线y＝ａx2+bx＋c的图象如图,ＯA=OC,则 ( )

(A） ac+1=b（Ｂ） ab+1=c (Ｃ）bc+1=a (D)以上都不是

y C A O x

47.已知二次函数ｙ=ax2＋bx+c，且a＜０，a－b+c＞０,则一定有( )

A b24ac ＞0 Ｂb24ac＝０ Cb24ac<0 Ｄb24ac≤０

--

）

--

48.若二次函数y＝ax2+ｂx+c的顶点在第一象限,且经过点(0,1),（-１,0）,则S=ａ+ｂ＋c的变化范围是 ( )

（A)01 (C) 10)，且1x12,49.(１0包头）已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于点(2，0)、(x1，与y轴的正半轴的交点在(0，2)的下方.下列结论：①4a2bc0;②ab0；③2ac0;④2ab10．其中正确结论的个数是 个．

５0.y=x2+(1-a)x＋1是关于x的二次函数,当x的取值范围是1≤x≤3时,y在x＝1时取得最大值,则实数ａ的取值范围是( ）。 A.ａ=5 B．a≥5 C.a＝3 D．ａ≥3

二次函数与方程不等式 51.y＝ax２+ｂx+c中，a＜0,抛物线与ｘ轴有两个交点Ａ(2,0)Ｂ（－1，０),则ａｘ2+bx+c>0的解是__＿_＿＿___＿_＿； ａx2+bx＋ｃ<0的解是_＿_＿＿＿_＿＿＿_＿

52．已知二次函数y=x2+mx＋m-５，求证①不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点;②当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短。

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53.如果抛物线y＝

５４.右图是二次函数y１=aｘ2+ｂx＋ｃ和一次函数ｙ2＝mx+n的图像，•观察图像写出y2≥ｙ１时，ｘ的取值范围___＿__＿．

1２

ｘ-mx+5m2与x轴有交点，则m___＿__ 2

55. 已知函数y1＝x2与函数ｙ２=-（ ）. A.-3333＜x<2 B.x>２或x＜- Ｃ．－2＜ｘ< D． x＜－2或x> 22221x+3的图象大致如图，若ｙ1＜y2,则自变量x的取值范围是2

56． 实数X，Y满足x23xy30则X＋Ｙ的最大值为 .

57．如图，是二次函数y=ax2＋ｂｘ+c图象的一部分，其对称轴为直线ｘ=1,若其与x轴一交点为A（3,0）,则由图象可知,不等式ax2+ｂx＋c＜0的解集是 .

形积专题1. --

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58.(中考变式)如图，抛物线yx2bxc与x轴交与A（1,０),B(-3，０）两点,顶点为Ｄ。交Y轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

5９．(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△ＭBＣ是以∠BCM为直角的直角三角形,若存在，求出点P的坐标。若没有,请说明理由

60.(3)若E为抛物线B、Ｃ两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BＣ于Ｆ，设E点横坐标为x．EF的长度为L, 求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围?

当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?

61.(4)在(５）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时，以点

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E、F、Ｈ、Ｄ为顶点的四边形为平行四边形?

6２.(５)在（５）的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCＥ的面积最大？

6３.（6)若圆P过点ABD。求圆心P的坐标？

4)两点，与x轴交于另一点B． 0)、C(0，6４.如图，抛物线yax2bx4a经过A(1，(1）求抛物线的解析式；

（2)已知点D(m，m1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;

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65. 已知二次函数y=x２－(m2+８)x+2(m2+６)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形,如果存在求m;若不存在说明理由。

66．（08湛江）如图所示，已知抛物线yx21与x轴交于A、Ｂ两点,与y轴交于点C. 求A、B、C三点的坐标.

过A作AP∥CB交抛物线于点Ｐ,求四边形ＡCＢP的面积.

67.在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴点G,使以A、M、G三点为顶点的

A P y o C B 图11 x --

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三角形与PＣA相似．若存在,请求出Ｍ点的坐标;否则,请说明理由．

二次函数极值问题 22yaxbxcb68.二次函数中，ac,且x0时y4,则（ )

A.

y最大4B．

y最小4C.

y最大3D．

y最小3

22y(x1)(x3)69.已知二次函数 ，当x＝＿＿__＿_＿__时，函数达到最小值。

7０．若一次函数Ａ.最大值

2ya(xh)k的值恒为正值, 则 __＿＿_. 71．若二次函数

的图像过第一、三、四象限,则函数Ｃ.最小值

D.有最小值

（ ）

B.．最大值

A. a0,k0 B． a0,h0 C. a0,k0 Ｄ. a0,k0 72.函数yx29。当-273.若函数yx22x3,当4x2函数值有最 值为

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二次函数应用利润问题 74．某水果批发商销售每箱进价为４０元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于５5元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查,平均每天销售90箱，价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

（1）求平均每天销售量y(箱)与销售价x（元/箱)之间的函数关系式.（３分)

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元)与销售价x（元/箱)之间的函数关系式．(3分） （3）当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少？(４分)

７5随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系,如图１2-①所示;种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系,如图12-②所示（注：利润与投资量的单位:万元）

(1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式;

(２）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的

最大利润是多少?

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76．我区某工艺厂为迎接建国6０周年,设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x(元 ∕ 件) 与每天销售量y(件）之间满足如图3-４－1４所示关系．

（１）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量； (２)①试求出y与x之间的函数关系式；

②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少？(利润=销售总价-成本总价）。

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77.某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行补贴,规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元)之间大致满足如图3-4-１3①所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加,但每亩蔬菜的收益z（元)会相应降低，且z与x之间也大致满足如图3-4-1３②所示的一次函数关系．

(１）在未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少?

(2）分别求出补贴实施后,种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与补贴数额x之间的函数关系式；

（3)要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，应将每亩补贴数额x定为多少?并求出总收益w的最大值.

二次函数应用几何面积问题与最大最小问题 78.(韶关市)为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙（墙长２5ｍ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCＤ，绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ｙm².

求y与ｘ之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围； 当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

C图425mBAD--

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79.若要在围成我矩形绿化带要在中间加一道栅栏,写出此时Y与X之间的函数关系式,并写出自变量X的取值范围。

当X为何值时,绿化带的面积最大？

二次函数与四边形及动点问题 80.如图,等腰梯形ABCD中,AB＝４,CD＝9，∠C＝60°，动点P从点C出发沿ＣD方向向点D运动，动时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点Ａ运动,其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长;

（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；

８1.(３）探究:在ＢC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在，请找出点Ｍ，并求出BM的长;不存在，请说明理由.

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82.如图: 在一块底边BC长为80㎝、BC边上高为60㎝的三角形ABＣ铁板上截出一块矩形铁板EFGＨ , 使矩形的一边FG在ＢC边上, 设EF的长为x㎝, 矩形EＦＧH的面积为ycm2. （1) 试写出y与x之间的函数关系式

(2) 当x取何值时, y有最大值? 是多少?

8３.如图３-４-２9所示，矩形ABCD中，AB=８，BＣ=6,P是线段BC上一点（P不与B重合)，M是DB上一点，且BＰ=DＭ,设BP=x，△MBP的面积为y,则y与x之间的函数关系式为 。

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84．如图，在等边三角形ＡBC中，AB=2,点Ｄ、E分别在线段ＢC、ＡＣ上（点D与点B、C不重合)，且∠ADE＝６00. 设ＢＤ＝ｘ,CE=y． （1）求y与x的函数表达式;

（2)当ｘ为何值时,y有最大值，最大值是多少？

AEBCD

85.已知:如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC，A90,BCCD10,sinC5)

(1）求梯形ABCD的面积；

(2)点E，F分别是BC，CD上的动点,点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动,若两点均以每秒１个单位的速度同时出发，连接EF.求△EFC面积的最大值,并说明此时

4(DM/CＤ=4／5E，F的位置． A B

86.如图，点

是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,

,

． 翻折,使点

落在

边上的点

处,求

两点的坐

为原点,点

在轴的正半轴上，

D E M

N

F C

在轴的正半轴上，

边上取一点

(１)在,将纸片沿

--

--

标；

8７.(2）如图19-2,若

上有一动点（不与

重合）自

点沿

方向向

点匀速运动,

运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒(于点

，过点

作

的平行线交

于点

．求四边形

)，过点作的平行线交

的面积与时间之间的函数

关系式；当取何值时,有最大值?最大值是多少？

88（3）在(2）的条件下,当为何值时，以应的时刻点

的坐标.

为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相

--

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８９.如图，在平面直角坐标系中，矩形OAＢＣ的两边分别在x轴和ｙ轴上，

OA82cm,OC8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿ＯA方向以每

秒2ｃm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒１cm的速度匀速运动．设运动时间为ｔ秒．

(1）用t的式子表示△OPQ的面积S;

9０.(２）求证:四边形ＯＰＢQ的面积是一个定值,并求出这个定值；

9１.（3)当△OＰQ与△PAB和△QＰB相似时,抛物线y12xbxc经过B、P两点,过线段BP4上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段ＭN的长取最大值时，求直线ＭN把四边形OPBQ

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分成两部分的面积之比.

9２.如图在△ABＣ中，AB与ＢC垂直。ＡB=12.BC=24.动点P从点A开始沿AB方向向B点以2／S的速度运动。动点Q从B点开始沿ＢC向C点以4/S的速度运动，如果Ｐ、Q分别同时从ＡB出发。

(１)如果△PBQ的面积为S,写出S与运动时间ｔ的关系式及ｔ的取值范围。当t为何值时面积Ｓ最大，最大是多少？

(２)在P、Ｑ运动过程中当ｔ为何值时△PＱB与△ABC相似

9３.如图，在△ABC中,∠Ｃ=45°，ＢC=10,高ＡD＝8,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F两点分别在AB、AC上,AD交EF于点H.(1）求证:

AH

＝＼f(ＥＦ,BC）;(2)设EF=x，当x为何AD

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值时，矩形EFPＱ的面积最大？并求其最大值;

９4.(3)当矩形EＦPQ的面积最大时，该矩形EFPＱ以每秒１个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Ｑ与点C重合时停止运动),设运动时间为t秒，矩形EＦFQ与△ABC重叠部分的面积为Ｓ,求S与t的函数关系式.

(第

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