2020年海淀区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．给出四个数0，﹣1，﹣2，，其中最小的是（ ） A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．
2．为了有力回击美方单边主义贸易的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（ ）美元． A．6×10
10
B．0.6×10
10
C．6×10
9
D．0.6×10
9
3．下列计算正确的是（ ） A．2a+a＝2a C．（a﹣1）＝a﹣1
2
22
B．（﹣a）＝﹣a D．（ab）＝ab
2
22
22
4．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ） A．线段
B．圆
C．平行四边形
D．角
6．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50°
B．45°
C．40°
D．30°
7．关于x的一元二次方程x2﹣2（ ） A．m≤3
B．m＞3
x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
C．m＜3 D．m≥3
8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
2020年海淀区中考数学模拟试卷
A．（﹣1，2+
）
B．（﹣
，3）
C．（﹣
，2+
） D．（﹣3，
）
9．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝积：△BFC的面积（
+1）：2，其中正确的结论有（ ）个．
④△BEC的面
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本人题共6小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解：xy﹣y＝ ．
12．如图，有6张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是 ．
2
3
13．若关于x，y的二元一次方程组
的解为，则a+4b的值为 ．
2020年海淀区中考数学模拟试卷
14．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝
，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为 ．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则CD长为 cm，图中阴影部分的面积为 cm2．
16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，
点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标 为 ．
三、解答题（每小题6分，共18分） 17．计算：（3.14﹣π）+|
0
﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）
2019
．
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18．先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a+3a﹣2＝0．
2
19．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．
（1）用尺规作图法在△ABC内求作一点D，使点D到两点A、C的距离相等，又到边AC、BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若△ACD的周长为18，求△BCD的面积．
四、解答题（每题7分，共21分）
20．某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为36°．
根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 21．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．
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（1）求证：CE＝AF； （2）连接ME，若
＝
，AF＝2，求ME的长．
22．某八年级计划用360元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，结果买得的笔记本比打折前多10本． （1）请利用分式方程求出每本笔记本的原来标价；
（2）恰逢文具店周年志庆，每本笔记本可以按原价打8折，这样该校最多可购入本笔记本？
五、解答题（每题9分，共27分）
23．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C
（1）填空：b＝ ，c＝ ，点C的坐标为 ．
（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．
（3）如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．
24．如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
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（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积； （3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．
25．如图①，在矩形ABCD中，AB＝
，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左
边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．
选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
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1．给出四个数0，﹣1，﹣2，，其中最小的是（ ） A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．
解：∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1 而1＜2，∴﹣1＞﹣2 ∴＞0＞﹣1＞﹣2 ∴四个数中最小的是﹣2． 故选：A．
2．为了有力回击美方单边主义贸易的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸易正常秩序，经批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（ ）美元． A．6×10 解：600亿＝6×10． 故选：A．
3．下列计算正确的是（ ） A．2a+a＝2a C．（a﹣1）＝a﹣1
解：A、2a+a＝3a，故此选项错误； B、（﹣a）＝a，故此选项错误； C、（a﹣1）＝a﹣2a+1，故此选项错误； D、（ab）＝ab，正确． 故选：D．
4．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
2
222
2
2
22
22
10
10
B．0.6×10
10
C．6×10
9
D．0.6×10
9
B．（﹣a）＝﹣a D．（ab）＝ab
2
22
22
B． B． C． D．
解：如图所示，该几何体的左视图是：
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．
故选：C．
5．下列图形中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ） A．线段
B．圆
C．平行四边形
D．角
解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； B、圆，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D．
6．如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．50°
B．45°
C．40°
D．30°
解：∵直线AB⊥AC， ∴∠2+∠3＝90°． ∵∠1＝50°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝40°， ∵直线a∥b， ∴∠1＝∠3＝40°， 故选：C．
7．关于x的一元二次方程x﹣2（ ） A．m≤3
B．m＞3
2
2
x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
C．m＜3 D．m≥3
解：∵关于x的一元二次方程x﹣2∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2解得m＜3． 故选：C．
x+m＝0有两个不相等的实数根，
）2﹣4×1×m＞0，
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8．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2+
）
B．（﹣
，3）
C．（﹣
，2+
） D．（﹣3，
）
解：如图，作B′H⊥y轴于H．
由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°， ∴∠A′B′H＝30°， ∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝∴OH＝3， ∴B′（﹣故选：B．
9．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（ ）
，3），
，
A．
B．
C．
D．
解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，
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∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵DE⊥BD， ∴OC∥ED， ∵DE＝6， ∴OC＝
，
∵▱ABCD的面积为24， ∴∴BD＝8， ∴
＝
＝5，
，
设CF＝x，则BF＝5+x，
由BD﹣BF＝DC﹣CF可得：8﹣（5+x）＝5﹣x， 解得x＝， ∴DF＝
，
2
2
2
2
2
2
2
2
∴sin∠DCE＝故选：A．
．
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10．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE．连接AE．DE，连接BD交CE于F，下列结论：①∠AED＝150°②△DEF～△BAE；③tan∠ECD＝积：△BFC的面积（
+1）：2，其中正确的结论有（ ）个．
④△BEC的面
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵△BEC为等边三角形
∴∠EBC＝∠BCE＝∠ECB＝60°，AB＝EB＝EC＝BC＝DC ∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABE＝∠ECD＝90°﹣60°＝30° ∴在△ABE和△DCE中， AB＝DC ∠ABE＝∠ECD BE＝EC
∴△ABE≌△DCE（SAS） ∴∠AEB＝∠DEC＝
＝75°
∴∠AED＝360°﹣60°﹣75°×2＝150° 故①正确 由①知AE＝ED ∴∠EAD＝∠EDA＝15° ∴∠EDF＝45°﹣15°＝30° ∴∠EDF＝∠ABE 由①知∠AEB＝∠DEC， ∴△DEF～△BAE 故②正确
过点F作FM⊥DC交于M，如图 设DM＝x，则FM＝x，DF＝
x
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∵∠FCD＝30° ∴MC＝
x
则在Rt△DBC中，BD＝∴BF＝BD﹣DF＝则
∵tan∠ECD＝tan30°＝∴tan∠ECD＝故③正确
如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得 由③知MC＝∴FG＝∵BC＝DC＝∴BH＝
x ，MC＝FG
∵∠EBC＝60° ∴EH＝
∴＝＝＝＝
故④正确 故选：A．
三、填空题（本人题共6小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解：xy﹣y＝ ．
解：xy﹣y＝y（x﹣y）＝y（x+y）（x﹣y）． 故答案为y（x+y）（x﹣y）
12．如图，有6张扑克牌，从中任意抽取两张，点数和是偶数的概率是 ．
2
3
2
2
2
3
解：任意抽取两张的情况有15种，点数和为奇数的有7种，
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点数和为偶数的概率是故答案为：
．
，
13．若关于x，y的二元一次方程组 解：
，
的解为，则a+4b的值为 ．
由①得，y＝1﹣2x③，
把③代入②得，﹣x+3（1﹣2x）＝2，解得把
代入③得，
，
，
∴，
∴a+4b＝．
14．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB和菱形OCDE的边OA，OE都在x轴上，点C在OB边上，S△ABD＝
，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，则k的值为 ．
解：连接OD，
∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形OCDE是菱形， ∴DE∥OB，
∴∠DEO＝∠AOB＝60°， ∴△DEO是等边三角形， ∴∠DOE＝∠BAO＝60°， ∴OD∥AB，
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∴S△BDO＝S△AOD，
∵S四边形ABDO＝S△ADO+S△ABD＝S△BDO+S△AOB， ∴S△AOB＝S△ABD＝
，
过B作BH⊥OA于H， ∴OH＝AH， ∴S△OBH＝
，
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B， ∴k的值为故答案为：
， ．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则CD长为 cm，图中阴影部分的面积为 cm2．
解：①如图，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，、 ∴AC＝AB＝6cm，∠CAB＝60°． ∵AC是直径，点D是圆上的一点， ∴∠ADC＝90°， ∴CD＝ACsin60°＝6×
＝3
（cm）．
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②连接OF、OD，
∵∠B＝30°，点E是AB中点， ∴∠B＝∠BCE＝30°，∠ACD＝30°， ∴∠FCD＝30°，
∴F、D是半圆的三等分点， ∴OF垂直平分CD， ∴S△CFG＝S△OGD， ∴S阴影＝S扇形OFD＝故答案为：3
，1.5π．
＝1.5π．
16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，
点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标 为 ．
解：∵AO＝，BO＝2， ∴AB＝
＝，
∴OA+AB1+B1C2＝6，
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∴B2的横坐标为：6，且B2C2＝2， ∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6＝6048． ∴点B2016的纵坐标为：2． ∴点B2016的坐标为：（6048，2）． 故答案为：（6048，2）． 三、解答题（每小题6分，共18分） 17．计算：（3.14﹣π）+|解：（3.14﹣π）+|＝1+
0
0
﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）
2019
2019
．
﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）
﹣1﹣2×﹣1
＝﹣1；
18．先化简，再求值（
﹣
）÷
，其中a满足a+3a﹣2＝0．
2
解：（﹣）÷
＝[]
＝（＝＝
）
＝
2
，
∵a+3a﹣2＝0， ∴a+3a＝2， ∴原式＝＝1．
19．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．
（1）用尺规作图法在△ABC内求作一点D，使点D到两点A、C的距离相等，又到边AC、BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
2
2020年海淀区中考数学模拟试卷
（2）若△ACD的周长为18，求△BCD的面积．
解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于M，作∠ACB的平分线CK，交MN于点D，点D即为所求．
（2）作DF⊥BC于F，连接AD，BD． ∵AC+CD+AD＝18，AC＝DA，AC＝8， ∴CD＝5，CE＝4， ∴DE＝
＝3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥CB， ∴DF＝DE＝3，
∴S△BCD＝×BC×DF＝×10∴3＝15 四、解答题（每题7分，共21分）
20．某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A．机器人，B．围棋，C．羽毛球，D．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为36°．
2020年海淀区中考数学模拟试卷
根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 解：（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°， ∴这次被调查的学生共有：20÷故答案为：200；
（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）； 补充如图．
＝200（人）；
（3）1000×
＝300（人）
答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团； （4）画树状图得：
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∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种， ∴P（选中甲、乙）＝
＝．
21．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF． （1）求证：CE＝AF； （2）连接ME，若
＝
，AF＝2，求ME的长．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE， 又∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF， ∴∠ADF＝∠CDE， 在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE， ∴CE＝AF．
（2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，
由（1）得：CE＝AF＝2， ∴BE＝BF， 设BE＝BF＝x，
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∵∴
＝，AF＝2， ，解得x＝
，
，
∴BE＝BF＝∵∴
＝＝
，且CE＝AF， ＝
，
∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF， ∴△AMF∽△CMD， ∴∴
， ＝
，
在△ABC和△MBC中，
，∠MCE＝∠ACB，
∴△ABC～△MBC ∴∴∴
，
，
22．某八年级计划用360元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，结果买得的笔记本比打折前多10本． （1）请利用分式方程求出每本笔记本的原来标价；
（2）恰逢文具店周年志庆，每本笔记本可以按原价打8折，这样该校最多可购入本笔记本？
解：（1）设笔打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元， 由题意得：解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根． 答：打折前每支笔的售价是4元；
（2）购入笔记本的数量为：360÷（4×0.8）＝112.5（元）．
+10＝
，
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故该校最多可购入112本笔记本． 六、解答题（每题9分，共27分）
23．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C
（1）填空：b＝ ，c＝ ，点C的坐标为 ．
（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m．PQ与OQ的比值为y，求y与m的数学关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值．
（3）如图2，若点P是第四象限的抛物线上的一点．连接PB与AP，当∠PBA+∠CBO＝45°时．求△PBA的面积．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B． ∴A（4，0），B（0，4）． 又∵抛物线过B（0，4） ∴c＝4．
把A（4，0）代入y＝﹣x+bx+4得， 0＝﹣×42+4b+4，解得，b＝1． ∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+4． 令﹣x+x+4＝0， 解得，x＝﹣2或x＝4． ∴C（﹣2，0）． （2）如图1，
2
2
2020年海淀区中考数学模拟试卷
分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D． 设P（m，﹣ m2+m+4），Q（n，﹣n+4）， 则PE＝﹣m+m+4，QD＝﹣n+4． 又∵∴n＝
＝．
＝y．
2
又∵＝，即＝
把n═代入上式得，
＝
整理得，4y＝﹣m2+2m． ∴y＝﹣m+m．
2
ymax＝＝．
即PQ与OQ的比值的最大值为． （3）如图2，
2020年海淀区中考数学模拟试卷
∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45° ∠PBA+∠CBO＝45° ∴∠OBP＝∠CBO 此时PB过点（2，0）． 设直线PB解析式为，y＝kx+4． 把点（2，0）代入上式得，0＝2k+4． 解得，k＝﹣2
∴直线PB解析式为，y＝﹣2x+4． 令﹣2x+4＝﹣x2+x+4 整理得， x﹣3x＝0． 解得，x＝0（舍去）或x＝6． 当x＝6时，﹣2x+4＝﹣2×6+4＝﹣8 ∴P（6，﹣8）． 过P作PH⊥y轴于点H．
则S四边形OHPA＝（OA+PH）•OH＝（4+6）×8＝40． S△OAB＝OA•OB＝×4×4＝8． S△BHP＝PH•BH＝×6×12＝36．
∴S△PBA＝S四边形OHPA+S△OAB﹣S△BHP＝40+8﹣36＝12．
24．如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
2
2020年海淀区中考数学模拟试卷
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积； （3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵∠AHC＝90°，
∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD， 又∵OA为半径， ∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如右图，连接OC， ∵OH＝OA，AH＝3， ∴OH＝1，OA＝2，
∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OH＝OC， ∴∠OCH＝30°，
∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°， ∴S扇形OAC＝∵CH＝
＝
， ＝
，
+
；
＝
，
∴S△OHC＝×1×
∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积＝S扇形OAC+S△OHC＝（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r， 在Rt△OHC中，OH+HC＝OC， ∴（3﹣r）+1＝r，
2
2
22
2
2
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∴r＝，则OH＝，
在Rt△ABH中，AH＝3，BH＝+1＝，则AB＝在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC＝在△BMN和△BCA中， ∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA， ∴△BMN∽△BCA，
， ，
∴＝即＝＝，
∴MN＝，
．
∴OH＝，MN＝
25．如图①，在矩形ABCD中，AB＝
，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左
边），以EF为边所作等边△PEF，顶点P恰好在AD上，直线PE、PF分别交直线AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）若△PEF的边EF在线段CB上移动，试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论；
（3）若△PEF的边EF在射线CB上移动（分别如图②和图③所示，CF＞1，P不与A重合），（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．
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解：（1）过P作PQ⊥BC于Q（如图1）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，即AB⊥BC， 又∵AD∥BC， ∴PQ＝AB＝
，
∵△PEF是等边三角形， ∴∠PFQ＝60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ＝30°， 设PF＝2x，QF＝x，PQ＝解得：x＝1，故PF＝2， ∴△PEF的边长为2；
（2）PH﹣BE＝1，理由如下： ∵在Rt△ABC中，AB＝∴由勾股定理得AC＝2∴CD＝AC， ∴∠CAD＝30°
∵AD∥BC，∠PFE＝60°， ∴∠FPD＝60°， ∴∠PHA＝30°＝∠CAD， ∴PA＝PH，
∴△APH是等腰三角形， 作ER⊥AD于R（如图2） Rt△PER中，∠RPE＝60°， ∴PR＝PE＝1，
∴PH﹣BE＝PA﹣BE＝PR＝1．
（3）结论不成立，
当1＜CF＜2时，如图2，（即点P在AD上时），PH＝1﹣BE．
，BC＝3， ，
，根据勾股定理得：（2x）＝x+（
2
2
），
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当CF＞2时，如图3，（即点P在DA延长线上时），PH＝BE﹣1．
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