第三讲函数之三要素

知识梳理

1．映射的概念

设A、B是两个聚集，要是根据某种对应准则f，敷衍聚集结A的恣意元素，在聚集结B都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为

f:AB ，f表示对应准则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一建都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念 (1)函数的定义： 设A、B是两个非空的数集，要是根据某种对应准则f，敷衍聚集结A的每一个数x，在聚集结B都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x),xA

(2)函数的定义域、值域

在函数yf(x),xA中，x叫做自变量，x的取值范畴A叫做yf(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的聚集f(x)xA称为函数yf(x)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应准则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、剖析法 （1）．图象法：便是用函数图象表示两个变量之间的干系； （2）．列表法：便是列出表格来表示两个变量的函数干系； (3)．剖析法：便是把两个变量的函数干系，用等式来表示。 4．分段函数

在自变量的不同变化范畴中，对应准则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 5、复合函数

（1） 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

（2）复合函数单调性的鉴别：

复合函数的单调性是由两个函数互助决定。为了印象方便，我们把它们总结成一个图表：

yf(u) 增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ ug(x) yf(g(x)) 经典例题： 题型一：映射的概念

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例1．（1）AR，B{y|y0}，f:xy|x|；

（2）A{x|x2,xN*}，By|y0,yN，f:xyx22x2； （3）A{x|x0}，B{y|yR}，f:xyx． 上述三个对应 是A到B的映射．

例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个，A到B的函数有 个

例3．设聚集M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，要是从M到N的映射f满足条件：对

M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（ ）

(A)8个 (B)12个 (C)16个 (D)18个

题型二：相同函数

例1、试鉴别以下各组函数是否表示联合函数？ （1）f(x)x2，g(x)3x3；

x1（2）f(x)，g(x)x1x0,x0;

（3）f(x)2n1x2n1，g(x)(2n1x)2n1（n∈N）；

*

（4）f(x)x2x1，g(x)2x2x；

（5）f(x)x2x1，g(t)t2t1

题型三：定义域

依据：（1）分式中的分母不为零；（2）偶次方根下的数（或式）大于或即是零； （3）指数式的底数大于零且不即是一；（4）对数式的底数大于零且不即是一，真数大于零。 例1、求下列函数的定义域 （1）y=-5x， （2）y=跟踪练习：

求下列函数的定义域 1、y=

122

2x ，（3）y=

13x2x4，（4）y=

3x15x （5）y=

x2

x25x6x2 2、y=1

x13、y=3x252x3 4、y=

x3 x4抽象函数的定义域

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例1、（1）已知函数fx的定义域为1,1，求函数fx1的定义域

（2）已知函数fx1的定义域为1,1，求函数fx的定义域 （3）已知函数fx1的定义域为1,1，求函数fx1的定义域

例2、已知函数f(x)的定义域为〔0，4〕，求函数yf(x3)f(x2)的定义域。 例3、已知函数f(x)mx26mxm8的定义域为R，求实数m的取值范畴。

跟踪练习：

1、已知f(x)的定义域为 [ 1 , 2 ] , 求f (2x-1)的定义域． 1

2、已知f (2x-1)的定义域为 [ 1 , 2 ]，求f(x)的定义域．

3、已知函数f(x)的定义域为（1，3），则函数F(x)f(x1)f(2x)的定义域 4、已知函数f(x1)的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域 题型四：函数的剖析式

1、剖析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。

1、一般式是大部分函数的表达形式，例

一次函数：ykxb (k0)

2二次函数：yaxbxc (a0)

反比例函数：yk (k0) x正比例函数：ykx (k0)

例1、已知f(x)2x1,g(x)x3，则fg(x) ，gf(x) 。

22、待定系数法

设f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x3，求f(x) 3、配凑法 已知f(x4、换元法

已知f(x1)x2x，求f(x1)

5、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 已知：函数yxx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的剖析式

6、布局方程组法：若已知的函数干系较为抽象简略，则可以对变量举行置换，设法布局方

211)x22 (x0) ，求 f(x)的剖析式 xx第 3 页

程组，议决解方程组求得函数剖析式。

例1、设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)g(x)式

例2、设f(x)满足f(x)2f()x,求f(x)

7、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“恣意”等条件时，往往可以对具有“恣意性”的变量举行赋值，使标题具体化、简略化，从而求得剖析式。

例1、已知函数f(x)敷衍一确切数x,y都有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且

1,试求f(x)和g(x)的剖析x11xf(1)0。

(1)求f(0)的值； (2)求f(x)的剖析式。

跟踪练习：

求下列函数的剖析式

1、已知：2f(x)f3x,1x(x0)，求f(x)。

22、已知：f(x1)x2x，求f(x)。

23、已知：f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x4x，求f(x)。

4、已知：f(111)21，求f(x)。 xx25、要是f(x1)x5x4，那么f(x)=______________________. 6、已知f(x)=ax+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________ 题型五：函数的值域

2

基本函数的值域

1、一次函数ykxb（a0）的定义域为R，值域为R； 2、二次函数yax2bxc（a0）的定义域为R，

4acb24acb2 a0时，值域是[，);a0时，值域是(，]4a4a3、反比例函数y基本要领：

k(k0)的定义域为{x|x0}，的值域为y|y0,且yR x1、查看法：(用非负数的性质，如：x0；x0；x0(x0)等)

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求下列函数的值域：y3x22 变式：y42x1(x1),{y|y4} 2、配要领：

2例1、求函数yx2x5,x[1,2]的值域

例2、当时x(0,2]，函数f(x)ax24(a1)x3在x2时取得最大值，则a的取值范畴是___

例3、（1）求yx22ax3,x[2,4]最值。 （2）求yx22x3,x[t,t2]的最值 3、换元法

例1、求函数y2x3134x的值域。 4、分散常数法

x2x求函数y2的值域。

xx1课后练习：

1、求下列函数的值域：

（1）yx3x2； （2）yxxx0；

（3）y2x71x （4）yx21x（x0,1）； (5) y2x34x13 （6）yx1x1y0,2 （7）y3x2x2 （8）yx26x5 （9）yx22122x4（10）yx24x22x10 2xx3x5,x0x2（11）y2； （12）yx5,0x1

x12x8,x1第 5 页