北京海淀2012高三数学一模试题答案

数 学（文科）

2012.04

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

（1）已知集合A={x|x=1}，B={x|x(x-2)<0}，那么AB= （A）Æ （B） {-1} （C）{1} （D）{-1,1} （2）在等比数列{an}中，a2=6，a3=-18，则a1+a2+a3+a4=

（A）26

（B）40 （C）54

（D）80

2（3）已知向量a=(x1,2),b=(1,x). 若a与b垂直，则|b|=

（A）1 （B）2 （C）2 （D）4 （4）过双曲线

x29y2161的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是

（A）3x+4y-15=0 （B）3x-4y-15=0 （C）4x-3y+20=0 （D）4x-3y-20=0

（5）执行如图所示的程序框图，输出的k值是

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

xy0（6）若满足条件xy20的整点(x,y)恰有9个，其中整点是指横、

ya开始 n=5，k=0 n为偶数 是 nn2否 n3n1 纵坐标都是整数的点，则整数a的值为

（A）3 （B） 2 （C）1 （D）0

n=1 （7）已知函数

xax,x1,f(x)x1,ax1,2k=k+1 否 若

x1,x2R,x1x2，使得

是 输出k 结束 f(x1)f(x2)成立，则实数a的取值范围是

（A）a<2 （B）a>2

（C）-22或a<-2

（8）在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，若点P是棱上一点，则满足PA+PC'=2的点P的个数为

（A）4 （B）6 （C）8 （D）12

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数

2i1-iB'BACA'C'DD'在复平面内所对应的点的坐标为 .

（10）若tan=2，则sin2= . （11）以抛物线y24x上的点(x0,4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程

是 .

2（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .

2俯视图2（13）设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性

EQEPQ'QEQEP大于1（其中

=-P，Q'是Q的导数），则商品价格P的取值范围是 .

ìï1,xÎQ,（14）已知函数f(x)=ï 则f(fíï0,xÎðQ.Rïî(x))=______；

下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数f(x)是偶函数；

② 任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对xR恒成立；

③ 存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得ABC为等边三角形.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)=sinx+sin(x-（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

323).

（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c. 已知f(A)=形状.

（16）（本小题满分13分）

，a=3b，试判断ABC的

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，

[80,100].

（Ⅰ）求直方图中x的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.

(17)（本小题满分14分）

频率/组距0.025x0.00650.003O20406080100时间已知菱形ABCD中，AB=4， BAD60（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF； （Ⅱ）证明：AC1BD；

（Ⅲ）当EFAB时，求线段AC1 的长．

C1DCFMDA图1

BAEB图2

(18)（本小题满分13分）

已知函数f(x)alnx（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x1,，都有f(x)0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆C:xa322212x212(aR且a0).

yb221 (ab0)的右顶点A(2,0)，

PyD离心率为，O为坐标原点.

OEAx（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段

AP的垂线l交椭圆C于点E,D，求

DEAP的取值范围.

（20）（本小题满分14分）

对于集合M，定义函数fM1,xM(x)1,xM.,对于两个集合M，N，定义集合

MN{xfM(x)fNx(). 1已知}A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}.

（Ⅰ）写出fA(1)和fB(1)的值，并用列举法写出集合AB； （Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数.

（ⅰ）求证：当Card(XA)Card(XB)取得最小值时， 2ÎX； （ⅱ）求Card(XA)Card(XB)的最小值.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（文科）

参及评分标准 2012．04

一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 答案 （1） C （2） B （3） B （4） D （5） A （6） C （7） A （8） B 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）(-1,1) （10）

232245 （11）(x-4)2+(y-4)2=25

（12） （13）(10,20) （14）1 ①②③

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)=sinx+sin(x-123)

=sinx+sinx-32cosx ………………………………………2分

=32sinx-32cosx

=3sin(x-23,k Z，

由2k-2<2k+得：2k-所以 f(x)的单调递增区间为(2k-………………………………………6分

（Ⅱ）因为 f(A)=32，

所以

3sin(A-6)=32.所以sin(A-6)=12.

………………………………………7分

因为 0asinA36. ………………………………………9分

bsinB12=，a=3b，

所以 sinB=. ………………………………………11分

3因为 a>b，A=，所以 B=6.所以 C=2 .

所以 ABC为直角三角形. ………………………………………13分

(16)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得

20x0.025200.0065200.0032201.

所以x=0.0125. ………………………………………6分

（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003创220=0.12.

………………………………………9分

因为 6000.1272.

所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿.

………………………………………13分

(17)（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）因为点F,M分别是C1D,C1B的中点，

所以FM//BD． ………………………………………2分 又FM平面EMF，BD平面EMF,

所以BD//平面EMF． ………………………………………4分

（Ⅱ）在菱形ABCD中，设O为AC,BD的交点,

则ACBD． ………………………………………5分 所以 在三棱锥C1-ABD中，

C1OBD,AOBD.

FMDOEBC1 又 C1OAOO,

A所以 BD平面AOC1． ………………………………………7分

又 AC1平面AOC1，

所以 BDAC1． ………………………………………9分

（Ⅲ）连结DE,C1E．在菱形ABCD中，DAAB,BAD60，

所以 ABD是等边三角形.

所以 DADB． ………………………………………10分

因为 E为AB中点，所以 DEAB． 又 EFAB，EFDEE．

所以 AB平面DEF，即AB平面DEC1．

………………………………………12分

又 C1E平面DEC1，

所以 ABC1E．

因为 AE=EB,AB=4，BC1=AB，

所以 AC1BC14． ………………………………………14分 (18)（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,).

axxax2C1FMDAEBf'(x)x. ………………………………………2分

当a0时，在区间(0,)上，f'(x)0.

所以 f(x)的单调递减区间是(0,). ………………………………………3分当a0时，令

f'(x)0得xa或xa（舍）.

函数f(x),f'(x)随x的变化如下：

x (0,a) a (a,) f'(x) f(x) + ↗ 0 极大值  ↘ 所以 f(x)的单调递增区间是(0,a)，单调递减区间是(a,).

………………………………………6分

综上所述，当a0时， f(x)的单调递减区间是(0,)；

当a0时，f(x)的单调递增区间是(0,a)，单调递减区间是(a,). （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

当a0时, f(x)在[1,)上单调递减.

所以f(x)在[1,)上的最大值为f(1)f(x)，即对任意的x[1,，0)都有

. 0 ………………………………………7分

当a0时，

① 当a1，即0a1时，f(x)在[1,)上单调递减.

所以f(x)在[1,)上的最大值为f(1)0，即对任意的x[1,)，都有

f(x)0. ………………………………………10分

② 当a1，即a1时，f(x)在[1,a)上单调递增， 所以 f(a)f(1).

又 f(1)0，

所以 f(a)0，与对于任意的x[1,)，都有f(x)0矛盾.

………………………………………12分

综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(,0)(0,1].

………………………………………13分

19）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为 A(2,0)是椭圆C的右顶点，所以 a2.

又

ca32，所以 c3.

所以 b2a2c2431.

所以 椭圆C的方程为

x2y214. ………………………………………3分

（Ⅱ）当直线AP的斜率为0时，|AP|4，DE为椭圆C的短轴，则|DE|2.

所以

|DE|1|AP|2. ………………………………………5分

当直线AP的斜率不为0时，

设直线AP的方程为yk(x2)，P(x0,y0)，

（ 则直线DE的方程为y1kx. ………………………………………6分

yk(x2),22 由 x2得x4[k(x2)]40.

2y14 即(14k)x16kx16k40.

16k4k22222222

所以 2x01.所以 x0

8k4k-21

.………………………………………8分

2 2 所以 |AP|(x02)(y00)2(1k)(x02).

22即 |AP|41k4k21.

类似可求|DE|41kk224.

所以

|DE||AP|41kk22424kk21441k4k22.………………………………………11分

12 设t|DE||AP|k4,则k222t4，t2.

4t15t24(t4)1t4t15t2(t2).

令g(t)(t2)，则g'(t)4t15t220.

所以 g(t)是一个增函数.

|DE||AP|4t15t2所以 4415212.

综上，

|DE||AP|的取值范围是[,+ ). ………………………………………13分

21（20）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：fA(1)=1，fB(1)=-1，AB{1,6,10,16}.

………………………………………3分

（Ⅱ）设当Card(XA)Card(XB)取到最小值时，X=W. （ⅰ）证明：假设2ÏW，令YW{2}.

那么 Card(YA)Card(YB)

Card(WA)1Card(WB)1Card(WA)Card(WB).这与题设矛盾.

所以 2ÎW，即当Card(XA)Card(XB)取到最小值时，2ÎX. ………………………………………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4ÎW且8ÎW.

若存在aÎX且aÏAB，则令ZðX{a}. 那么Card(ZA)Card(ZB)

Card(XA)1Card(XB)1Card(XA)Card(XB).

所以 集合W中的元素只能来自AB.

若aÎAB且aÏAB，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，

Card(XA)Card(XB)的值不变.

综上可知，当W为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，Card(XA)Card(XB)取到最小值4.

………………………………………14分