03-讲义：6.6 静定结构温度变化时的位移计算

对于静定结构，杆件周围温度发生改变时，并不引起结构产生内力，但由于材料随着温度变化而发生膨胀或收缩，这会引起截面的应变，即温度应变，从而使结构产生位移和变形。

首先推导静定结构在温度变化影响下位移的计算公式。如图6-35(a)所示某刚架，设杆件的外侧温度上升t1(℃)，内侧温度上升t2(℃)，求由于温度改变引起K截面竖向位移Kt。根据单位荷载法求位移的思路，虚设的单位荷载状态如图6-35(b)所示。

在结构位移计算的一般公式（6-12）中，若仅考虑温度变化引起的位移，式（6-12）可表示为：

ktMtdsFStdsFNtds （6-28a）

式中，t、t、t分别为实际位移状态中由温度变化引起的微段ds的弯曲曲率、平均剪切应变和轴向应变，这可以根据微段上温度改变情况来确定。

图6-35 静定结构由温度变化引起的位移计算

(a)实际位移状态(b)单位荷载状态(c) 温度引起ds微段变形

从实际位移状态中取微段ds分析，如图6-35(c)所示，假设温度变化沿杆截面厚度方向为线性分布。此时，杆件轴线处温度变化t0及上下边缘温度改变的差值t分别为：

t0h1t2h2t1， tt2-t1 （6-28b） h式中，h是杆件截面厚度，h1和h2分别是杆轴至截面上、下边缘的距离。如果杆件的截面是对称截面，则h1h2h/2，t0(t2t1)/2。

对微段ds，温度变化引起的轴向变形和弯曲变形分别为：

duttdst0ds （6-28c）

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dttds式中，为材料的线膨胀系数。

t2dst1dsht2t1htdsh （6-28d）

对于杆件结构，温度变化并不引起剪切变形，即：

dttds0 （6-28e）

将式(6-28c)至(6-28e)代入式(6-28a)，可得静定结构由温度变化引起位移的计算公式：

位荷载作用下弯矩图M的面积，分别记为：

hh式（6-29a）中，积分FNds表示单位荷载作用下轴力图FN的面积，积分Mds表示单

AFNFNds，AMMds

因此，式（6-29a）也可表示为：

ktktMtdsFNt0dstMdstF0Nds （6-29a）

thAMt0AF （6-29b）

N式(6-29)中，轴力FN以拉伸为正，t0以升高为正。弯矩M和温差t引起的弯曲为同一方向时（即当M和t使杆件同侧产生拉伸变形时），其乘积取正值，反之取负值。

对于梁和刚架结构，在计算由温度变化引起的位移时，一般不能略去轴向变形的影响，即按式(6-29)计算。

对于桁架结构，由于虚力状态下各杆只有轴力FN，因此由温度变化引起的位移计算公式为：

kt式中，l为杆长。

对于组合结构，计算温度变化引起位移时，应将梁式杆和链杆分开考虑，即：

FNt0dsFNt0l (6-30)

tktMdsFNt0dsFNt0l (6-31)

h梁式杆梁式杆链杆当桁架的杆件长度因制造而存在误差（杆件制作长度与设计长度不符），由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度误差为l，则位移计算公式为

klFN.l (6-32)

式（6-32）中，l以伸长为正，轴力FN以拉力为正。

综上所述，可以总结静定结构由温度变化引起位移的计算步骤如下： （1） 沿拟求位移方向虚设相应的单位荷载F1（广义荷载）；

（2） 根据平衡条件求出静定结构在单位荷载F1作用下结构中相应内力； （3） 计算各杆轴线处温度变化值t0，以及截面边缘温度改变差值t；

（4） 代入相应公式(6-29)至(6-31)进行计算。在应用这些公式计算位移时，一定要注意各项正负

号的确定。

【例6-11】计算图6-36(a)所示刚架中C点因温度变化而产生的水平位移CH。已知温度膨胀系数

1105/℃，各杆截面为工字钢，截面高度h=0.18m。

【解】在C点沿水平方向施加单位荷载F1，并作其M图（图6-36b）和FN图（图6-36(c)）。

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对AD杆：

t0对DB杆：

t1t210205℃,tt2t120(10)30 ℃ 22t0对DC杆：

t1t2102015℃,tt2t1201010 ℃ 22t0t1t210100℃,tt2t110(10)20℃ 22

图6-36 例6-11图

(a)刚架及温度变化 (b)M图 (c)FN图

由式(6-29a)或式(6-29b)可得：

CHthMdst0FNdsthAMt0AF

Na111(303310662033)a513h222225a 15ah12.65mm() 这里， 对AD柱和DB横梁，M和t引起的弯曲方向相同，因此乘积为正；对CD柱，M和t引起的弯曲方向相反，因此乘积为负。另外，AD柱在单位荷载作用下受到拉力，FNds为正号，t0也取正号。

计算结果为正，说明C点位移方向与所设F1方向相同，是向右的。

【例6-12】如图6-37(a)所示桁架结构，六根下弦杆件在制造时比设计长度均缩短了1.5cm，求桁架在拼装后跨中C点的竖向位移CV。

【解】在C点沿竖向施加单位荷载F1,如图6-37(b)所示。由单位荷载引起的各杆轴力可由结点法或截面法求得。这里只需计算虚力状态中有制造误差的下弦杆件的轴力，在图6-37(b)中分别标在杆旁。

由式(6-32)可计算得：

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13CVFN.l1.541.527.5cm()

22由于下弦各杆的制造误差均为缩短，单位荷载作用下下弦各杆均为受拉，两者方向相反，故计算位移结果为负，表示C点的竖向位移方向向上，即C点向上的起拱度为7.5cm。

图6-37 例6-12图 (a)桁架计算简图 (b)虚力状态

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