2021-2022学年天津市部分区高一（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）
1. 设集合𝐴={𝑥|−2<𝑥<4}，𝐵={2,3,4,5}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4}
2. 设命题𝑝：∃𝑛∈𝑁，𝑛2−2𝑛+3>0，则𝑝的否定为( )
A. ∀𝑛∈𝑁，𝑛2−2𝑛+3≤0 C. ∃𝑛∈𝑁，𝑛2−2𝑛+3≤0
B. ∀𝑛∉𝑁，𝑛2−2𝑛+3≤0 D. ∃𝑛∉𝑁，𝑛2−2𝑛+3≤0
3. 设𝑥∈𝑅，则“|𝑥|<1”是“𝑥2<1”的( )
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥−𝑥2，则𝑓(−2)=( )
A. −6 B. 6
4
C. −2 D. 2
5. 已知𝑎=0.63，𝑏=(5)−1，𝑐=1，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为( )
A. 𝑏<𝑎<𝑐 B. 𝑎<𝑐<𝑏 C. 𝑐<𝑏<𝑎 D. 𝑎<𝑏<𝑐
6. 下列不等式中成立的是( )
A. 若𝑎>𝑏>0，则𝑎𝑐2>𝑏𝑐2 C. 若𝑎<𝑏<0，则𝑎2<𝑎𝑏<𝑏2
7. 函数𝑓(𝑥)=|𝑥−1|−|𝑥+2|( )
B. 若𝑎>𝑏>0，则𝑎2>𝑏2 D. 若𝑎<𝑏<0，则𝑎<𝑏
1
1
A. 的最小值为0，最大值为3 C. 的最小值为−3，最大值为3
8. 下列函数中最小值为2的是( )
B. 的最小值为−3，最大值为0 D. 既无最小值，也无最大值
A. 𝑦=𝑥2−𝑥+2 C. 𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥
9. 设𝑎>0，函数𝑓(𝑥)=𝑥+
100𝑥
1
B. 𝑦=𝑥+𝑥 D. 𝑦=𝑥
121
+2
在区间(0,𝑎]上的最小值为𝑚1，在区间[𝑎,+∞)上的最
小值为𝑚2，若𝑚1𝑚2=2020，则𝑎的值为( )
A. 1
B. 2 C. 100 D. 1或100
二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）
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10. 已知全集𝑈={1,2,3,4,5,6}，集合𝐴={1,2,3}，𝐵={3,4,5}，则∁𝑈(𝐴∪𝐵)=______． 11. 已知幂函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象过点(3,√)，则此函数的解析式𝑦=______．
3312. 设𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+𝑏=2，则𝑎+2𝑏的最小值为______． −𝑥2+3,𝑥≤013. 已知函数𝑓(𝑥)={，若𝑓(𝑥)=−6，则𝑥=______．
2𝑥+2,𝑥>0
14. 设𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥2+3𝑥+2=0}，𝐵={𝑥|𝑥2+(𝑚+1)𝑥+𝑚=0}；若
(∁𝑈𝐴)∩𝐵=⌀，𝑚=______．
15. 已知定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥)，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥在区间
[1,2]上的值域为[−1,3]，则𝑔(𝑥)在区间[−2021,2021]上的值域为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
16. 设全集是𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥+3≥0}，𝐵={𝑥|𝑥−2≥0}．
(Ⅰ)求𝐴∩𝐵，𝐴∪𝐵； (Ⅱ)求(∁𝑅𝐴)∩𝐵．
17. 根据函数单调性定义证明函数𝑦=𝑥+𝑥在区间(−∞,−1)上单调递增．
18. 已知不等式𝑎𝑥2−3𝑥+2𝑎2>0的解集为{𝑥|𝑥<1或𝑥>𝑏}．
(Ⅰ)求实数𝑎，𝑏的值；
(Ⅱ)解不等式𝑎𝑥2−(𝑎𝑚+𝑏)𝑥+𝑏𝑚≤0(𝑚∈𝑅)．
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1
11
19. 某商品上市30天内每件的销售价格𝑃(元)与时间𝑥(天)(𝑥∈𝑁∗)函数的关系是𝑃=
𝑥+15,0<𝑥<20{600．
,20≤𝑥≤30𝑥
该商品的日销售量𝑄(件)与时间𝑥(天)的函数关系是𝑄=45−𝑥(0<𝑥≤30)． (Ⅰ)求该商品上市第20天的日销售金额； (Ⅱ)求这个商品的日销售金额的最大值．
20. 已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−2)|𝑥+𝑎|(𝑎∈𝑅)．
(Ⅰ)当𝑎=−1时． (ⅰ)求𝑓(𝑥)单调递增区间；
(ⅱ)求𝑓(𝑥)在区间[−3,3]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)当𝑎≤−3时，记𝑓(𝑥)在区间[−3,3]上的最大值为𝑔(𝑎)，求𝑔(𝑎)的表达式．
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答案和解析
1.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝐴={𝑥|−2<𝑥<4}，𝐵={2,3,4,5}， ∴𝐴∩𝐵={𝑥|−2<𝑥<4}∩{2,3,4,5}={2,3}． 故选：𝐵．
直接利用交集运算得答案． 本题考查交集及其运算，是基础题．
2.【答案】𝐴
【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题𝑝：∃𝑛∈𝑁，𝑛2−2𝑛+3>0，则𝑝的否定为：∀𝑛∈𝑁，𝑛2−2𝑛+3≤0． 故选：𝐴．
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
3.【答案】𝐶
【解析】解：由|𝑥|<1，可得−1<𝑥<1， 由𝑥2<1可得，−1<𝑥<1，
故“|𝑥|<1”是“𝑥2<1”的充要条件， 故选：𝐶．
解不等式，根据充要条件的定义即可判断． 本题考查了充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】𝐷
【解析】解：根据题意，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥−𝑥2，则𝑓(2)=2−4=−2， 又由𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，则𝑓(−2)=−𝑓(2)=2；
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故选：𝐷．
根据题意，由函数的解析式求出𝑓(2)的值，结合函数的奇偶性计算可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
5.【答案】𝐵
【解析】解：𝑎=0.63<0.60=1，𝑏=(5)−1=4>1，𝑐=1， 则𝑎<𝑐<𝑏． 故选：𝐵．
分别判断与1的关系即可求出．
本题考查了指数函数的性质，属于基础题．
4
5
6.【答案】𝐵
【解析】解：𝐴.𝑐=0时不成立； B.成立．
C.𝑎<𝑏<0，则𝑎2>𝑎𝑏>𝑏2.因此不成立． D.𝑎<𝑏<0，则𝑎>𝑏.因此不成立． 故选：𝐵．
利用不等式的基本性质即可得出．
本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
1
1
7.【答案】𝐶
3,𝑥<−2
【解析】解：𝑓(𝑥)=|𝑥−1|−|𝑥+2|={−2𝑥−1,−2≤𝑥≤1，
−3,𝑥>1其图象如图，
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由图可知，函数𝑓(𝑥)=|𝑥−1|−|𝑥+2|的最大值为3.最小值为−3． 故选：𝐶．
写出分段函数解析式，画出图形，数形结合得答案． 本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是基础题．
8.【答案】𝐷
【解析】解：𝑦=𝑥2−𝑥+2=(𝑥−2)2+4≥4，即函数的最小值4，𝐴不符合题意； 当𝑥<0时，𝑦<0，𝐵显然不满足题意； 当𝑠𝑖𝑛𝑥<0时，𝑦<0，显然不满足题意；
根据幂函数性质可知𝑥2≥0，𝑦≥2，即最小值为2． 故选：𝐷．
结合二次函数性质可检验𝐴；结合基本不等式应用条件可检验𝐵，𝐶，结合幂函数性质可检验选项D．
本题主要考查了函数最值的求解，要注意基本不等式应用条件的检验，属于基础题．
1
1777
9.【答案】𝐷
【解析】解：∵𝑓(𝑥)为双勾函数，在(0,10]上单调递减，在[10,+∞)上单调递增，当𝑎∈(0,10]时，𝑚1=𝑓(𝑎)，𝑚2=𝑓(10)； 当𝑎∈[10,+∞)时，𝑚1=𝑓(10)，𝑚2=𝑓(𝑎)； 因此总有𝑓(𝑎)𝑓(10)=𝑚1𝑚2=2020， 即(𝑎+
100𝑎
)(10+
10010
)=2020，解得𝑎=1或𝑎=100．
故选：𝐷．
𝑓(𝑥)为对勾函数，可以根据其图像知道其在(0,+∞)上的单调性，然后根据𝑎的范围分类讨论，求出𝑚1，𝑚2的值，代入𝑚1𝑚2=2020求解．
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本题考查了双勾函数性质及分类讨论思想，属于基础题．
10.【答案】{6}
【解析】解：∵𝐴={1,2,3}，𝐵={3,4,5}， ∴𝐴∪𝐵={1,2,3,4,5}， 又∵𝑈={1,2,3,4,5,6}， ∴∁𝑈(𝐴∪𝐵)={6}， 故答案为：{6}．
先求𝐴∪𝐵，再求𝐴∪𝐵的补集即可． 本题考查了集合的运算，属于基础题．
11.【答案】𝑥−2
【解析】解：设幂函数为𝑓(𝑥)=𝑥𝛼， 过点(3,√)，所以√=3𝛼，
3
3
331
即3−2=3𝛼，解得𝛼=−2， 所以函数的解析式为𝑓(𝑥)=𝑥−2， 故答案为：𝑥−2．
设幂函数的解析式，将已知点的坐标代入求出参数的值，进而求出函数的解析式． 本题考查幂函数的解析式的求法及幂函数的定义，属于基础题．
√212.【答案】3+2 2
1
1
11
【解析】解：因为𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+𝑏=2， 则𝑎+2𝑏=2(𝑎+2𝑏)(𝑎+𝑏)=2(3+
2𝑏
𝑎
1
1
2
1
1
1
1
2𝑏𝑎1
1
+𝑏)≥2(3+2√2)，
1
2
𝑎1
12当且仅当𝑎=𝑏且𝑎+𝑏=2，即𝑏=(1+√)，𝑎=2(1+√2)时取等号，此时𝑎+2𝑏取
得最小值
3+2√2． 2
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故答案为：
12
3+2√2． 2
1
1
12
2𝑏𝑎
𝑎+2𝑏=(𝑎+2𝑏)(+)=(3+
𝑎
𝑏+)，然后结合基本不等式即可求解． 𝑏
𝑎
本题主要考查了基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑定值条件，属于基础题．
13.【答案】−3
−𝑥2+3,𝑥≤0
【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)={，𝑓(𝑥)=−6，
2𝑥+2,𝑥>0当𝑥≤0时，−𝑥2+3=−6，𝑥=−3(3舍去)， 当𝑥>0时，2𝑥+2=−6，𝑥=−4舍去， 故答案为：−3．
分段讨论𝑥的取值，进而求解结论．
本题主要考查分段函数的应用以及分类讨论思想，属于基础题．
14.【答案】1或2
【解析】 【分析】
先化简集合𝐴，𝐵，再结合题中条件：“(𝐶𝑈𝐴)∩𝐵=⌀”推知集合𝐵中元素的特点即可解决．本题主要考查了交、并、补集的混合运算、空集的含义，属于基础题． 【解答】
解：∵𝐴={𝑥|𝑥2+3𝑥+2=0}={−1,−2}， 𝑥2+(𝑚+1)𝑥+𝑚=0得： 𝑥=−1或𝑥=−𝑚． ∵(𝐶𝑈𝐴)∩𝐵=⌀，
∴集合𝐵中只能有元素−1或−2， ∴𝑚=1或2 故答案为1或2．
15.【答案】[−2020,2025]
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【解析】解：∵𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥)，
∴𝑔(𝑥+1)=𝑓(𝑥+1)−(𝑥+1)=𝑓(𝑥)−𝑥−1=𝑔(𝑥)−1， 故对任意的整数𝑘，
当𝑥∈[𝑘+1,𝑘+2]时，𝑥−𝑘∈[1,2]，
而𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥−1)−1=𝑔(𝑥−2)−2=⋯…=𝑔(𝑥−𝑘)−𝑘， ∵𝑔(𝑥−𝑘)∈[−1,3]， ∴𝑔(𝑥)∈[−1−𝑘,3−𝑘]，
即𝑥∈[𝑘+1,𝑘+2]，𝑔(𝑥)∈[−1−𝑘,3−𝑘]，
故当𝑥∈[−2022+1,−2022+2]，𝑔(𝑥)∈[2021,2025]， 当𝑥∈[−2021+1,−2021+2]，𝑔(𝑥)∈[2020,2024]， ……，
当𝑥∈[2019+1,2019+2]，𝑔(𝑥)∈[−2020,−2016]， 故𝑔(𝑥)在区间[−2021,2021]上的值域为
[−2020,−2016]∪[−2019,−2015]∪……∪[2020,2024]∪[2021,2025] =[−2020,2025]． 故答案为：[−2020,2025]．
根据𝑓(𝑥)的性质可得𝑔(𝑥+1)=𝑔(𝑥)−1，从而可求函数在给定范围上的值域． 本题考查了函数性质的应用，同时考查了归纳法的应用，属于难题．
16.【答案】解：𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥+3≥0}={𝑥|𝑥≤1或𝑥≥3}，
𝐵={𝑥|𝑥−2≥0}={𝑥|𝑥≥2}， (Ⅰ)𝐴∩𝐵={𝑥|𝑥≥3}， 𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥≤1或𝑥≥2}； (Ⅱ)∁𝑅𝐴={𝑥|1<𝑥<3}， (∁𝑅𝐴)∩𝐵={𝑥|2≤𝑥<3}．
𝐵，(Ⅰ)直接写出𝐴∩𝐵，𝐴∪𝐵即可；(Ⅱ)先求∁𝑅𝐴，【解析】化简集合𝐴、再求(∁𝑅𝐴)∩𝐵即可．
本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
17.【答案】证明：根据题意，设𝑥1<𝑥2<−1，
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=(𝑥1+𝑥)−(𝑥2+𝑥)=(𝑥1−𝑥2)(
1
2
11
𝑥1𝑥2−1𝑥1𝑥2
)，
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又由𝑥1<𝑥2<−1，则𝑥1−𝑥2<0，𝑥1𝑥2>1， 故𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0，
则函数𝑦=𝑥+𝑥在区间(−∞,−1)上单调递增．
【解析】根据题意，利用作差法证明可得结论．
本题考查函数单调性的证明，注意作差法的应用，属于基础题．
𝑎>0
3
18.【答案】解：(𝐼)由题意得{1+𝑏=𝑎，解得𝑎=1，𝑏=2．
1×𝑏=2𝑎(𝐼𝐼)不等式为𝑥2−(𝑚+2)𝑥+2𝑚≤0， 所以(𝑥−𝑚)(𝑥−2)≤0，
当𝑚=2时，不等式的解集为{𝑥|𝑥=2}， 当𝑚>2时，不等式的解集为{𝑥|2≤𝑥≤𝑚}， 当𝑚<2时，不等式的解集为{𝑥|𝑚≤𝑥≤2}， 综上所述，当𝑚=2时，不等式的解集为{𝑥|𝑥=2}， 当𝑚>2时，不等式的解集为{𝑥|2≤𝑥≤𝑚}， 当𝑚<2时，不等式的解集为{𝑥|𝑚≤𝑥≤2}．
𝑎>0
3
【解析】(𝐼)由题意得{1+𝑏=𝑎，直接求解．
1×𝑏=2𝑎
(𝐼𝐼)由已知条件可得，(𝑥−𝑚)(𝑥−2)≤0，再结合𝑚的取值范围，即可求解． 本题主要考查一元二次不等式及其应用，考查计算能力，属于基础题．
1
19.【答案】解：(𝐼)由题意可得，该商品上市第20天的销售价格为20=30 元，
日销售量为45−20=25件，
故该商品上市第20天的日销售金额为30×25=750元． (𝐼𝐼)设日销售金额为𝑦元， 则𝑦=𝑄𝑃，
当0<𝑥<20，𝑥∈𝑁，
𝑦=(𝑥+15)(45−𝑥)=−(𝑥−15)2+900， 故当𝑥=15时，𝑦取得最大值为900元，
600
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当𝑥≥20时，𝑥∈𝑁， 𝑦=(45−𝑥)
600𝑥
=
27000𝑥
−600，
故当𝑥=20时，𝑦取得最大值为750元，
综上所述，第15天时，这个商品的日销售金额最大，最大值为900元．
【解析】(𝐼)将𝑥=20分别代入𝑃，𝑄两个函数，即可求解． (𝐼𝐼)根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题．
𝑥2−3𝑥+2,𝑥≥1
，故当𝑓(𝑥)在(−∞,1)20.【答案】解：(Ⅰ)(𝑖)当𝑎=−1时，𝑓(𝑥)={2
−𝑥+3𝑥−2,𝑥<1上为增函数，在(1,2)上为减函数，在(2,+∞)为增函数， 故𝑓(𝑥)的增区间为(−∞,1)，(2,+∞)．
(𝑖𝑖)由(𝑖)可知𝑓(𝑥)在[−3,1)单调递增，在[1,2]单调递减，在(2,3]单调递增， 而𝑓(−3)=−20，𝑓(1)=0，𝑓(2)=−4，𝑓(3)=2， 故𝑓(𝑥)在[−3,3]上的最大值为2，最小值为−20．
(Ⅱ)因为𝑎≤−3，−3≤𝑥≤，故𝑓(𝑥)=−𝑥2−(𝑎−2)𝑥+2𝑎， 当𝑎≤−4时，
2−𝑎2
3
1
3
3
3
3
3
≥3，故𝑔(𝑎)=𝑓(3)=−3−𝑎，
5
2−𝑎2
当−4<𝑎≤−3时，2≤
𝑎2+4𝑎+4
<3，故𝑔(𝑎)=𝑓(
2−𝑎2
)=
𝑎2+4𝑎+4
4
，
故𝑔(𝑎)={
,−4<𝑎≤−3
．
−3−𝑎,𝑎≤−4
4
【解析】(Ⅰ)先将𝑓(𝑥)表示为分段函数，从而可得其单调性，再结合单调性可求函数在[−3,3]上的最值．
(Ⅱ)就𝑎≤−4、−4<𝑎≤−3分类讨论可求𝑔(𝑎)的表达式．
对于含绝对值符号的性质的讨论，应根据自变量的范围将函数去掉绝对值符号，再根据熟悉函数的性质来讨论分段函数的性质．
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