在获得知识的经历中积累数学基本活动经验

《教学研究　…．　ｊＡＱ　ｌ　实　过对具体事物进行实际操作、考查和思考，从感性向　际操作、考查和思考的过程中所形成的感性的知识、　理性飞跃时所形成的认识，是学生在已有的经验的基　情绪体验和应用意识．东北师范大学校长、国家基础　础上经历和感悟的归纳推理和演绎推理的过程．数学　教育实验中心主任史宁中教授认为：数学基本活动经　基本活动经验是一种探索、是一种体验，更是一种经　验是学生在已有的经验的基础上经历和感悟的归纳推　历，它既是知识，又是过程，更是它们的综合体．数　理和演绎推理的过程，尤其是归纳推理的过程后建立　学活动是数学活动经验的源泉，它的获得和积累是学　起来的新的经验和更高层次的直观．因而，数学基本　生不断经历、体验各种数学活动过程的结果，需要在　活动经验是一种探索、是一种体验、更是一种经历，　“做”的过程和“思考”的过程中积淀．　它既是知识，又是过程，更是它们的综合体．具体地　关键词：活动探究；经验积累；数学教学；数学　讲，数学基本活动经验有以下３个基本特征．　活动过程；数学活动经验　１．数学基本活动经验是“数学”的　数学基本活动经验是具有数学目标的主动学习的　《义务教育数学课程标准（２０１　１年版）》在课程总　结果，所从事的活动要有明确的数学目标．数学经验　目标中对初中数学教学提出了明确要求，即要使学生　来源于日常生活经验，却高于日常生活经验．比如，　能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的　同样是折纸，可以是美学欣赏，可以是技能训练，也　基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．”这　可以是数学操作．作为数学活动的折纸其目的是数学　在传统“双基”的基础上增加了数学基本思想和数学　学习，没有数学目标的活动就不是数学活动．　基本活动经验两项要求．如何充分利用数学课堂教学　的主阵地，正确引导学生提出问题、分析问题、解决　２．数学基本活动经验是“经验”的　经验是一种感性认识，它包含双重意义：一是经　问题，帮助学生获得和积累数学基本活动经验，适应　验的事物；二是经验的过程．数学经验是对数学的感　新课标、新课改的新形势，是数学教学的重要目标，　性认识，数学基本活动经验专指对具体、形象的事物　也是提高学生数学素养的重要标志．　进行具体操作和探究所获得的经验，以区别于通过广　义的抽象数学思维所获得的经验．　一、数学基本活动经验的含义　３．数学基本活动经验是“活动”的　前苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为：数学教　所谓数学基本活动经验，是指学习者在数学目标　学是数学活动的教学，也是思维活动的教学．那么包　收稿１５ｔ期：２０１４—０９—２０　．　作者简介：周茂生（１９６１一），男，山东肥城人，中学高级教师，主要从事中学数学教材及教学研究　２０１４年第１１期　教学研究》　；　ｉ　Ｑ　Ｕ　ＥＹ　ｊ　……………………………………………　括抽象思维、数学证明、数学解题在内的整个数学教　数学美的感受，在欣赏中感受数学，在享受中品味数　学活动都是“数学活动”，这样就过于泛化．这里所说　学，从而让学生体会到数学基本活动经验不仅来源于　的“数学活动经验”所指的“活动”，其特定含义主要　日常生活经验，而且高于日常生活经验．　是对数学材料进行具体操作和形象操作的探究活动．　生活处处有数学，所以如果学生的数学学习离开　了生活，就成为无源之水，无本之木．学生的数学学　二、如何帮助学生积累数学基本活动经验　习要借助于生活经验，即学生数学基本活动经验的积　对数学基本活动经验的积累过程是学生主动探索　的过程，它的获得和积累是学生不断经历、体验各种　数学活动过程的结果．数学教学不仅要关注学生的生　活经验，更要关注学生的数学活动经验．数学基本活　动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，　是在数学学习活动中逐步获得和积累的．所以，教学　中结合具体的学习内容，创设源于学生生活、贴近学　生日常生活经验的情境，设计有效的数学探究活动，　使学生经历数学的发生、发展过程，是帮助学生获得　和积累数学基本活动经验的重要途径．　那么，在数学教学中如何帮助学生获得和积累数　学基本活动经验呢？　下面以北师大版《义务教育课程标准实验教科书・　数等　九年级下册“３．６圆和圆的位置关系”教学片断　为例，说明在让学生获得知识的过程中如何帮助他们　获得和积累数学基本活动经验．　１．情境展示　动画演示（屏幕显示）：这是一幅在清新自然的河　边的参天大树画面，雨过天晴，大树枝端的小水珠轻　盈地落向水面，形成一圈圈美丽的波纹，向四周散去．　让学生细心观察水珠形成波纹的过程，自我发现　形成波圈的不同情境．　【设计意图】引导学生经历日常生活中某些数学情　境形成的过程，将日常生活经验上升到数学活动经验．　好情境具有“简而不减，富而不浮”的特质，是　一节课良好的开端，不仅能直击课的主题，而且能激　发学生学习的欲望和兴趣，为学习目标的达成提供不　可或缺的天然帮助．　本环节通过清新自然的演示，激发学生的学习兴　趣，增强教学的直观性和趣味性，唤起学生对生活美、　２０１４年第１１期　累应来源于生活经验．上述情境，在现实生活中虽然　是存在的，但只有学习数学和运用数学时才会遇到，　我们把它看作日常生活在数学上的扩充，应当有意识　地加以积累．　２．探究新知　探究活动１：探究两圆的位置关系．　（１）动手操作．　学生４人一组，利用准备好的半径不等的两个圆　形纸片，一圆固定，另一圆沿某一直线进行平移，探　索两圆之间究竟存在哪几种位置关系．　（２）观察思考．　教师利用课件演示，引导学生观察两圆的相对位　置关系，并思考各种关系下两圆公共点的个数．　（３）体验理解．　根据初三学生已有的相关知识和数学活动经验基　础，在学生思考的基础上，不难得到圆与圆的５种位　置关系，即两圆外离、外切、相交、内切、内含．　（４）互动交流．　根据学生的观察理解，让学生用数学语言表述出　两圆的５种位置关系，并说给同桌听．　【设计意图】引导学生经历操作与思考的过程，积　累有效操作的活动经验．　动手操作是学生学习数学的重要途径和方法．通　过动手操作能把抽象的数学知识变成看得见、分得清　的现象．学生动手、动脑、动口参与获取知识的全过　程，使操作、思维、语言有机结合，获得的体验才会　深刻、牢固，从而积累有效的操作经验．　本探究活动使学生在操作中体验、感知数学知识，　并与教师演示的课件进行比对，让学生尝试用自己的　语言把两圆的５种位置关系叙述出来，经历了数学结　论形成的过程．这不仅丰富了学生感觉、知觉的经验，　《教学研究　………………………………………………　ｌ　◇　量Ｙ　ｌ　而且也为他们相互之间的思维碰撞提供了丰富的资源．　生活内涵，将数学与生活密切联系，让学生亲身经历　动手操作不仅仅是直观、形象的“手指运动”，更　将生活经验转化为数学活动经验的过程，使学生充分　是丰富、生动的思维活动，并在这一过程中实现操作　积累“数学化”的活动经验．所以，数学教学要基于　经验、思考经验与策略性经验的有机融合，积累丰富　学生的生活现实，把这些生活经验进行“数学化”处　的数学活动经验．　理，促进学生进行数学思考，以生成新的数学活动经　　【说明】利用两圆公共点的个数还可以进行如图１　验．生活经验用于帮助经历、体验新知识的形成过程，所示的分类．　两圆的位置关系　没有公共点　两个公共点　唯一公共点　Ｉ　　Ｉｌ　相离　相交　相切　厂外离　Ｌ］　内含　相交　ｌ外切　广Ｊ］　内切　ｏ　ｏ◎　①ｏｏ⑥　图１　【温馨提示】两圆若没有公共点即相离，包括外离　和内含两种情况；两圆若有唯一公共点即相切，包括　外切和内切两种情况（切记不要丢掉任意一种情况）．　（５）生活中的数学．　让学生举例说出圆与圆的位置关系在日常生活、　生产实践活动以及科技发展中的实际应用．如，奥运　五环、齿轮箱中两个相互咬合的齿轮、一垛整齐排放　的圆形钢管等，让学生感受在生活中数学的无处不在．　【设计意图】引导学生经历数学对接生活的过程，　把生活经验转化为数学经验．　让学生举例子能有效地激发学生的学习兴趣，开　拓学生的思维，使学生感受到数学来源于生活，生活　中有数学，数学无处不在．我们周围存在许多有趣的　数学知识，等待我们去发现、去探索、去观察，充分　体现了本节课的情感目标．结合学生生活经验背景，　学生会说出很多实例，如奥运五环、滑轮组、光盘等　实际应用的例子．　‘　学生在生活中已经积累了一些关于数学原始的、　初步的经验，对于数学知识的认识和理解，有时需要　具有丰富的生活经验背景，让生活经验和数学经验有　效“对接”，使得日常生活经验“数学化”．因此，我　们要善于捕捉生活中的数学现象，挖掘数学知识中的　不仅简单明了，而且生动形象，有利于学生的经验上　升到更高水平，实现经验的改造或重组．　探究活动２：探究相切两圆的对称性．　（１）认识理解．　如图２所示．　①认识连心线：通过两圆圆心的直线叫做连心线；　（１）　（２）　图２　②认识圆心距：两个圆心之间的距离叫做圆心　距，用ｄ表示．　（２）观察思考．　①圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？若两　圆外切或内切呢？　②你发现两圆的连心线有什么特点？　（３）强化理解．　我们知道，圆是轴对称图形，而两圆外切或内切　时也构成一个轴对称图形，两圆的连心线是它们的对　称轴．由此可知，如果两圆相切，那么切点一定在连　心线上．　【设计意图】引导学生经历直观经验（直觉思维）　获得的过程，把直观经验上升到数学活动经验．　根据已有的学习经验，让学生直观地认识到两圆　相切时切点必在其连心线上．同时，为完成下面的探　究活动３做好铺垫．　探究活动３：探究两圆半径Ｒ、ｒ与圆心距ｄ之间　的数量关系．　（１）演示观察．　先从较为特殊的两圆外切（内切）的情况人手，　让学生在观察、思考、猜想的基础上再进行讨论、归　２０１４年第１１期　教学研究》　◇　蠢、　０；　………………………………………………　纳，并借助探究活动２的探究结果得出两圆外切（内　位置关系中两圆半径　、ｒ与圆心距ｄ之间的数量关系　切）时的两圆半径　、ｒ与圆心距ｄ之间的数量关系．　（２）小组活动．　的结论，都经过了学生的数学探究，学生易于理解、　接受．同时，给学生以足够的时间自主探究这一问题，　学生４人一组，利用课前准备好的两个半径大小　能充分让学生感知到图形的“位置关系”与“数量关　不等的圆环，立在课桌上相对平移，经学生观察、思　系”是相互联系的．安排这一探究活动，充分体现了　考，小组讨论后，各个小组探究得出两圆相交、两圆　学生的主体地位，培养了学生的探索和创新精神，为　外离以及两圆内含３种位置关系中的两圆半径Ｒ、ｒ与　学生获得数学基本活动经验奠定了良好的基础．　圆心距ｄ之间的数量关系，并填写表１：　①两圆外离甘ｄ＞Ｒ＋ｒ；　②两圆外切甘ｄ＝Ｒ＋ｒ；　③两圆相交铮Ｒ—ｒ＜ｄ＜Ｒ＋ｒ；　④两圆内切甘ｄ＝Ｒ—ｒ；　⑤两圆内含铮ｄ＜Ｒ—ｒ．　表１　位置关系　图形　公共点个数　ｄ和Ｒ、ｒ之间的关系　外离　０　外切　１　相交　２　内切　１　内含　０　【温馨提示】两圆的位置关系与其对应的数量关系　是互逆的，上述结论既是两圆５种位置关系的性质，　同时也是其判定方法．　【设计意图】引导学生经历自主、多样化的体验过　程，积累探究性经验．　积累探究经验不是通过简单的活动和思考就可以　完成的，它强调的更是一种真实的情境，是对数学思　想方法的学习和体验．因此，教师应精心创设问题情　境，组织适度开放的探究性活动，启发学生拓宽思路，　多方位、多角度地获取多样化的信息，积累丰富的探　究经验．　探究经验的获得是一个不断猜想、验证和思辨的　过程．为学生创设多样化的、开放性的探究情境，引　领学生在广阔的数学背景下自由驰骋，会使学生所积　累的探究经验更科学、更丰富．上述探究过程，遵循　了从特殊到一般的探究原则，先从特殊的两圆外　切（内切）时的情况人手，再逐步扩展到两圆相交、　两圆外离以及两圆内含３种位置关系，所得两圆各种　２０１４年第１１期　案例中所设计的探究活动都来源于学生的生活素　材，也是学生感兴趣的活动．活动中学生经历了探究　两圆位置关系的完整的过程，包括探索两圆的５种位　置关系、相切两圆的对称性以及认识两圆的连心线、　圆心距等概念，并利用两圆的５种位置关系探究了两　圆半径　、ｒ与圆心距ｄ之间的数量关系．在情境展示　中，通过动画演示让学生观察水珠形成波纹的过程，　使学生发现了形成波圈的不同情境．在探究活动１中，　让学生通过两圆沿某一直线作相对平移，探索两圆之　间的位置关系，是利用了学生的生活经验，让学生动　手操作、观察思考得出两圆的５种位置关系，这时还　没有对生活经验进行再加工，上升为学生的数学经验．　而探究活动３则是在探究活动ｌ的基础上，教师又组　织学生进行了数学的讨论，从而让学生得出两圆的各　种位置关系中两圆半径Ｒ、ｒ与圆心距ｄ之间存在的数　量关系．这些结论的获得，均是由学生借助已有的生　活经验，或动手操作、动脑思考、小组讨论后，自己　探究得出的，这种活动是具体的数学操作，是专门为　数学学习而设计、服务的，它虽然是具体的、形象的　活动，却充满着数学意味，这就上升到真正意义上的　数学活动经验．学生在这样的活动过程中，就能不断　地积累数学基本活动经验，这就是学生数学活动经验　积累的过程．　可见，只有通过教师创设情境，让学生提出问题、　分析问题、解决问题，数学基本活动的经验才能得以　进一步获得和积累．同时，在这一系列活动过程中学　生的直觉思维能力也会上升到一定高度，创新也就成　为可能．但要注意的是，学生的数学基本活动经验也　不是一蹴而就的，它有一个积累的过程．因此，我们　在教学中既不要急于让学生的数学基本活动经验通过　《教学研究　………………………………………………　｝　Ｑ　乐Ｙ　ｌ　一二次活动就练成，要时刻关注学生对数学基本活动　的探索精神和应用意识是数学课程的重要目标，应贯　经验的积累，又要对学生数学活动经验积累有坚定的　穿于整个数学课程之中．数学探索活动是实现这些目　信心，因为只有积累到一定的量，才会有质的飞跃．　标的重要和有效的载体．同时，还要注意帮助学生获　如，学生在研究平行四边形面积公式的推导时，经过　得和积累数学基本活动经验，必须摆脱过度形式化的　学习材料的诱导，在教师的帮助下，通过讨论，许多　数学思维模式，把各种数学活动组织进入课堂教学，　学生才“被知道”可以通过割补的方法，把平行四边　使得学生的“数学现实”具有深厚的生活经验支持，　形转化成已学过的长方形进行研究，便可推导出平行　从而，从感性到理性逐步培养学生的数学基本活动　四边形的面积公式；而当学生研究梯形的面积公式时，　经验．　学生就能利用学具，借助已有的生活经验，想到把梯　形通过拼接等方式，转化成已学过的图形，推导出它　的面积公式；当学生研究三角形和圆的面积公式时，　参考文献：　［１］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学　课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范　大学出版社，２０１２．　借助积累的数学活动经验，学生就能熟练地利用学习　材料，把它们转化成已学过的图形的面积，研究出其　面积公式了．因此，教师要让学生通过生活经验，积　［２］王卫标．引导学生积累数学基本活动经验［Ｊ］．　初中数学教与学，２０１２（９）：３４—３５．　［３］周茂生．“圆和圆的位置关系”教学设计［Ｊ］＿　数学课程实践与探索（初中），２０１０（３）：１５—１７．　点，这是学生学习的顿悟、灵感的萌发、瞬间的创造，　这些智慧可能会稍纵即逝．对于学生在课堂上这样、　累数学基本活动经验．　总之，获得和积累数学基本活动经验，培养学生　（上接第６页）　走数学知识的发现之路．　教师稚化自己的思维，可以在学生似懂非懂时稚　那样的想法，一方面，教师必须用心倾听、及时捕捉　和充分肯定，引领学生前行；另一方面，教师可组织　化，也可以在学生“心中有，口中无”时稚化，还可　以在学生完全不明白一个问题的思考过程时稚化．当　学生从正反两个方面进行辩论，让学生在辨别中掌握　正确的知识．这样的教学才能让数学课堂生成更多、　然，教师思维的稚化势必会增加探究问题所用的时间．　更亮的智慧光芒！　要解决这个问题，首先，要求教师对教学内容要有到　行文至此，并没有涉及传统意义上的“双基”教　位的理解，尽量挖掘出教学内容最具活力的价值，根　学．笔者认为，“双基”教学是数学教学的一个部分，　据学生的实际，选择对学生发展最有价值的素材开展　但不是数学教学的全部．事实上，如果我们用发展的　教学活动（例如，正切这个内容最具教学价值的就是　眼光看待“双基”，那么让学生在学习过程中去发现并　让学生自主地探究出用两边之比来描述倾斜程度）；其　掌握探究问题的基本方式、方法，也是“双基”的一　次，要求教师必须对将要探讨的问题或者可能探讨的　个维度．为此，数学教学不要被传统意义上的“双基”　问题做到心中有数，即不仅知道问题的最终指向，而　束缚住手脚，数学教学要有大气魄、大智慧，我们只　且知道如何在学生思维的停顿处引领学生走向问题的　有让学生感受并掌握数学探究的基本方式、方法，才　终点，也就是说教师要有针对关键问题一步步指导学　能实现数学教学的价值诉求．　生进行探究的引领力．　３．要在课堂生成上给予智慧　数学教学应该是“活”的教学，它不能拘泥于预　参考文献：　［１］章建跃．中学数学课改的十个论题［Ｊ］．中学　数学教学参考（中旬），２０１０（１／２）：２－５．　［２］卜以楼．教学价值：数学教学的根本之所　在［Ｊ］＿数学通报，２０１３（１）：１６一ｌ９．　［３］卜以楼．凸显迁移能力的教学设计［Ｊ］．中国　数学教育（初中版），２００９（１１）：３１—３３．　２Ｏｌ４年第１１期　定的教学设计，而要关注师生互动的动态生成过程，　要选择将有效的信息及时转化为教学的生成资源，进　行生成性教学．　教学中　学生的回答往往会不经意地出现一些亮