摘要
H7N9是一种新型禽流感病毒，它主要在禽类之间相互传染，同时也具备使人类感染的能力，患者表现为一般流感症状。经统计，截止到2015年7月18日，全国已有确证病例595，死亡83人，对生命造成很大威胁。因此，建立适当的模型，科学判断病毒的形成机理并对病毒的传播情况作出科学性的预测具有相当重大的意义。
本文基于H7N9病毒基因来源及流行病学原理的研究，同时通过对疫情数据的收集、统计、处理，再对其传染及发展过程进行研究，以传染病的SI模型和SIR模型为基础，构建了H7基因片段和N9基因片段传播的SI模型、H7和N9相互感染的类SI模型、病毒在人类之间传播的SIRD模型,并运用matlab软件绘制模型图像，更直观地表现了H7N9禽流感病毒的传播规律。
针对问题一，本文把病毒的形成传播分成三个阶段，建立了SI模型、类SI模型和SIRD模型。SI模型描述了H7、N9片段病毒从韩国野鸟传染给华东地区禽类的动态演化过程；类SI模型描述了H7、N9相互感染的动态演化过程，该模型是建立在相互感染过程只发生在活禽市场以及基因重组的速度远小于病毒传播速度的假设条件下；SIRD模型则描述了禽类感染人以及人与人之间相互感染的过程。但通过对实际信息的整理，发现SIRD模型可以进行适当的改进，比如把潜伏期的人群考虑进来，通过数值的拟合，基本上符合实际情况。
问题二则是主要考察微小参数的变化对动态演化过程的影响。通过对各个因数对模型的影响分析得，像上海这样人口数超两千万的特大城市来讲，如果不采取及时的治疗和隔离措施，H7N9病毒的传播会不断进行，则已感染者的增长率增加、治愈率下降，导致感染者数目大量增加。
问题三探究除隔离手段外，其他因素的变化对感染人数的影响。通过对H7N9病毒的形成和传播模型的研究，例如先从传染源上考虑，减少产生H7N9的禽类数目，减少鸟类与禽类接触；再从易感人群方面着手，通过提高医疗水平提高治愈率，降低死亡率，通过疫苗增强易感人群对病毒的抵抗力。这样有效控制病毒
在人群中迅速传播。
关键词：病毒传播 传染病模型 微分方程 微小参数变化
1
一、 问题重述
自四月初以来，全国多个城市已有超过百例的人感染H7N9禽流感病毒得到确诊。此外，也有报道的研究成果显示，H7N9禽流感病毒的8个基因片段中，H7片段来源于浙江鸭群中分离的禽流感病毒，而浙江鸭群中的病毒往上追溯，与韩国野鸟中分离的禽流感病毒同源；N9片段与韩国野鸟中分离的禽流感病毒同源。其余6个基因片段（PB2、PB1、PA、NP、M、NS）来源于H9N2禽流感病毒。据病毒基因组比对和亲缘分析显示，H9N2禽流感病毒来源于中国上海、浙江、江苏等地的鸡群。
1、根据上述描述以及相关资料，尝试构建数学模型以描述病毒从鸟类传向人群的动态演化过程；
2、考虑在上海这样的特大城市中，如果不对感染人群作及时的治疗和隔离，以构建的模型来说明可能带来的后果；
3、基于模型讨论，除了隔离手段外，其他因素变化是否可以有效控制病毒在人群中迅速传播。
二、 问题分析
2.1有关H7N9的病理知识
1、传染源：目前已经在禽类及其分泌物或排泄物以及活禽市场环境标本中检测和分离到H7N9禽流感病毒，与人感染H7N9禽流感病毒高度同源。传染源可能为携带H7N9禽流感病毒的禽类。
2、传播途径：4月24日，国家卫生计生委与世卫组织共同召开人感染H7N9禽流感联合考察组通报会。考察组认为，H7N9感染风险主要集中在活禽市场。现有证据不足以证明发生了人传人。未来如果发生有限的人传人，也不足为奇。
3、高危人群: 在发病前1周内接触过禽类或者到过活禽市场的或者直接接触过禽类排泄物污染的物品、环境易于感染H7N9病毒。
4、抗体产生：人感染H7N9治愈后体内产生了对抗此病毒的抗体，将不会再次感染此病毒。
2.2模型建立
1、禽类之间传播时，不考虑禽类的自愈以及死亡，则此模型可以以SI模型为基础构建符合本文题意的类SI模型。韩国野鸟将H7同源基因和N9基因的病毒传染给华东地区的禽类可以建立两个SI模型，活禽市场上携带H7基因片段和N9基因片段的病禽相互传染可以对SI模型进行改编，建立互相感染的类
2
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SI模型，描述H7N9病毒的重组产生过程和禽类间互染的动态演化过程。 2、禽类将病毒传给人群时，需要考虑人群的治愈以及感染死亡情况，所以可以以SIR模型为基础构建符合本文题意的SIRD模型。在构建模型的过程中应注意，人与人之间的传播概率与禽与人之间的传播概率应分开计算。易感人群与非易感人群感染H7N9的概率也不相同。
三、 模型建立
3.1模型一
1）假设条件
1、华东地区的所有禽类都含有H9N2病毒。 2、在T1时间段，韩国野鸟把携带H7基因片段的病毒传染给华东地区的一部分禽类；在T2时间段，另外一批韩国野鸟把携带N9基因片段的病毒传染给华东地区的另一部分禽类。在T3时间段，活禽市场中，携带H7基因片段病毒的禽类与携带N9基因片段病毒的禽类相互感染，产生H7N9禽流感病毒，并且T1、T2和T3时间段无交叉； 3、不考虑禽类本身的自愈和死亡情况。
2）符号说明
X表示携带H7片段的野鸟数量。 X表示携带N9片段的野鸟数量。 Y(t)表示携带H7片段的禽类数量，其中Y(t)表示易感染禽类数量，Y(t)表示已感染者数量，在时刻t这两种禽类在总禽类中所占的比例分别记作s1(t)和i1(t)。
Y(t)表示携带N9片段的禽类数量，其中Y(t)表示易感染禽类数量，Y(t)表示已感染者数量，在时刻t这两种禽类在总禽类中所占的比例分别记作s2(t)和i2(t)。
λ1表示每只携带H7片段的野鸟有效接触的平均禽类个数。 λ2表示每只携带N9片段的野鸟有效接触的平均禽类个数。 λ3表示每只携带H7片段的禽类有效接触的平均禽类个数。 λ4表示每只携带N9片段的禽类有效接触的平均禽类个数。
3）模型建立
1、在T1时间段，韩国野鸟在迁徙途中，将携带H7基因片段的同源病毒传染给华东地区一部分养殖场内的禽类：
i(0)=i s(t)+i(t)=1
Y(t+∆t)−Y(t)=Xλs(t)Δt+Y(t)λs(t)Δt
=Xλs(t)+Y(t)λs(t) （1）
3
2、在T2时间段，韩国野鸟在迁徙途中，将携带N9基因片段的病毒传染给华东地区一部分养殖场内的禽类：
i(0)=i s(t)+i(t)=1
Y(t+∆t)−Y(t)=Xλs(t)Δt+Y(t)λs(t)Δt
=Xλs(t)+Y(t)λs(t) （2）
3.2模型二
以SI模型为基础，经过适当的改编，构建出在T3时间段活禽市场中，携带有H7基因片段病毒的禽类与携带有N9基因片段病毒的禽类相互感染的类SI模型。
1）假设条件：
1、带有H7、N9基因片段的病毒的传播速度远大于基因重组的速度；
2、当禽类同时感染携带H7基因片段病毒、N9基因片段病毒和H9N2基因片段病毒时，即可认为禽类感染上了H7N9病毒；
2）符号说明
Y(t)表示携带H7片段的禽类感染N9片段的数量，Y(t)表示易感染禽类数量，Y(t)表示已感染者数量，在时刻t这两种禽类在总禽类中所占的比例分别记作s3(t)和i3(t)；
Y(t)表示携带N9片段的禽类感染H7片段的数量，Y(t)表示易感染禽类数量，Y(t)表示已感染者数量，在时刻t这两种禽类在总禽类中所占的比例分别记作s4(t)和i4(t)
Y(t)表示携带H7片段和N9片段的禽类数量，即最终携带H7N9病毒的禽类数量。
λ5表示每只携带N9片段的禽类每天有效接触携带H7片段的平均禽类个数。 λ6表示每只携带H7片段的禽类每天有效接触携带N9片段的平均禽类个数。
3）模型构建
i(0)=i i(0)=i i(t)+s(t)=1 i(t)+s(t)=1
Y(t+∆t)−Y(t)=Y(t)λs(t)Δt
=Y(t)λs(t) （3）
Y(t+∆t)−Y(t)=Y(t)λs(t)Δt
=Y(t)λs(t) （4）
4
Y(t)=Y(t)+Y(t) （5）
3.3模型三
根据SIR模型，经过合理的改编，建立禽类将H7N9病毒传染给人以及人与人之间相互传染的SIRD模型。
1）假设条件
因为H7N9禽流感病毒具有很强的变异性，不能排除人传染人的可能性，根据查询资料作出以下假设。
1、总人数N不变，死亡者为移出者； 2、感染者治愈后不会被再次感染；
3、不考虑感染者除H7N9病毒感染外的其它死亡原因；
4、病人数量远小于健康者的数量，且不考虑人口的自然死亡、出生、迁入和迁出。
2）符号说明
P(t)表示易感染者 P(t)表示已感染者 P(t)表示治愈者 P(t)表示死亡者
λ表示每只携带H7N9病毒的禽类每天有效接触平均人类数。 α表示每个病人每天有效接触的平均人数。 μ表示感染者的治愈率 θ表示感染者的死亡率
π表示容易接触禽类的人群占总人口的比例
β表示易接触禽类人群直接从禽类感染H7N9的概率 γ表示不易接触禽类人群直接从禽类感染H7N9的概率
3）模型构建
将人群分为四种，占人群的比例分别为易感染者s(t)，已感染者i(t)，治愈者r(t)，死亡者d(t)。
s(0)=s i(0)=i r(0)=r d(0)=d
根据上述内容有
s(t)+i(t)+r(t)+d(t)=1
① 感染治愈者的微分方程模型为：
(0)=Nr(0)
(+∆)−()=μNi(t)∆t
5
=μi(t) （6）
② 感染死亡者的微分方程模型为：
(0)=Nd(0)=N(1−s−i−r)
P(t+∆t)−P(t)=θNi(t)∆t
=θi(t) （7）
③ 易感染者的微分方程模型为：
P(0)=Ns(0)
P(t+∆t)−P(t)=[−λs(t)Y(t)−Nαi(t)s(t)]Δt
N=−λs(t)Y(t)−Nαi(t)s(t) （8）
④ 已感染者的微分方程模型为：
P(0)=Ni(0)
P(t+Δt)−P(t)=[λs(t)Y(t)+Nαi(t)s(t)−Nθi(t)−Nμi(t)]Δt
N=λs(t)Y(t)+Nαs(t)i(t)−Nθi(t)−Nμi(t) （9）
4）模型改进
由于禽类对不同人的感染率不同及不同职业的人对禽的接触率也不同，所以我们需要进一步改进易感染者模型及正在感染者模型。
改进后易感染者模型为：
P(0)=Ns(0)（10）
P(t+Δt)−P(t)=[−λπNβs(t)Y(t)−λ(1−π)NγY(t)−Nαs(t)i(t)]Δt
=−λπβs(t)Y(t)−λ(1−π)γY(t)−αs(t)i(t) （10）
改进后正在感染者模型为：
P(0)=Ni(0)
P(t+Δt)−P(t)=[λπNβs(t)Y(t)+λ(1−π)Nγs(t)Y(t)+Nαs(t)i(t)−Nθi(t)−Nμi(t)]Δt
=λπβs(t)Y(t)+λ(1−π)γs(t)Y(t)+αs(t)i(t)−θi(t)−μi(t) （11）
6
四、 模型评价及推广
4.1模型介绍
上述微分方程中，（1）—（5）式描述了H7N9病毒在禽类之间传播到形成的动态变化过程。将三部分的基因片段的组合分在三个互不交叉的时间段内进行，使每一部分的组合以一定的顺序进行；（6）—（9）式描述了H7N9从禽类传向人类以及在人类之间传播的动态变化过程。人类之间的传播相比于禽类之间的传播较为复杂，需要考虑病人的死亡、治愈、以及免疫问题。
模型一（SI模型）野鸟传递H7、N9病毒：
i-t1.51i0.50050100150200250t300350400450500
图1
野鸟迁徙过程中传播病毒时，在中间某时刻tm时达到传播高峰值，此时禽类感染最快，因为H7与N9是分时段传播感染，所以野鸟迁徙结束后，禽类一部分全部感染H7,一部分全部感染N9，该模型基本符合假设成立时的情况。
模型三（SIR模型）禽流感病毒从禽传人和人与人之间的传播：
7
10.90.80.70.6s(t)0.50.40.30.20.1005101520253035404550i(t)
图2
0.350.30.250.2i0.150.10.05000.10.20.30.40.5s0.60.70.80.91 图3
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在禽流感病毒从禽类向人以及人与人之间的传播过程中，开始阶段病人迅速增加，即已感染者增加，易感染者减少，随着传染的进行，在某一时刻，已感染者人数达到最大，之后由于部分感染者的死亡、部分被治愈以及采取隔离、保护措施和医疗水平的提高等控制了传播的速度，感染者数量逐渐减少。最后，疫情被控制稳定下来后，感染者几乎为零。如上图所示，该模型基本符合禽流感传播过程的变化。
4.2模型评价
1、 模型的优点
在结合SI,SIR模型的基础上，充分考虑死亡者对系统的影响及加了一些参数。合理利用SI模型解决基因重配产生H7N9病毒的过程，同时考虑到不同人对禽类的接触率及感染率，较为符合的解决了H7N9病毒的产生及禽类传播到人和人与人之间传播的全过程；
2、模型的缺点
在模型的建立过程中，很多假设及数据过于理想，易化了模型。考虑问题未做到全面，与实际有一定的偏差。例如考虑将死亡者移出系统时，未考虑自然死亡率，而且将地区人口总数理想化为常数N，即没有考虑到人口迁入及迁出、自然出生率及死亡率。在模型求解过程中，因部分参数很难测定，导致模型求解较为困难；
3、模型改进及推广
在实际条件下，有部分未被发现的感染者，我们把他们命名为潜伏者P(t)，这类人群也可以传播病毒。设潜伏者占地区总人数比例为q(t),其中潜伏者令正常人患病的概率为δ，死亡率为ε，被发现的概率为ρ，正常人感染后，被发现为感染者率为ν。 则有：
s(t)+i(t)+r(t)+d(t)+ q(t)=1
q(0)=
则对潜伏者有：
P(0)=Nq(0)
对于易感染者有
ds
N=−λπβs(t)Y(t)−λ(1−π)γs(t)Y(t)−Nαs(t)i(t)−Nδs(t)q(t) dt
易感染者感染后一部分转化为潜伏者，潜伏者一部分被发现转化为已感染者，则潜伏者模型为： dqN=(1−ν)s(t)[λπβY(t)+λ(1−π)γY(t)+Nαi(t)−Nδq(t)]−Nεq(t) dt
9
病毒潜伏者中一部分被发现成为已感染者，则已感染者模型为 di
=λπβs(t)Y(t)+λ(1−π)γY(t)+αs(t)i(t)−θi(t)−μi(t)+ρq(t) dt
死亡者模型为
df
=θi(t)+εq(t) dt
4.3模型应用（问题二）
对于上海这种特大城市，人群的数量N较大。因为目前没有证据认为H7N9可以在人与人之间传播，所以可以做出下列假设：
1、 当不对感染人群作及时的治疗和隔离时，即已感人群对易感人群的平均日接触率α不会发生改变，且α较小；
2、假设人感染病毒后不具备自我治愈功能，则自愈率μ为0。
所以已感人群的模型从
di
=λπβs(t)Y(t)+λ(1−π)γs(t)Y(t)+αs(t)i(t)−θi(t)−μi(t) dt
变成
di
=λπβs(t)Y(t)+λ(1−π)γs(t)Y(t)+αs(t)i(t)−θi(t) dt
则即使α较小，不考虑其影响，病毒的传播也会在没有任何应对措施时最终造成大规模的人感染病毒，i的比例越来越大。
因为在上海这种城市，现代化程度较高，则人接触禽类的概率与人与人相互接触的概率相比相对较小。当不考虑病毒由禽类传染给人时：
di
=αs(t)i(t)−θi(t) dt
从模型曲线中可以看出，当α较小时，对于i的影响较小。所以此时需要在考虑病毒的变异。由所查询的资料知病毒变异后只会令人与人之间的传播概率增大，此时对模型进行模拟得：
首先进行参数估计：=1，μ=0.3，i0=0.02
10
a>110.90.80.70.60.50.40.30.20.100510152025t30354045501-1/a 图3
1/μ是平均传染病毒的传染期，若不对感染人群做及时的治疗和隔离，则每个感染者每天将会使更多的健康者患病，α将增大，延误的治疗将还会使治愈率下降，即μ减小，1/μ增大，即增大，当>1时，如上图（图中用a表示），实线表示当i0≤(1-1/)时，随着t的增加最终将有70%的人患病；虚线表示当i0≥(1-1/)时,i(t)会递减至（1-1/).
i五、 因素分析和影响
对于已感染者有
di
=λπβs(t)Y(t)+λ(1−π)γs(t)Y(t)+αs(t)i(t)−θi(t)−μi(t) dt
由已感染者模型可得，影响禽流感传播的因素有λ ，π，β，γ，Y，α，θ，μ。
1、
与感染者的增长率呈正比，所以要减小感染者的增长率，需减少的数量 其中为在时段带有HX的韩国野鸟传播给华东地区的禽类与在时段带有N9的韩国野鸟传播给华东地区禽类再进行基因再进行基因重配产生的带H7N9
11
的禽类数。其中主要影响的为在两个时段的韩国鸟类的迁徙。相关部门加强对迁徙鸟类的迁徙规律研究，在鸟类迁徙的季节应严密观察鸟的动向，建立候鸟保护区，使其远离禽类养殖场。同时提高养殖场的各种设施，对外来鸟类进行隔离和加强禽类养殖的卫生检测。减少鸟类对传播机会。从源头减少H7N9的禽类数目。 2、λ
λ与感染者的增长率呈正比。
卫生部门应加强对养殖场的禽类卫生监管力度及对市场上禽类食品的卫生监管，发现可疑的带病毒活禽及禽类食品立即处理。尽量降低带H7N9的传染源与人们的接触。 3、β，γ
β表示一只带H7N9病毒的禽类对易接触禽类者的传染概率 γ表示只带H7N9病毒的禽类对不易接触禽类者的传染概率 由修正后的已感染者模型可得β，γ与感染者的增长率呈正相关，因此减小β， γ可以减少被感染者的增加量。下面从两个方面讨论β，γ （1）身体素质与对疾病的防范意识
加强体育锻炼，增强自身的身体素质。注意补充营养，保证充足的睡眠和休息，以增强对H7N9病毒的抵抗力，加强对H7N9病毒传播方式及传播途径的知识了解，提高自身疾病的防范意识，降低疾病的感染率。即减小了β，γ对于易接触禽类者，比如禽类养殖、销售、宰杀、加工业者，在工作时更加应该加强自身疾病防范意识，如及时采取消毒措施，清理污染物，保持工作环境的卫生。 （2）疫苗的研制
医疗机构应加大疫苗研制人力物力的投入，尽早研制出疫苗，通过注射疫苗，在人体内产生抗体，增强人们对H7N9的抵抗力。大大减小疾病感染率β，γ。从而减少感染者的增长率。 4、π
π表示易接触禽类者占总人数N的比例
由于H7N9病毒对易接触禽类者的感染概率大于不易接触禽类者的感染概率，及β>γ,所以π与已感染者的增长率呈负相关，所以在一定程度减小π有助于遏制已感染者的增长率，应该严格监控禽类交易及养殖，对感染H7N9的禽类养殖场进行关闭及补贴，在较高治愈率与控制H7N9病毒前，减少禽类市场的规模，即减小π，减少易接触禽类者比例，减小已感染者的增长率。 5、α
α表示已感染者对易感染者的日有效接触率
由已感染者模型可知，α与已感染者增长率呈正比，所以减小α有助于减小感染者的增长率。则在面对传染病可以采取隔绝传染源的方法，即减少已感染者和易感染者的接触。
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6、θ，μ
θ表示每日感染者的死亡率 μ表示每日感染者的治愈率
由已感染者模型可知θ，μ与感染者的增长率呈反比，增大θ，μ有助于减小已感染者的增长率，随着对H7N9病毒的研究，可以有效提高对感染者的治愈率，降低感染死亡率，且治愈者不会再次被感染，从而减小已感染者的增长率。
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六、 参考文献
[1] 国家卫生计生委,《人感染H7N9禽流感诊疗方案》
http://www.nhfpc.gov.cn/yzygj/s3593g/201401/3f69fe196ecb4cfc8a2d6d96182f8b22.shtml
2015/8/4，8:30. [2] 科学网，《H7N9禽流感来袭》
http://news.sciencenet.cn/submore.aspx?id=1393&subid=1395,2015/8/4，8:51.
[3] 国家卫生计生委, 《人感染H7N9禽流感诊疗方案》,
http://www.nhfpc.gov.cn/yzygj/s3593g/201401/3f69fe196ecb4cfc8a2d6d96182f8b22.shtml，
2015/8/4，8:33. [4] 每日商报，《人感染H7N9治愈后不会再次感染病毒》,
http://hzdaily.hangzhou.com.cn/mrsb/html/2013-04/19/content_14773.htm，
2015/8/4，9:00 [5]姜启源，《数学模型》（第四版），北京，高等教育出版社，2011. [6]刘卫国，《MATLAB程序设计与应用》（第二版），北京，高等教育出版社，2006. [7]肖华勇，《实用数学建模与软件应用》，陕西，西北工业大学出版社，2008.
14
附件：
图1程序：
t=linspace(0,500,500); axis([0 500 0 1.5]);
i=1./(1+(100-1)*exp(-0.05.*t)); plot(t,i,'r-');xlabel('t'); ylabel('i'); title('i-t')
图2、3程序： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';
t0=0;tf=50； x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',[t0,tf],x0);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause; plot(x(:,2),x(:,1)),grid
图4程序：
t=linspace(0,50,50);
solve('DU=-u*(u-(1-0.3))','u(0)=0.01','t');
u=7./(10*(exp(log(69)-(7*t)/10)+1));plot(t,u,'k-');hold on; xlabel('i');ylabel('di/dt');title('a>1'); solve('Du=-u*(u-(1-0.3))','u(0)=0.9','t');
u=-7./(10*(exp(log(2/9)-(7*t)/10)-1));plot(t,u,'r--');
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