生活中的圆周运动

1．运动特点：火车转弯时实际是在做 运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的 ．

2．向心力来源：在修筑铁路时，要根据弯道的 和规定的 ，适当选择内、外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由 和 的合力提供． 二、拱形桥

1．汽车过凸形桥

汽车在凸形桥最高点时，如图1甲所示，向心力为Fn＝ ＝ ，汽车对桥的压力FN′＝FN＝ ，故汽车在凸形桥上运动时，对桥的压力小于汽车的重力．

1．向心力来源：在铁路的弯道处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由 和 的合力提供，即F＝ . mv0

2．规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道压力，则mgtan α＝，故v0＝

RgRtan α，其中R为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为弯道规定的速度．

(1)当v＝v0时，Fn＝F，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨 ，这就是设计的限速状态．

(2)当v>v0时，Fn>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时 对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分．

(3)当v1．汽车过拱形桥(如图3)

2

图1

2．汽车过凹形桥

2

mv

汽车在凹形桥最低点时，如图乙所示，向心力Fn＝FN－mg＝，汽车对桥的压力FN′＝

Rmv

FN＝mg＋，故汽车在凹形桥上运动时，对桥的压力 汽车的重力．

R

三、航天器中的失重现象

1．对于航天器，重力充当向心力，满足的关系： ＝ ，航天器的速度v＝ . 2．对于航天员，重力mg和座舱的支持力FN的合力提供向心力，满足关系： ＝ ，当v＝ 时，座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全 状态． 四、离心运动

1．离心运动：做圆周运动的物体，在合力 或者 的情况下，就会做远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动． 2．离心运动的应用和防止

(1)应用：离心干燥器；洗衣机的 ；离心制管技术．

(2)防止：汽车在公路转弯处必须 ；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高. 一、铁路的弯道

火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下列问题：

2

图3

vv

汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.

RR(1)当v＝gR时，FN＝0.

(2)当0≤v(3)当v>gR时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险． 2．汽车过凹形桥(如图4)

2

2

图4

mvmv

汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.

RR

由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥

多于凹形桥．

2

2

三、航天器中的失重现象和离心运动 1．航天器中的失重现象

(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝v

M，则v＝gR. R

(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力提供向心力，满足关系：mv

mg－FN＝.

R

当v＝gR 时，FN＝0，即航天员处于 状态． (3)航天器内的任何物体都处于 状态． 2．离心运动

(1)离心运动的原因：合力突然消失或不足以提供所需的向心力，而不是物体又受到了“离心力”．

(2)合力与向心力的关系对圆周运动的影响

2

若F合＝mωr，物体做匀速圆周运动．

2

若F合2

若F合>mωr，物体做近心运动．

一、火车转弯问题 例1

铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图7所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于gRtan θ，则( )

2

2

mg

D．这时铁轨对火车的支持力大于

cos θ

二、汽车过桥问题

2

例2 一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g＝10 m/s，求： (1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？

(2)在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？

图7

A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压 mg

C．这时铁轨对火车的支持力等于

cos θ

5.7 生活中的圆周运动学案二

四、竖直面内的“绳杆模型”的临界问题 1．轻绳模型(如图5所示) (1)绳(内轨道)施力特点： ．

(2)在最高点的动力学方程 . (3)在最高点的临界条件

①v＝gr时，拉力或压力为 ． ②v>gr时，小球受向 的拉力或压力．

③v(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力． (2)在最高点的动力学方程

v

当v＞gr时，FN＋mg＝m，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大．

rv

当v＝gr时，mg＝m，杆对球无作用力．

r

v

当v＜gr时，mg－FN＝m，杆对球有向上的支持力．

r当v＝0时，mg＝FN，球恰好到达最高点．

2

2

2

图8

(1)转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍？

(2)转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况？(g取10

2m/s)

四、对离心运动的理解

例4 如图9所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所许可的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？

2

(g＝9.8 m/s)

图9

【补充学习材料】

1．(交通工具的转弯问题)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( ) 11

A．减为原来的 B．减为原来的 24

C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍

2．(竖直面内的“轻杆模型”的临界问题)如图10所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m，小球质量为3 kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a的速度为va＝4 m/s，通过轨道最高点b的速度为

2

vb＝2 m/s，取g＝10 m/s，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是( )

图6

(3)杆类的临界速度为v临＝0. 三、竖直面内的“绳杆模型”问题

例3 如图8所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端与水平轴O连接．试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动．求：

图10

A．在a处为拉力，方向竖直向下，大小为126 N B．在a处为压力，方向竖直向上，大小为126 N C．在b处为拉力，方向竖直向上，大小为6 N D．在b处为压力，方向竖直向下，大小为6 N

3．(航天器中的失重现象)2013年6月11日至26日，“神舟十号”飞船完成了太空之行，期间还成功进行了人类历史上第二次太空授课，女航天员王亚平做了大量失重状态下的精美物理实验．关于失重状态，下列说法正确的是( ) A．航天员仍受重力的作用 B．航天员受力平衡

C．航天员所受重力等于所需的向心力 D．航天员不受重力的作用

4．(对离心运动的理解)如图11所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )

A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动 图11 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动 C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动 D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动 题组一 交通工具的转弯问题 1．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车

速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是( ) A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力

B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力

C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨 D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨

2．如图1所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙．以下说法正确的是( )

图1

A．Ff甲小于Ff乙 B．Ff甲等于Ff乙 C．Ff甲大于Ff乙

D．Ff甲和Ff乙的大小均与汽车速率无关

3．赛车在倾斜的轨道上转弯如图2所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)( )

图2

A.grsin θ B.grcos θ C.grtan θ D.grcot θ

题组二 航天器的失重及离心运动问题

4．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，下列说法正确的有( ) A．在飞船内可以用天平测量物体的质量 B．在飞船内可以用水银气压计测舱内的气压 C．在飞船内可以用弹簧测力计测拉力

D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为0，但重物仍受地球的引力 5．在人们经常见到的以下现象中，属于离心现象的是( ) A．舞蹈演员在表演旋转动作时，裙子会张开

B．在雨中转动一下伞柄，伞面上的雨水会很快地沿伞面运动，到达边缘后雨水将沿切线方向飞出

C．满载黄沙或石子的卡车，在急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出 D．守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动 题组三 竖直面内的圆周运动问题

6．如图3所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人

体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )

C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N

10．如图7所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法正确的是( ) A．v的极小值为gl

B．v由零逐渐增大，向心力也增大

图3

A．0 B.gR C.2gR D.3gR

7．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上(如图4所示)，顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0＝Rg，则物体将( )

C．当v由gl逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大 图7 D．当v由gl逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大

4

11．如图8所示，质量m＝2.0×10 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形

5

桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×10 N，则：

图8

(1)汽车允许的最大速度是多少？

2

(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s)

12．质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平

2

轴在竖直平面内转动．(g＝10 m/s)求：

(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？

(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力．

图4

A．沿球面下滑至M点

B．沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动 C．沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动 D．立即离开半圆球做平抛运动

8．如图5所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( ) A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下 B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上

C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上 图5 D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力 9．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确

2

的是(g＝10 m/s)( ) A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 图6 B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零