蒲峪学刊1994年第4期高等代数教学方法初探贾璐对高等代数这门课多年来都是采用张禾瑞、郝钢新编《高等代数()第三版)作为必读教材,我在使用这一教材的过程中,对教学方法作了初步的探索。一、明确教材的地位和特点教学大纲指出:“高等代数是现代代数的基础知识,是学习掌握其它数学学科及科学技术的基础,是数学专业的一门重要基础课,是中学代数的继续和提高”。高等代数虽然是数学专业的一门重要基础课,但它研究问题的基本方法是公理化的研究方法。因此,高等代数具有抽象性强和逻辑性强的特点。高等代数虽然是中学代数的继续和提高,但它与中学代数有极大的不同,这种不同不仅表现在内容的深度上,更重要的是表现在观点和方法上。作为高等代数这门课的授课教师必须明确它在数学专业中的地位作用和特点。二、根据教材的特点组织教与学高等代数教材的特点是难度大、方法独特,抽象性和逻辑性强。因此,授课教师必须多想办法降低教材的难度的深度,使学生能逐个地掌握好高等代数的内容和研究伺题的方法,逐步培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。为此,我在组织教与学时,注意了以下几点。1重新组织教材和补充起阶梯作用的命题,降低教材的难度和深度。我在讲授必读教材时不照本宣科,不管是一次课的教材,一节的教材,一章的教材,54还是整本教材,为了降低教材的难度和深度,必要时都要重新组织。例如,行列式的性质这一次课的教材,我把必读教材中介绍的九个行列式的命题和推论归纳为六个性质:①行列式与它的转置行列式相等②交换行列式两行(列),行列式改变符号。③用一个数乘行列式的某一行等于这个数乘此行列式,④行列式某一行(列)的每一个元素都能表成两项和,行列式能表成两个行列式的和。⑤行列式两行(列)成比例,行列式等于零。⑥把行列式某一行的倍数加到另一行(列),行列式不变。再把这六个性质归纳为三类,其一类值为零—性质⑤、其二类值不变,性质②③—性质①④⑥其三类值变。这样组织教材比较精炼,学生容易—记忆。又如,可以对角化的矩阵这一节的教材,我作了必要的补充后归纳为四个命题:①准备知识(包括线性变换属于不同特征根的特征向量的线性无关性7、6、1,线性变换一切特征子空间的—定理和是直和且是不变子空I可推论7、6、4,dimv*簇入的重数,dimv*—一n一秩(入I一A)。②矩阵可以对角化的定义(包括线性变换可以对角化与矩阵可以对角化的定义,线性变换可以对角化与矩阵可以对角化的一致性)。③矩阵可以对角化的判定(包括线性变换可以对角化与矩阵可以对角化的充分条件2和7、6、3,线性变换可以对角化—推论7、6、与矩阵可以对角化的充要条件7、、—定理65和推论7、6、6)。④矩阵对角化的方法包括一’是对角矩阵的的结构,矩阵对角化的方法)。这样组织的教材,学生比较容易接受。必读教材中有部分定理、推论、性质、命题没有给出证明,或者证明的跳跃性比较大,对于前者我全部补充给出证明,对于后者我补充起阶梯作用的命题。例如,讲矩阵乘法满足结合律,补充了命题:证明(艺ai)、艺aib=(艺ai)b、艺艺a;bj~艺艺a`bj。i二11=11~11,lj二lj”11~l又如,讲定理7、6、5前补充命题:设V是数域F上一个n维向量空间,a是V的一个线性变换,。关于V的基(a,。2……a。}的矩阵是A,①若。可以对角化,则A可以对角化,②若A可以对角化,则a可以对角化。上面补充的两个命题对证明有关的定理、推论和性质起了很好的作用,学生学起来比较容易。2不断总结规律和补充阶梯作用的例题,减少学生的学习困难。教师讲课时要不断总结规律。例如,我讲12节可逆映射的逆映射的唯一性后,告诉学生证明唯一性的常用方法用:设任意两种情况满足条件,证明这两种情况相同。又如,讲23节补充例题(设f(x)、g(x)是F〔x〕的两个多项式,u()x是F〔x〕的任意多项式,则(f(x)g(x))=f(x)士g(x)u(x),g(x))后,告诉学生证明最大公因式d(x)与d,(x)相等的方法是:证d(x)Id,(x),d:(x)Id(x)。再如,讲34节行列式的计算后,告诉学生计算行列式常用的方法是:降阶法,三角形法,递推法和分解法、数学归纳法以及综合应用这些方法。这样做,对学生逐个地掌握高等代数与中学代数不同的研究方法,减少学习上的困难有好处。必读教材的习题有一部分题目与正文中的理论对不上号或很难对上号。为了减少学生学习上的困难。我适当补充了一些阶梯作用的例题。例如,学生做习题21节第1题之前,讲授21节教材时补充了两道例题:①求两组复数域上多项式g(x)与f(x),使g,(x)+fZ(x)=0。②设g(x)、h(x)是实数域上多项式且g,(x)+h,(x)一o,则g(x)~h(x)~0。又如,做习题28节第2题前,补充了例题:设P,…P:是t个不同的素数,n是大于1的整数,则f(x)=x”一pl…p,在有理数域上不可约。,再如做习题75节第5题前,补充了例题`设6是数域F上n维向量空间的一个线性变换,则存在F上的一个非零多项式f(x),使f(x)=0。3从具体的实例引入概念和定理。高等代数是一门抽象性很强的学科。因此教师介绍概念和比较难懂的定理时,应尽量由具体的实例引入。例如,我讲n阶行列式这一概念时,先研究三阶行列式i(aj)33x的结构规律:①三阶行列式是3!项的代数和。②每一项都是三阶行列式的不同行不同列的三个元素的乘积:al;laZjZa3)。。这里j,jZj3是123的一个排lFJ。③项a,j,aZjZa3j3的符号是(一1)”lj(’内),然后用三阶行列式的结构规律定义n阶行列式。又如,讲向量空间这一概念时,先考察数域F上全体一元多项式所成集合F〔x〕的特点:F〔幻中有一个多项式加法,有一个F中的数与F〔x〕中的一个多项式乘法。加法和乘法具有算律(指向量空间的算律),然后给出向量空间的定义。再如,讲余子空间概念时,先讲一个例题:设H是向量空间V。的过原点的一个平面,IJ是过原点且与H垂直的一条直线,则V3一L十H,LnH一丈。},然后介绍余子空间的概念。再如,讲替换定理636时,先讲一个例题:向量空间F〔x〕的向量组{x,xZ}线性无关,向量x,x,都可由向量组{x3,Zx,,3x}线性表示,则哎x,x,}向量的个数不大于{x3,Zx,,3x}向量的个数,并且{x3,Zx,,3x}中向量重新编号{3x,Zx,,x3}后,由{x,x,}的向量替换向量3x,2x2所得向量组{x,x,,x3}与55(x3,x22,ax}等价,然后介绍替换定理的内容,并给出证明。这样做,可使学生对概念和定理理解的比较清楚,记忆比较牢固。4分析思路和一题多解,培养学生的逻辑推理能力。高等代数是一门逻辑性很强妇学科,因此教师讲授定理和例题,要讲清命题的条件和结论,地位和作用。讲明证明思路和方法,并且用精确简炼的数学语言写出完整的证明。这样便可逐步培养学生的逻辑推理能力。讲解例题时除注意讲明思路和方法外,还要尽量一题多解。例如,我讲判断向量空间F3的向量a,一(123),aZ一(246),a3~(1一78)是否线性相关这一道补充例题时,就是给出四种解法。这四种解法分别用向量线性相关的定义和下列三个判定命题之一:①若一个向量组弋Q:aZ…a。}有一部分向量线性相关,则整个向量组也线性相关。②向量组{a,a:…a。}线性相关的充要条件是其中某一向量可由其余向量线性表示。③设a,一(a,,…a:。),…,an~(a。,…ann)是向量空间Fn的n个向量,则a,aZ…a。线性相n做可以开拓学生思路三、组一1:一:。…一织教与学要结合学生的特点教师组织教与学不仅要根据教材的实际,也要结合学生的特点。专科学生学习的主要特点是模仿式。用模仿式的学习方法是不能学好高等数学的,这种学习方法必须改变。但改变学习方法不是一两夭就可以实现的,而是要经过一个转变过程。根据几年来的教学实践,这一转变过程大约需要一个学期。因此在第一学期,授课教师不管是组织教材还是布置作业都不要操之过急,要循序渐进。几年来我比较注意这两点。在组织教材方法,第一学期补充大量例题(根据必读教材前五章共有39道,我讲前五章共举98道,增加了朋道,约增加了150%)这些例题除了起巩固基本概念和基本理论的作用外,还起着学生完成课后习题的阶梯作用。第二学期则不同,仅补充了极少量的必要例题(据统计教材后五章共91道例题,我讲了103道,约增加了n%)。原因是学生通过一学期的学习,抽象思维与逻辑推理能力都有了不同程度的提高,所讲的抽象基础理论已比较适应。在布置作业方面,第一学期以半模仿性的题目为主。据统计全学期布置作业59道(只计算大题),其中半模仿性题目n道,占161%;性题目23道,占242%;模仿性的题目28道,占294%。第二学期以性的题目为主。据统计全学期布置作业74道,其中性的题目n道,仅占419%。专科学生学习高等代数与学习中学代数还有一点不同,那就是进度快、内容多,不容易学扎实。为了使学生学得扎实,教师每讲完一章教材都要及时进行复习,把整章内容归纳分类,并且揭示各部分内容之间的内在联系。(作者系克山师专数学系讲师)(责任编辑战涛)