素养培优练(二) 静电场中的能量
一、电势能、电势和电势差(物理观念)
1.如图所示在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为4 cm。电场方向与三角形所在平面平行。已知M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V，则电场强度的大小为( )
A．150 V/m B．75 V/m
C．2253 V/m
D．753 V/m
【解析】选A。过P点作斜边MN的垂线交MN于O点，由几何知识可知，N、O间的距离NO＝2 cm，M、O间的距离MO＝6 cm，由匀强电场的特点和几何关系得O点的电势为φO＝12 V，即O、P两点在同一等势面上，电场强度E＝φO－φM
OM ＝150 V/m，选项A正确，B、C、D错误。
2.如图所示的匀强电场场强为1.0×103 N/C，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是( )
A．a、b之间的电势差为40 V B．a、c之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10－3 C的点电荷沿abd从a移到d，电场力做的功是0.25 J 【解析】选A。由Uab＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04 V＝40 V，A正确；因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将点电荷沿abdca移动一周，位移为0，故电场力做的功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10－3)×40 J＝－0.2 J，D错误。
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3.如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球(不计重力)。开始时，两小球分别静止在A、B位置。现外加一匀强电场E，在静电力作用下，小球绕轻杆中点O转到水平位置，取O点的电势为0。下列说法正确的有( )
A．电场E中A点电势高于B点 B．转动中两小球的电势能始终相等 C．该过程静电力对两小球均做负功 D．该过程两小球的总电势能增加
【解析】选B。沿着电场线方向，电势降低，A错误；由于O点的电势为0，根据匀强电场的对称性φA＝－φB，又qA＝－qB，Ep＝qφ，所以EpA＝EpB，B正确；A、B位置的小球受到的静电力分别水平向右、水平向左，绝缘轻杆顺时针旋转，静电力对两小球均做正功，静电力做正功，电势能减少，C、D错误。 二、电场线和等势面(物理观念)
4.如图所示，带箭头的实线表示某电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。其中A、B、C三点的电场强度大小分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC。关于这三点的电场强度大小和电势高低的关系，下列说法中正确的是( )
A．EA＝EB
B．EA>EC
C．φA＝φB
D．φB>φC
【解析】选B。电场线的疏密程度反映电场强度的大小，A点处电场线最密，电场强度最大，则有EA>EB，EA>EC，A错误，B正确；沿电场线方向电势降低，则知φA<φB，B、C两点在同一等势面上，电势相等，即φB＝φC，C、D错误。 5.如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即φa－φb＝φb－φc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知( )
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A．三个等势面中，a的电势最高 B．带电质点通过P点时电势能较大 C．带电质点通过P点时的动能较大 D．电场力对质点做功|Wab|>|Wbc|
【解析】选B。电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带正电，因此电场线指向右下方，沿电场线电势降低，故c等势线的电势最高，a等势线的电势最低，故A错误；根据质点受力情况可知，从P到Q过程中电场力做正功，电势能降低，故P点的电势能大于Q点的电势能，故B正确；从P到Q过程中电场力做正功，电势能降低，动能增大，故P点的动能小于Q点的动能，故C错误；电场力做功为Wab＝Uabq＝(φa－φb)q＝(φb－φc)q＝Ubcq＝Wbc，故D错误。 6．如图所示，实线为两个点电荷Q1、Q2产生的电场的电场线，虚线为正电荷从A点运动到B点的运动轨迹，则下列判断正确的是( )
A.A点的电场强度小于B点的电场强度 B．Q1的电荷量大于Q2的电荷量
C．正电荷在A点的电势能小于在B点的电势能 D．正电荷在A点的速度小于在B点的速度
【解析】选C。根据“电场线的密疏表示电场强度的大小”可知A点的电场强度比B点的电场强度大，故A错误；根据电场线分布情况可知 Q1、 Q2是同种电荷。点电荷周围电场线分布越密，点电荷所带的电荷量越多，即Q1＜Q2，故B错误；正电荷做曲线运动，受到的合力方向指向曲线的凹处，正电荷从A点运动到B点的过程中，电场力方向与速度方向的夹角总是大于90°，电场力做负功，电势能增大，即正电荷在A点的电势能小于在B点的电势能，故C正确；正电荷从 A 点运动到B点，电场力做负功，电势能增大，动能减小，正电荷在A
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点的速度大于在B点的速度， 故D错误。
7.(2021·锡山高二期末)虚线a、b、c、d、e是匀强电场中的一组等差等势面，一带负电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹是一条抛物线，如图中实线所示，M、N、P、Q分别为运动轨迹与等势面的交点，下列判断正确的是( )
A．等势面a的电势最低
B．粒子在M点的电势能比N点的高 C．粒子在P点的动能为0 D．粒子在N点和Q点的速度相同
【解析】选A。电场线与等势面垂直，可知电场沿竖直方向，粒子的轨迹向下弯曲，所以带负电粒子所受的电场力竖直向下，电场方向竖直向上，沿电场线方向电势降低，则等势面a的电势最低，A正确；粒子从M运动到N，电场力做负功，电势能增加，则粒子在M点的电势能比N点的小，B错误；粒子在P点有沿水平方向的速度，动能不为0，C错误；粒子在N和Q点的动能大小相等，速度大小相等，但方向不相同，D错误。 三、电容器的动态分析问题(科学思维)
8.如图所示是一个由电池、电流计、理想二极管、开关S与平行板电容器组成的串联电路，其中电流计指针偏转方向与电流方向满足图示“右进右偏，左进左偏”。开关S闭合，电路稳定后，下列说法正确的是( )
A．若将A板向上平移一小段距离，则电流计指针会左偏 B．若紧贴A板内侧插入一块玻璃板，则电流计指针会左偏 C．若将B板向右平移一小段位移，则电流计指针会右偏
D．若将B板向上平移一小段位移，则电流计指针会右偏
εrS
【解析】选D。根据C＝4πkd ，将A板向上平移一小段距离，或紧贴A板内侧
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Q
插入一块玻璃板，致使电容器的电容增大，根据C＝U ，则电荷量将变大，由于二极管存在单向导电性，则会有b→a充电电流，则电流计指针会右偏，A、B
εrS
错误；根据C＝4πkd ，将B板向右平移一小段位移，致使电容器的电容减小，
Q
根据C＝U ，则电荷量将变小，由于二极管存在单向导电性，则不会有a→b放
εrS
电电流，则电流计指针不动，C错误；根据C＝4πkd ，将B板向上平移一小段
Q
位移，致使电容器的电容增大，根据C＝U ，则电荷量将变大，由于二极管存在单向导电性，则会有b→a充电电流，则电流计指针会右偏，D正确。 9.如图为研究电容器充、放电的实验电路图。实验时，先使开关S掷向1端，电源E对电容器C充电；经过一段时间，把开关S掷向2端，电容器C与电阻R相连，电容器放电。在开关S接通2端后的极短时间内，下列说法正确的是( )
A．电容器带电荷量和两板间电压都增大 B．电容器带电荷量和两板间电压都减小 C．电容器带电荷量增大，两板间电压减小 D．电容器带电荷量减小，两板间电压增大
【解析】选B。开关S与1端相连时，电源向电容器充电，电流先增大，电容器带电荷量不断增多，两板间电压也不断增大；开关S与2端相连时，电容器放电，电流减小，电容器带电荷量减小，两板间电压也在减小。故A、C、D错误，B正确。
10.如图所示，平行板电容器的两个极板分别为A和B，B板接地，A板带有电荷量＋Q，板间电场中有一固定点P，若将B板固定，A板下移少许，下列说法正确的是( )
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A．平行板电容器的电容将减小 B．平行板电容器的电压将增大
C．P点的电场强度不变，P点的电势降低
D．P点的电场强度不变，P点的电势不变
εrS
【解析】选D。根据C＝4πkd ，A板下移少许，板间距减小，则平行板电容器
Q
的电容将增大，A错误；根据C＝U ，平行板电容器所带的电荷量不变，电容
εrSQ
器的电容增大，平行板电容器的电压将减小，B错误；根据C＝4πkd 、C＝U 、
U4πkQ
E＝d ，平行板电容器两极板间场强E＝εS ，平行板电容器所带的电荷量不
r变，平行板电容器两极板间场强不变，因P点距离B极间距不变，P与B极板间电势差不变，则P点的电势也不变，C错误，D正确。 四、带电粒子在电场中的运动(科学思维)
11.(2020·浙江7月选考)如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从MN连线上的P点水平向右射入大小为E、方向竖直向下的匀强电场中。已知MN与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN连线上的某点时( )
mv0A．所用时间为qE
B. 速度大小为3v0
D. 速度方向与竖直方向的夹角为30°
22mv20
C．与P点的距离为qE
【解析】选C。粒子在电场中做类平抛运动，水平方向x＝v0t，竖直方向y＝ 1Eq2y2mv0Eq t，由tan45°＝ ，可得t＝ ，故A错误；由于v＝y2mxEqm t＝2v0，故粒
2子速度大小为v＝v2 ＋v0y ＝5 v0，故B错误；由几何关系可知，到P点的
22mv20
距离为L＝2 v0t＝Eq ，故C正确；设速度方向与竖直方向的夹角为α，
v01
则有tan α＝v ＝2 ，α不等于30°，故D错误。
y
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12．图示是竖直面内的平面直角坐标系。一个质量为m＝4.8×10－2 kg、电荷量为q＝1.6×10－5 C的小滑块从第二象限某点P由静止释放后，在光滑的水平绝缘轻轨道上做匀加速直线运动，并从y轴上的A点以水平速度v0(未知)抛出，一段时间后，小滑块恰好垂直于M板并从它的中心小孔B穿过。已知第二象限匀强电场E0＝1×103 V/m水平向右；金属板M、N互相平行、板长为L＝0.75 m，间距为d(未知)，与水平方向夹角θ＝37°，板间有E＝2.4×103 V/m 的匀强电场；若重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，运动过程中小滑块所带电量不变，所受空气阻力大体忽略不计，并且可以视为质点处理。试求： (1)v0的大小； (2)释放P点坐标；
(3)为使小滑块不打到N板，M、N间的距离d至少为多大。(可保留根号)
【解析】(1)设小滑块从A点抛出后经过时间t到达B点做平抛运动，在第一象限有v0＝gt1·tan θ 1
2 L cos θ＝v0t1 解得v0＝1.5 m/s t1＝0.2 s
112
(2)设P点的纵坐标为y，也为A点的纵坐标，则有y－2 L sin θ＝2 gt1 解得y＝0.425 m
而小滑块在第二象限内做匀加速直线运动，设小滑块运动了s距离后到达A点，由牛顿第二定律得qE0＝ma
2
由速度位移的关系式得v0 ＝2as
联立解得s＝3.375 m
即P点的横坐标为－3.375，因此释放点P的坐标为(－3.375，0.425)
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(3)进入MN极板电场时垂直于极板方向有mg cos θ＝0.8mg＝qE
v方向合力为0，平行于极板方向的力为mg sin θ，故进入电场后做类平抛运动，设刚好从N点离开极板，设在板间的加速度为a，由牛顿第二定律得 a′＝g sin θ
11
沿极板方向有2 L＝2 a′t22 垂直极板方向有d＝vt2
v0
而v＝sin θ
52
联立解得d＝8 m
52
答案：(1)1.5 m/s (2)(－3.375，0.425) (3)8 m
13.在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O为圆心，半径为R的圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率v0穿出电场，AC与AB的夹角θ＝60°，运动中粒子仅受电场力作用。
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？ 【解析】(1)粒子初速度为零，由C点射出电场，故电场方向与AC平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知AC＝R① F＝qE②
12由动能定理有F·AC＝2 mv0 ③
mv20
联立式①②③得E＝2qR ④
(2)如图，由几何关系知AC⊥BC，故电场中的等势线与BC平行。作与BC平行的直线与圆相切于D点，与AC的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的
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粒子的动能增量最大。由几何关系知∠PAD＝30°，AP＝2 R，DP＝2 R⑤
设粒子以速度v1进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为t1。粒子在AC方向做加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于AP；在垂直于AC的方向上做匀速运动，运动的距离等于DP。由牛顿第二定律和运动学公式有 F＝ma⑥
12
AP＝2 at1 ⑦ DP＝v1t1⑧
2
联立②④⑤⑥⑦⑧式得v1＝4 v0⑨
mv220
答案：(1)2qR (2)4 v0
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