第1章 飞行器振动概述(16页)

飞行器振动分析基础4

第1章 机械振动概述

§1.1 振动的分类

振动(vibration)是物体围绕其平衡位置进行的一种往复运动形式，通常用其物理参量（如位移、速度、加速度等）随时间变化的函数来表征振动的时间历程。根据物体运动的不同规律，振动可以有不同的分类。

§1.1.1 根据产生振动的原因分类

根据其产生的原因，振动可以分为自由振动、强迫振动、自激振动和参数振动： （1）自由振动：系统受到初始干扰后，再没有其他外界激励作用时所产生的振动； （2）强迫振动：系统在外界持续激励作用下产生的振动；

（3）自激振动：系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有能源补充时产生的振动； （4）参数振动：通过周期或随机地改变系统的特性参数而实现的振动。

§1.1.2 根据描述系统的振动微分方程分类

根据描述系统振动所需的微分方程特性，振动可以分为线性振动和非线性振动： （1）线性振动：可用常系数线性微分方程式描述的系统振动就叫线性振动； （2）非线性振动：用非线性微分方程式描述的系统所产生的振动。

§1.1.3 根据系统的自由度分类

根据系统的自由度数目，振动系统可以分为单自由度系统的振动、多自由度系统的振动和无限自由度系统的振动：

（1）单自由度系统的振动：只需一个坐标就能确定任意时刻系统位置的振动； （2）多自由度系统的振动：需用多个坐标才能确定任意时刻系统位置的振动； （3）无限自由度系统的振动：要用无限多个坐标才能确定任意时刻系统位置的振动，这种振动又称为弹性体振动或连续体振动。

§1.1.4 根据系统输出的振动规律分类

根据系统输出的振动规律，机械振动可以分为周期振动、非周期振动和随机振动：

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（1）周期振动：振动量是时间的周期函数，x(t)x(tnT),n1,2,，如图1.1.1

所示。系统在相等的时间间隔内作往复运动，周期T就是往复一次所需要的时间间隔。周期振动中最简单、最重要的就是简谐振动。简谐振动的振动量是时间的正弦或余弦函数，如

x(t)Asint；

（2）非周期振动：振动量不是时间的周期函数，又可以分为稳态振动和瞬态振动。稳态振动是持续进行的非周期等幅振动；瞬态振动是在一定时间内振动并逐渐消失的非周期振动；

（3）随机振动：振动量不是时间的确定函数，只能通过概率统计方法来研究其特性，即振动量不能用函数x(t)来表示，只能通过与时间t的关系图形来表示，如图1.1.2所示，振动过程中振幅、相位、频率等都是随机变量。

图1.1.1 周期振动 图 1.1.2 随机振动

§1.1.5 根据振动的位移特征分类

根据振动系统所表现出的位移特征，系统的振动可以分为扭转振动、纵向振动及横向振动，如图1.1.3所示。

（1）扭转振动：振动体上的质点只作绕其某一轴线的振动； （2）纵向振动：振动体上的质点只作沿其轴线方向的振动；

（3）横向振动：振动体上的质点只作垂直其轴线方向的振动，这种振动也称为弯曲振动。

图1.1.3桥梁的横向振动特征

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§1.2 机械振动系统简化模型

§1.2.1 机械振动系统的三大要素及四大元件

系统之所以会产生振动，首先是因为系统受到了外界激励，从内因来看是由于系统具有质量和弹性。从其能量转化过程来看，外界对系统的激励就是对系统做功，其中一部分转化为质量块的动能，另一部分则转化为弹性体的变形势能。

持续振动过程就是激励功、动能和势能之间的不断转换过程。如果系统没有阻尼，只要给系统以初始激励，系统振动就会一直延续下去；若系统具有阻尼而又没有继续从外界获得能量，则振动系统在经历一段时间之后终将停止。由此可见，激励、质量、弹性和阻尼是振动系统的四大要素。

因此，从实际机械或结构系统简化出的理想力学模型，若要确切反映其物理过程，就要确定这四个要素。实际机器或结构元件的质量及弹性是分布式的，这种分布参数系统(或称为连续系统)往往不能按照解析法求解，所以，通常是将分布参数的系统简化成离散系统，也就是简化成具有若干个集中质量并由相应的弹簧和阻尼器联结在一起的模型系统。

1. 弹簧/刚度

弹簧是表示力与位移关系的元件，如图1.2.1(a)所示。在振动力学模型中，它一般被抽象为无质量而具有线弹性的元件。这就是说，若它的一端受到作用力Fs，则另一端将产生大小与Fs相等、方向相反的力，力的大小与弹簧两端点的相对位移成正比，即

Fsk(x2x1)

(1.2.1)

式中，k为弹簧刚度；x1,x2分别为弹簧左、右两端部的位移。

图1.2.1 振动系统元件

式(1.2.1)表示的是直线位移的弹簧。而在扭转振动系统中，质量作扭转运动，采用扭转弹簧刚度kt，扭转弹簧产生的广义力是扭矩，位移是角度。

弹性元件的刚度k（或kt）在振动问题分析中具有特定的含义。使系统某点沿着指定方向产生单位位移(线位移或角位移)时，在该点同一方向上所需施加的力(或力矩)，就称为系统在该点沿指定方向的刚度(Stiffness)。

设参考点施加广义力F时，产生位移x，则系统在该点指定方向的刚度可表示为

k7

F x(1.2.2)

2. 阻尼器

阻尼器是表示力与速度关系的元件，如图1.2.1(b)所示。在振动力学模型中，它被抽象为无质量且具有线性阻尼系数的元件。若它的一端受到力Fd的作用，则另一端将产生大小相等、方向相反的力，这个力称为阻尼力，其大小与阻尼器两端的相对速度成正比，即

Fdc(x2x1)

(1.2.3)

式中c为阻尼系数；x1,x2分别为阻尼器两端的速度。因为粘性阻尼（一般当x1,x22m/s时）具有这种关系，因此，系数c又称为粘性阻尼系数。

振动系统中的阻尼力有各种来源，如两个物体之间的干摩擦力，有润滑的两表面之间的摩擦力，空气和液体等介质的阻力，电磁阻力以及材料的内部阻力等，在振动系统中统称为阻尼（damping），一般情况下阻尼用来消耗振动能量使系统振动越来越小。

3. 质量/惯量

质量是表示力和加速度关系的元件，如图1.2.1(c)所示。在振动力学模型中，它被抽象为绝对不变形的刚体块。若对质量块施加一个作用力Fm，质量块就会产生一个与Fm方向相同的加速度x，对于直线的平移运动，力与加速度的关系为

Fmmx

(1.2.4)

式中，m为刚体块的质量。对于扭转振动系统，力为扭矩，加速度为角加速度，而质量为刚体绕旋转中心线的转动惯量。

要将实际振动系统简化成便于分析的振动力学模型，就是要确定力学模型中的四大要素，也就是确定系统的质量（惯量）、刚度、阻尼参数以及系统所受的激励。

4. 激励

振动系统会受到各种各样的外界激励(excitation)。当系统仅在开始时受到外界干扰(位移或速度)，系统靠本身固有特性进行的振动称为自由振动，也就是振动过程中系统所受的外界激励为零。若系统有阻尼，则振动将在一定时间内逐渐衰减，直至停止。

如果系统受到持续激励，系统就会不断地从外界获得能量来补充阻尼所消耗的能量，使系统保持等幅振动。这种由外界激励所引起的振动称为强迫振动(forced vibration)，所引起的系统的振动状态，称为系统对激励的响应（response）。对应不同的外界激励，系统就有不同的响应。

最简单最常见的外界激励就是简谐激振力，或由支座简谐运动引起的激励。以此为基础研究单自由度系统在一般周期激励下的强迫振动的响应，以及在其他非周期的任意激励下的强迫振动的响应。

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§1.2.2 机械振动系统的力学模型和基本参数

一个实际机械或工程结构，在研究其振动特性或振动状态时，总要把它做某种简化，抽象出其主要本质，形成一个理想化的力学模型。模型的特点又往往以若干重要参数来表达。

1. 单自由度系统

一个无质量的弹簧支持一个无弹性的质量，就形成了单自由度系统的力学模型，如图1.2.2所示。这一模型的参数便是质量m和刚度k。该系统受到外界的一个初始干扰之后，便产生振动。在一个相对较短的时间内研究它的振动状态时，可以认为它是一种无阻尼的自由振动。

km (1.2.5)

称为单自由度系统的无阻尼自由振动的固有频率。

图1.2.2 无阻尼单自由度系统振动

无阻尼系统一旦开始振动，就将永远振动下去。事实上，一切实际系统在开始作自由振动之后，由于摩擦等原因，振动幅度必将随着实际的增长而逐渐衰减。为了反映这种衰减特性，引进了阻尼系数。质量块振动随时间的变化如图1.2.3(c)所示。

图1.2.3 有阻尼单自由度系统衰减振动

2. 两自由度系统

两自由度系统的力学模型如图1.2.4(a)所示。先不考虑阻尼，则系统的自由振动微分方程为

m1x1(k1k2)x1k2x20

m2x2k2x1k2x209

(1.2.6)

图1.2.4 两自由度系统振动

对于两自由度系统，有两个固有频率，对应于每一个固有频率，有各自的振型。此处引入的振型概念，反映多自由度系统振动时，各点的运动量不仅是时间的函数，而且是空间的函数。

§1.3 简谐振动的表示方法

简谐振动(harmonic vibration)是指机械系统的某个物弹量(位移、速度或加速度)按时间的正弦(或余弦)函数规律变化的振动，它是最简单最重要的周期振动，也是研究其他形式振动的基础。一个简谐变量可以用函数表达式、矢量或复数等形式来表示，不同的表示方法适用于不同的场合，如频域分析时用复数表达法就很方便。

§1.3.1 简谐振动的函数表示法

简谐振动的位移是正弦(或余弦)的时间函数，如用正弦函数表示，其数学表达式为

2xAsintAsin2ftAsint

T(1.3.1)

式中，A为振幅；T为振动周期；f为振动频率，f1，单位为Hz；为圆频率，T2f，单位为rads；为初相角，表示质量块的初始位置，单位为rad。

对简谐振动的位移分别求一阶导数和二阶导数，可得到简谐振动的速度和加速度，即

vxAcostAsint

2axA2sintA2sint

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(1.3.2)

(1.3.3)

因此，简谐振动的速度、加速度依然是简谐函数，只是相位角不同，速度比位移相位超前了90°，而加速度比位移相位超前了180°，如图1.3.1和图1.3.2所示。

图1.3.1简谐函数曲线 图1.3.2 位移、速度和加速度曲线

由上述可知：在简谐振动中，加速度的大小和位移成正比，方向和位移方向相反，始终指向静平衡位置，这是简谐振动的一个重要特性。

§1.3.2 简谐振动的矢量表示法

简谐振动也可以用旋转矢量来表示，对于正弦函数振动，可以看成是一个作等速圆周运动的点在铅垂轴上的投影，如图1.3.3所示。

图1.3.3 旋转矢量与简谐函数 图1.3.4 位移、速度和加速度矢量关系

旋转矢量OP的模等于振幅A，逆时针旋转的等角速度就是圆频率，t为OP在t时间内的转角。显然，上述简谐振动是T2的周期运动。旋转矢量OP在铅垂轴上的投影为

xAsint

(1.3.4)

简谐振动的位移、速度和加速度间的关系也可以用矢量来表示，如图1.3.4所示。 两同频率的简谐振动，可合成为一个同频率的简谐振动，如图1.3.5所示。令x1acost，x2bsint，则

xx1x2acostbsintasin(t2)bsin(t0)

即

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xAsint

(1.3.5)

式中，A为合成振动的振幅，Aa2b2；为合成振动的相位角，arctan(ab)。

§1.3.3 简谐振动的复数表示法

简谐振动也可用复数表示，把坐标平面xOy视为复平面，x轴当成实轴，y轴当成虚轴，则在复平面上的复数为

zAcostiAsintAei(t)

(1.3.6)

复数z代表模为A、以等角速度逆时针旋转的复数旋转矢量，如图1.3.6所示。

图1.3.5 振动矢量的合成 图l.3.6复数旋转矢量

复数旋转矢量在任一轴上的投影都是简谐振动，即复数的实部与虚部也都表示简谐振动，一般都取虚部来表示简谐振动规律，即

xAsintIm[Aei(t)]Aeit

振动速度和加速度用复数指数形式可分别表示为

(1.3.7)

xxdAeitAieitAei(tdt2) (1.3.8)

dAieit2AeitA2ei(t) dt(1.3.9)

可知，简谐振动的位移、速度和加速度，都可以用复数指数形式来表达。

§1.4 周期振动的峰值、有效值和平均值

现代测量技术的发展，可以使我们不难测出振动量的变化过程或波形。但是，从工程使

用的观点来说，往往只要求对振动的大小作出衡量，这就产生了如何表示振动量大小的问题。

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通常有三种表示振动量大小的方法，即用峰值、有效值以及平均值来度量。

§1.4.1 峰值

峰值是指振动波形上与零线（平衡位置）的最大偏离值。可以用Xpeak或Xp来表示。对于简谐振动，XpXm，振动振幅Xm也就是它的峰值。在稳态周期振动中，峰值是反复周期出现的，并且是恒定的。图1.4.1为三种周期振动，并具有相同的峰值。由图可见，峰值相同的振动波，其波形却可能差别很大。

图1.4.1 三种周期振动的峰值

结构的强度性破坏便直接与振动峰值有关。但是，运用峰值来描述周期振动的缺点在于它仅考虑了一个周期中的最大瞬时值，而根本不考虑所测振动的时间历程。

§1.4.2 有效值

若有一周期振动，xx(t)x(tT)，则其有效值则为

式中，T为振动周期。

Xrms1TT0x2(t)dt

(1.4.1)

简谐振动，xXmsin(t)，它的有效值为

Xrms1TT02Xmsin2(t)dt2Xm 2(1.4.2)

用有效值来衡量振动量的大小是一种比较好的方法，它涉及了振动随时间变化的过程，不像峰值那样根本不涉及整个时间波形；更重要的是，有效值作为振动的一种度量，它直接与振动能量有关。例如，位移的有效值直接与位能有关，速度的有效值则与动能有关。

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§1.4.3 平均绝对值

对于周期函数，x(t)x(tT)，其平均绝对值为

Xav1Txdt 0T(1.4.3)

对于简谐振动，xXmsin(t)，它的平均绝对值为

1T2T2XavXmsin(t)dt2XmsintdtXm

T0T0(1.4.4)

为了称呼方便，工程应用上将平均绝对值简称为平均值。平均值显然也涉及了波形变

化的过程，但它的价值不如有效值。

§1.4.4 峰值、有效值和平均值之间的关系

对于简谐振动，已经导出了它们三者之间的关系，即

Xrms22Xav1Xp 2(1.4.5)

图1.4.2大致画出了正弦波的峰值、有效值和平均值之间的大小关系。

图1.4.2 正弦波的峰值、有效值和平均值

一般情况下，上述三值之间的关系表达为

XrmsFfXav1Xp Fc(1.4.6)

式中Ff和Fc分别称为波形系数和波峰系数。这两个系数在一定程度上反映了波的形状的差别。

正弦波：Ff1.11，Fc1.414 三角波：Ff1.156，Fc1.732

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矩形波：Ff1，Fc1

§1.5 周期振动的频谱表示法

在工程中所遇到的周期振动大多数都不是纯粹的简谐振动。运用上节所述方法确定其峰值、平均绝对值、均方值以及波形系数、波峰系数可以对有关的周期振动的情况有一初步了解，至少可以了解它与简谐振动的若干差别。但在实际应用中，仅有上述了解是不够的。例如，如果我们希望了解一周期振动的波形对结构的影响或这种振动的产生与结构以及振源的关系，就应对周期振动的描述提出更好的方法。

目前最为有成效的方法之一，就是所谓的频谱分析法。这一方法的数学基础是傅里叶(Fourier)奠定的，又称为傅里叶分析法。根据傅里叶理论，任何周期振动，即

x(t)x(tT)

(1.5.1)

如果这是实际上存在的，通常都属于有限振动，总可以将它分解成若干简谐分量，从而将这一周期振动表示为傅里叶级数的形式

a0nx(t)akcosk0tbksink0t,k1,2,3,2k1 (1.5.2)

式中

a02Tx(t)dt 0T2Takx(t)cos(k0t)dt

T0bk2Tx(t)sin(k0t)dt 0T2 T0式(1.5.2)也可以写成以下形式 式中

x(t)X0X1sin(0t1)Xksin(k0tk) (1.5.3)

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Xkak2bk2

bkkarctanakX0a02(1.5.4)

30，我们把0称为基频(fundamental frequency)，与之相应的振动分量称为基波，20，…

称之为基频的二倍频、三倍频，…，相应的振动分量称为二次谐波，三次谐波，… 根据上述简谐分析理论，我们将采用频谱法来描述周期振动。这一方法就是以频率为

横坐标，以幅值为纵坐标，画出各次谐波的幅度，称为幅频图；以频率为横坐标，以初相位为纵坐标，画出各次谐波的初相位值，称为相频图。上述两种图通称频谱图。

例 有一振动波形，经傅里叶分解后，其表达式为

axasin0tsin20t

42该波形只有两个简谐分量，它的频谱图见图1.5.1(b)和图1.5.1(c)。

图1.5.1 频谱图

我们在图1.5.1(a)中同时给出了该振动量随时间变化的曲线。图1.5.1(a)称为振动的时间

历程曲线，为时域曲线；图1.5.1(b)及图1.5.1(c)则为同一振动量的频域表达法。

§1.6 飞行器振动简化模型

当一个实际振动系统较复杂时，建立的模型越复杂，越接近实际情况，也越能进行逼真的模拟，但往往使分析困难；建立的模型越简单，分析越容易，但得到的结果可能不精确。因此，在建立振动系统力学模型时，总是在求得简化表达和逼真模拟二者之间的折中。但一个完整系统的力学模型不仅与实际机械的结构有关，还与所研究的内容有关。

例1 发动机隔振安装设计需要建立发动机+隔振器(vibration isolation)+飞机结构的力学模型，进行动力计算分析，完成隔振安装的布局设计。对于图1.6.1所示翼吊式布局发动

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机隔振安装的力学模型应是发动机与隔振器加飞机安装处的综合系统，一般情况下，发动机的结构刚度较隔振器刚度或飞机结构刚度大10倍以上，而隔振器的质量和各种工作状况下的惯量较发动机和飞机的相应量小得多，因此，力学模型设计可做如下简化：（1）发动机视为刚体；（2）隔振器的惯量忽略不计；（3）隔振器的尺寸远小于发动机安装节间跨度，可作为提供集中力的点支承。

图1.6.1 翼掉式发动机隔振安装 图1.6.2 发动机隔振安装的力学模型

基于上述简化建立的发动机隔振安装力学模型如图1.6.2所示。M0为发动机刚体质量，m、K、C为隔振器的质量、刚度和阻尼，M1、K1、C1为发动机安装节处机体的质量、刚度和阻尼，隔振器的数量根据结构布置和计算总刚度定，隔振器的质量、刚度和阻尼根据系统响应计算定。

例2 为了研究翼吊式发动机振动载荷经机翼向机身传递的主路径。建立机翼双梁动力学模型，在刚度计算时只计算主承力翼盒的刚度，略去前缘缝翼、后缘襟翼、副翼等次要部件的影响，并把蒙皮结构向机翼前后梁及翼肋简化，只建立机翼前、后梁及翼肋两种结构。 对于大细长比机身，可以认为肋或框在自身平面内是绝对刚硬的。从机身的总体受力来看，机身是支持在机翼上的一个管梁，其弯矩和扭矩的分布是决定机身结构型式的重要参数之一，因此，工程中常将其简化为弹性梁式结构系统。把机身结构的分布质量聚缩于每隔框刚心处，形成集中质点和集中转动惯量，其间用不计质量的梁元联接，梁元的刚度即机身的抗弯抗扭刚度。

图1.6.3 全机半模结构动力有限元模型

在实际结构中，翼与外翼前、后梁通过前、后三叉接头对接，对接结构的强度远高于其他结构。在结构动力学建模过程中，将1#翼肋及机翼前后梁用多点约束（MPC元）刚性连接在机身结构相应隔框上，并考虑了简化带来的飞机机翼刚心和机身结构弹性轴之间的偏移量。

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将发动机吊架结构简化为梁式框架结构。通过上连接点、中连接点、侧向连接点及下连接点模拟销接于机翼第8#翼肋位置。将发动机、起落架、平尾和垂尾等部件视为刚体，其质量用集中质量卡（CONM2）作用于其质心处，并用MPC元连接至相应结构上，结果如图1.6.3所示。

飞机作为一个完美的对称结构，当进行全机的动力特性计算时，飞机原始的左右对称结构总会具有一组频率很接近(称为近频对)的振动振型，既对称振型与反对称振型，在建立的全机半模结构动力有限元模型上施加相应的对称及反对称约束，便可得到相应的全机对称及反对称模态，其各阶模态及振型见表1.6.1和图1.6.4。

表1.6.1 全机动力模型的模态特征和频率

对称模态 模态名称 机翼对称一弯 机翼对称水平一弯 机翼对称二弯 机翼对称三弯 机翼对称一扭 机翼对称水平二弯 机身垂直一弯 机身垂直二弯 吊架对称垂直一弯 吊架对称水平一弯 频率 2.9275 8.9010 9.5448 18.261 20.838 23.44 2.9275 12.705 4.5065 6.9121 反对称模态 模态名称 机翼反对称一弯 机翼对称反水平一弯 机翼反对称二弯 机翼反对称三弯 机翼反对称一扭 机翼反对称水平二弯 机身水平一弯 机身水平二弯 吊架反对称垂直一弯 吊架反对称水平一弯 频率 3.215 8.9556 9.2923 17.602 21.263 22.665 7.5965 13.313 5.1528 7.5612

图1.6.4 全机半模结构动力模型的主要低阶振型

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尽管简化模型与实际情况有差别，但是由于实际问题非常复杂，难以进行分析研究，而通过简化模型为分析实际问题提供一种简便可行的方法，且简化模型的分析结果与实际情况相差不是很大，因此，简化振动模型对于分析解决实际问题还是很具有参考价值的。

习题

1-1已知矩形波如图所示，试作出谐波分析。

题1-1 图 题1-2 图

t1T0 t22tt1-2 图示的矩形脉冲在一个周期内可以表示为：x(t)x0 1t1，其中T

22t1T0 t22为周期，求x(t)的复数形式的傅里叶级数展开式，并画出t1T/3时的频谱图。 1-3 试将图示的方波展开为傅氏级数。

题1-3 图 题1-4图

1-4 试将图示三角形波展开为傅氏级数。 1-5 试将图示的周期函数展开为傅氏级数。

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题1-5图 题1-9图

1-6 一个物体放在水平台面上，当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不

跳离平台，对台面的振幅应有何？ 1-7 某仪器的振动规律为xasint3asin3t。此振动是否为简谐振动？试用xt坐标

画出运动图。 1-8

i(5t)i5t2，试求它们合成的复数表达已知以复数表示的两个简谐运动分别为3e和5e式，并写出其实部与虚部。

1-9 求图1-9所示的矩形脉冲的频谱函数并画频谱图形。

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