2022年四川省遂宁市中考数学试卷

2022年四川省遂宁市中考数学试卷（真题）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）﹣2的倒数是（ ） A．2

B．﹣2

C．

D．﹣

2．（4分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．科克曲线 C．阿基米德螺旋线

B．笛卡尔心形线 D．赵爽弦图

3．（4分）2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约198000公里．数据198000用科学记数法表示为（ ） A．198×103

B．1.98×104

C．1.98×105

D．1.98×106

4．（4分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．大

B．美

C．遂

D．宁

5．（4分）下列计算中正确的是（ ） A．a3•a3＝a9

C．a10÷（﹣a2）3＝a4 6．（4分）若关于x的方程＝A．0

B．4或6

B．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4 无解，则m的值为（ ）

C．6

D．0或4

7．（4分）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）

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A．

cm2 B．cm2 C．175πcm

2

D．350πcm

2

8．（4分）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）

A．6

B．8

C．10

D．12

9．（4分）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ） A．﹣2022

B．0

C．2022

D．4044

10．（4分）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ） ①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A．①③

B．①②③ C．②③ D．①②④

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）

11．（4分）遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位数是 ．

12．（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣＝ ．

13．（4分）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 ．

+

14．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方为

形

的

个

数．

15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．

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三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（7分）计算：tan30°+|1﹣17．（7分）先化简，再求值：（1﹣

|+（π﹣）÷

2

）0﹣（）﹣1+．

，其中a＝4．

18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：△AOE≌△DFE；

（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．

19．（9分）某中学为落实《教育部关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？

20．（9分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四

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个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 人； （2）补全条形统计图；

（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为

D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．

21．（9分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”． （1）求双曲线y＝

上的“黎点”；

（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．

22．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米． （参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.）

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23．（10分）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2． （1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；

（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围； （3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．

24．（10分）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△ABD∽△DCP；

（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣

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3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；

（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

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2022年四川省遂宁市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）﹣2的倒数是（ ） A．2

B．﹣2

）＝1，

C．

D．﹣

【解答】解：∵﹣2×（∴﹣2的倒数是﹣． 故选：D．

2．（4分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．科克曲线 C．阿基米德螺旋线

B．笛卡尔心形线 D．赵爽弦图

【解答】解：A．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

B．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A．

3．（4分）2022年4月16日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约198000公里．数据198000用科学记数法表示为（ ） A．198×103

B．1.98×104

C．1.98×105

D．1.98×106

【解答】解：198000＝1.98×105，

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故选：C．

4．（4分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．大

B．美

C．遂

D．宁

【解答】解：由图可知，

我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对， 故选：B．

5．（4分）下列计算中正确的是（ ） A．a3•a3＝a9

C．a10÷（﹣a2）3＝a4

B．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2+4

【解答】解：A，原式＝a6，故该选项不符合题意；

B，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；

C，原式＝a10÷（﹣a6）＝﹣a4，故该选项不符合题意； D，原式＝（﹣a）2﹣22＝a2﹣4，故该选项不符合题意； 故选：B．

6．（4分）若关于x的方程＝A．0

【解答】解：＝2（2x+1）＝mx， 4x+2＝mx， （4﹣m）x＝﹣2， ∵方程无解，

∴4﹣m＝0或x＝﹣＝﹣∴m＝4或m＝0， 故选：D．

第9页（共28页）

无解，则m的值为（ ）

C．6

D．0或4

B．4或6

，

，

7．（4分）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）

A．

cm2 B．cm2 C．175πcm2

＝25（cm），

D．350πcm2

【解答】解：在Rt△AOC中，AC＝

所以圆锥的侧面展开图的面积＝×2π×7×25＝175π（cm2）． 故选：C．

8．（4分）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（ ）

A．6

B．8

C．10

D．12

【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE， 设AN＝a， ∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴

＝

，

第10页（共28页）

∴＝，

∴DE＝a，

∴△DEF面积S＝×DE×MN ＝×a•（6﹣a） ＝﹣a2+4a

＝﹣（a﹣3）2+6，

∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6． 故选：A．

9．（4分）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ） A．﹣2022

B．0

C．2022

D．4044

【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根， ∴m2+3m﹣2022＝0， ∴m2+3m＝2022，

∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022 ＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022 ＝2022m﹣2022﹣2022m+2022 ＝0． 故选：B．

10．（4分）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ） ①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

第11页（共28页）

A．①③

B．①②③

C．②③

【解答】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE， ∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC， ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴∠BAG＝∠BCE， ∵∠BAG+∠APB＝90°， ∴∠BCE+∠APB＝90°， ∴∠BCE+∠OPC＝90°， ∴∠POC＝90°， ∴EC⊥AG，故①正确； 取AC的中点K，如图：

在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点， ∴AK＝CK＝OK，

在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点， ∴AK＝CK＝BK， ∴AK＝CK＝OK＝BK， ∴A、B、O、C四点共圆， ∴∠BOA＝∠BCA，

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D．①②④

∵∠BPO＝∠CPA，

∴△OBP∽△CAP，故②正确， ∵∠AOC＝∠ADC＝90°， ∴∠AOC+∠ADC＝180°， ∴A、O、C、D四点共圆， ∵AD＝CD，

∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确， 由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误， 故正确的有：①②④， 故选：D．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）

11．（4分）遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位数是 23 ．

【解答】解：将22，24，20，23，25按照从小到大排列是：20，22，23，24，25，

∴这五个数的中位数是23， 故答案为：23．

12．（4分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣＝ 2 ．

【解答】解：由数轴可得， ﹣1＜a＜0，1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0， ∴|a+1|﹣

+

+

＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a） ＝a+1﹣b+1+b﹣a ＝2， 故答案为：2．

第13页（共28页）

13．（4分）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4 ．

【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF＝120°， 上衣∠HAF＝60°， ∴∠AHF＝90°， ∴∠AFH＝30°， ∴AF＝2AH， ∴x＝2（6﹣x）， 解得x＝4， ∴AB＝4，

即正六边形ABCDEF的边长为4， 故答案为：4．

14．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方127

形

的

个

数

为 ．

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【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个）， 第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个）， 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个）， .....．

∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个）， 故答案为：127．

15．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．

【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0，

∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴﹣

＜0，

∴b＞0，

∵抛物线经过（0，﹣2），

第15页（共28页）

∴c＝﹣2，

∵抛物线经过（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∴a+b＝2，b＝2﹣a， ∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，

当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4， ∵b＝2﹣a＞0， ∴0＜a＜2， ∴﹣4＜2a﹣4＜0， 故答案为：﹣4＜m＜0．

三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（7分）计算：tan30°+|1﹣【解答】解：tan30°+|1﹣＝

+1﹣

+1﹣3+4

|+（π﹣|+（π﹣

）0﹣（）﹣1+）0﹣（）﹣1+

．

＝3．

17．（7分）先化简，再求值：（1﹣【解答】解：原式＝＝＝

．

）2÷

，其中a＝4．

当a＝4时， 原式＝

．

18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：△AOE≌△DFE；

（2）判定四边形AODF的形状并说明理由．

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【解答】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD＝∠ADF， ∵∠AEO＝∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）． （2）解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO＝DF， ∵DF∥AC，

∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD＝90°，

∴平行四边形AODF为矩形．

19．（9分）某中学为落实《教育部关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．

（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；

（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？

【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，

第17页（共28页）

由题意可得：解得

，

，

答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元， ∴

解得30≤x≤33， ∵x为整数，

∴x的值可为30，31，32，33， ∴共有四种购买方案，

方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； 方案四：采购篮球33个，采购足球17个．

20．（9分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如图统计图（部分信息未给出）．

，

请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 800 人； （2）补全条形统计图；

（3）把短道速滑记为A、花样滑冰记为B、自由式滑雪记为C、单板滑雪记为

第18页（共28页）

D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率．

【解答】解：（1）∵调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有40人，占调查人数的40%，

∴一共调查了40÷40%＝100（人），

若该校共有2000名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有2000×40%＝800（人），

故答案为：100，800；

（2）∵一共调查了100名学生，爱好单板滑雪的占10%， ∴爱好单板滑雪的学生数为100×10%＝10（人），

∴爱好自由式滑雪的学生数为100﹣40﹣20﹣10＝30（人）， 补全条形统计图如下：

（3）

从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有12种， 抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记C的结果有：（A，C），（B，C），（D，

第19页（共28页）

C）（C，A），（C，B），（C，D），一共6种等可能的结果， ∴P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C）＝

＝．

答：抽到项目中恰有一项为自由式滑雪C的概率是．

21．（9分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”． （1）求双曲线y＝

上的“黎点”；

（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围． 【解答】解：（1）设双曲线y＝则有﹣m＝∴m＝±3， ∴双曲线y＝

（2）∵抛物线y＝ax﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”， ∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解， 即ax2﹣6x+c＝0，Δ＝36﹣4ac＝0， ∴ac9， ∴a＝， ∵a＞1， ∴0＜c＜9．

22．（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米． （参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.）

2

上的“黎点”为（m，﹣m），

，

上的“黎点”为（3，﹣3）或（﹣3，3）；

第20页（共28页）

【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，

∴FB＝PH，FH＝PB，

由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x， ∵PB2+PA2＝AB2，

∴（5x）2+（12x）2＝26， ∴x＝2或﹣2（舍去）， ∴PB＝FH＝10，AP＝24， 设EF＝a，BF＝b， ∵tan∠EBF＝∴＝2， ∴a＝2b①， ∵tan∠EAH＝∴

＝

＝

，

，

＝1.2②，

由①②得a＝47，b＝23.5，

答：塔顶到地面的高度EF约为47米．

23．（10分）已知一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2．

第21页（共28页）

（1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；

（2）求出点C的坐标，并根据图象写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围； （3）若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．

【解答】解：（1）∵B点的横坐标为﹣2且在反比例函数y2＝的图象上， ∴y2＝

＝﹣3，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣3），

∵点B（﹣2，﹣3）在一次函数y1＝ax﹣1的图象上， ∴﹣3＝a×（﹣2）﹣1， 解得a＝1，

∴一次函数的解析式为y＝x﹣1， ∵y＝x﹣1，

∴x＝0时，y＝﹣1；x＝1时，y＝0； ∴图象过点（0，﹣1），（1，0）， 函数图象如右图所示； （2）解得

或，

，

∵一次函数y1＝ax﹣1（a为常数）与反比例函数y2＝交于B、C两点，B点的横坐标为﹣2， ∴点C的坐标为（3，2），

第22页（共28页）

由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3； （3）∵点B（﹣2，﹣3）与点D关于原点成中心对称， ∴点D（2，3）， 作DE⊥x轴交AC于点E， 将x＝2代入y＝x﹣1，得y＝1， ∴S△ACD＝S△ADE+S△DEC＝即△ACD的面积是2．

＝2，

24．（10分）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△ABD∽△DCP；

（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD．

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∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴

＝

，

∴∠BOD＝∠COD＝90°， ∵BC∥PD，

∴∠ODP＝∠BOD＝90°， ∴OD⊥PD， ∵OD是半径， ∴PD是⊙O的切线． （2）证明：∵BC∥PD， ∴∠PDC＝∠BCD． ∵∠BCD＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠PDC，

∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°， ∴∠ABD＝∠PCD， ∴△ABD∽△DCP；

（3）解：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD， ∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°， ∵AB＝6，AC＝8，

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∴BC＝∵BD＝CD， ∴BD＝CD＝5

＝10，

，

由（2）知：△ABD∽△DCP， ∴

＝

，即，

＝

， ＝

，

∴CP＝

∴AP＝AC+CP＝8+

∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP， ∴△BAD∽△DAP， ∴

＝

，即

＝

，

∴AD2＝6×∴AD＝7

＝98， ，

∵OE⊥AD， ∴DE＝AD＝∴OE＝

， ＝

．

＝

，

即点O到AD的距离是

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；

（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．

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【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）． ∴∴

， ，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．

由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F， ∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3，

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∴B（3，0）， ∴OB＝OC＝3，

∴△BOC是等腰直角三角形， ∵BC垂直平分DD2，且D（﹣2，0）， ∴D2（1，﹣3）， ∵D，D1关于x轴的长， ∴D1（0，2）， ∴D1D2＝

＝

＝．

，

∴△DEF的周长的最小值为

（3）∵M到x轴距离为d，AB＝4，连接BM． ∴S△ABM＝2d， 又∵S△AMN＝2d， ∴S△ABM＝S△AMN，

∴B，N到AM的距离相等， ∵B，N在AM的同侧， ∴AM∥BN，

设直线BN的解析式为y＝kx+m， 则有∴

，

，

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴设直线AM的解析式为y＝x+n， ∵A（﹣1，0），

∴直线AM的解析式为y＝x+1， 由

∴M（4，5）， ∵点N在射线BC上，

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，解得或，

∴设N（t，t﹣3），

过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．

∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3）， ∴AM＝5

，AN＝

，MN＝

，

∵△AMN是等腰三角形， 当AM＝AN时，5解得t＝1±当AM＝MN时，5解得t＝6±当AN＝MN时，解得t＝， ∵N在第一象限， ∴t＞3， ∴t的值为，1+

，6+

，

，﹣2+

）或（6+

，3+

）．

＝， ＝，

＝

，

， ，

∴点N的坐标为（，）或（1+

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