知识点一 反函数的概念
1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( ) A．y＝2ln x(x>0) 1
C．y＝ln x(x>0)
2
B．y＝ln (2x)(x>0) 1
D．y＝ln (2x)(x>0)
2
2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) C．y＝3＋3x(x≥0)
B．y＝3＋3x(x≤1) D．y＝3－3x(x≤1)
1
3．函数f(x)＝x2＋1(x>2)的反函数是( )
2A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)
2
4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，则( )
31
A．a＝－6，b＝
31
C．a＝6，b＝－
3
2
1
B．a＝1，b＝ 321D．a＝，b＝－ 33
5．已知函数f(x)＝x，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．
6．若函数f(x)＝
2x＋1
的反函数是其本身，则实数a＝________. x＋a7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg (x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．
1
(1)当a＝－时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；
2
(2)当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f－1(x)． 知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y＝log2
1
的反函数的定义域为( ) 2x－1
B．(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
A．(－∞，＋∞) C．(－∞，0)
10．已知x>0，f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，则它的反函数f－1(x)的值域是( )
A．[－1,1] B．(0，＋∞)
11
－3，－，3∪ C.
331
D.，3 3
11．如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是( )
12．已知函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x)，则函数y＝f(－x)与y＝－f－1(x)的图像( )
A．关于y轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线x＋y＝0对称 D．关于直线x－y＝0对称
13．给出下列命题：
(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；
(2)函数f(x)在区间[a，b]上存在反函数的充要条件是f(x)在区间[a，b]上是单调函数；
(3)函数f(x)在定义域D上的反函数为f－1(x)，则对于任意的x0∈D都有f(f－1
(x0))＝f－1(f(x0))＝x0成立． 其中正确的命题为( ) A．(1) C．(1)(3)
B．(1)(2) D．(1)(2)(3)
14．已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋ax的图像上，则f(x)的反函数f－1(x)＝________.
15．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________.
16．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点________．
17．已知f(x)＝x－1，其反函数为f－1(x)，若f－1(x)－a＝f(x＋a)有实数根，则a的取值范围为________．
知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a，b，c均为正数，且2＝A．a b＝，2B．c c＝log2c，，则( ) 2 19．(多选)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)，则下列说法正确的是( ) A．函数f(x)的图像在y轴的一侧 B．函数f(x)为奇函数 C．函数f(x)为定义域上的增函数 D．函数f(x)在定义域内有最大值 20．已知函数f(x)＝log2(1－2x)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称． 易错点一 对反函数的定义理解不清而致误 已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________． 易错点二 不能将问题合理转化致误 设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2＋x－4＝0的根，则α＋β＝________. 一、单项选择题 1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( ) A．y＝1＋log2x(x>0) B．y＝log2(x－1)(x>1) C．y＝－1＋log2x(x>0) D．y＝log2(x＋1)(x>－1) 2．把函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( ) A．y＝－ax C．y＝loga(－x) B．y＝a－x D．y＝－logax x3．已知f(x)＝－4－x2的反函数为f－1(x)＝4－x2，则f(x)的定义域为( ) A．(－2,0) C．[－2,0] B．[－2,2] D．[0,2] 4．当0 C．可能有3个 D．一定有3个 5．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(a，a)，则a的值为( ) A．2 1 C．2或 26．函数y＝ 1－x1B． 2D．3 (x≠0)的反函数的图像大致是( ) x 7．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1 1 (x)≤的解集是( ) 2 1 A.－1， 21 B.－2， 2 1 C．[－2,0)∪，1 2 1 D．[－1,0]∪，1 2 8．已知函数f(x)＝3x，函数g(x)是f(x)的反函数，若正数x1，x2，…，x2020 22 满足x1x2…x2020＝81，则g(x21)＋g(x2)＋…＋g(x2020)的值等于( ) A．4 C．16 二、多项选择题 9．下列说法中正确的是( ) B．8 D． A．一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定存在反函数 B．若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数 C．若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于第一、四象限 D．若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1(x)与f(x)图像的公共点必在直线 y＝x上 10.在同一直角坐标系下，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的大致图像如图所示，则实数a的可能值为( ) 3 A. 27C. 5 4B． 3D．10 7 11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( ) A．(1,2) C．(2,2) 12．下列说法正确的是( ) 1 A．函数y＝ax与y＝x图像关于y轴对称 a B．(2,1) D．(2,0.5) B．函数y＝logax与y＝图像关于x轴对称 C．函数y＝ax与y＝logax图像关于直线y＝x对称 D．函数y＝ax与y＝logax图像关于y轴对称 三、填空题 13．函数f(x)＝－x2(x∈(－∞，－2])的反函数f－1(x)＝________. 14．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________． 15．已知函数f(x)与函数g(x)＝ 的图像关于直线y＝x对称，则函数 f(x2＋2x)的单调增区间是________． x－b16．已知函数f(x)＝loga(a>0，b≠0)，则f(x)的值域为____________， x＋bf(x)的反函数f－1(x)的解析式为________________． 四、解答题 1 17．若不等式4x－logax＜0，当x∈0，时恒成立，求实数a的取值范围． 241－3x－1的值． 18．已知f(x)＝，求f1＋3x5 19．已知y＝f(x)是R上的增函数，点A(－1,1)，B(1,3)在它的图像上，y＝f－1(x)是它的反函数，解不等式|f－1(log2x)|<1. 20．已知f(x)＝ a·2x－12x＋1 (a∈R)，f(0)＝0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的反函数； (3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2 1＋xk. 4.3 指数函数与对数函数的关系 知识点一 反函数的概念 1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( ) A．y＝2ln x(x>0) 1 C．y＝ln x(x>0) 2答案 C 112x解析 y＝e>0,2x＝ln y，x＝ln y，∴y＝e的反函数为y＝ln x，x>0. 22 2xB．y＝ln (2x)(x>0) 1 D．y＝ln (2x)(x>0) 2 2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) C．y＝3＋3x(x≥0) 答案 D 解析 ∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y. ∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1. 1 3．函数f(x)＝x2＋1(x>2)的反函数是( ) 2A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3) 答案 B 121212 解析 令y＝x＋1.∵x>2，∴y＝x＋1>3.对调函数中的x和y得x＝y222＋1，解得y＝2x－2.∴所求反函数为y＝2x－2(x>3)． 2 4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，则( ) 31 A．a＝－6，b＝ 31 C．a＝6，b＝－ 3答案 B 解析 ∵函数y＝3x－2a，∴x＝ 1 B．a＝1，b＝ 321D．a＝，b＝－ 33B．y＝3＋3x(x≤1) D．y＝3－3x(x≤1) y＋2a3 ，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反 122 函数是y＝x＋a，x∈R.∵函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋，∴ 3331 b＝，32a23＝3， 1 解得a＝1，b＝.故选B. 3 5．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个． 答案 8 解析 当x2＝1时，x＝±1；当x2＝4时，x＝±2；当x2＝9时，x＝±3.若函数f(x)存在反函数，则一个y只能对应一个x，列举如下： x＝3，y＝9，x＝2，y＝4， x＝－3，y＝9， x＝1，y＝1，x＝3，y＝9，x＝－2，y＝4，x＝－3，y＝9， x＝3，y＝9， x＝2，y＝4，x＝－3，y＝9， x＝－1，y＝1，x＝3，y＝9， x＝－2，y＝4，x＝－3，y＝9. 故这样的f(x)共有8个． 6．若函数f(x)＝答案 －2 解析 函数y＝f(x)＝ 2x＋12y＋11－ax的反函数为x＝，即y＝，因为函数x＋ay＋ax－22x＋1 的反函数是其本身，则实数a＝________. x＋a f(x)＝ 2x＋12x＋11－ax的反函数是其本身，所以＝，所以a＝－2. x＋ax＋ax－2 7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg (x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________． 答案 g－1(x)＝3－10x(0≤x≤lg 2) 解析 当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，∴f(x)＝f(－x)＝lg (－x＋1)；当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，∴f(x)＝f(x－2)＝lg [－(x－2)＋1]＝lg (－x＋3)．∴g(x)＝lg (－x＋3)(1≤x≤2)，∴－x＋3＝10g(x)，∴x＝3－10g(x)．故反函数为g－1(x)＝3－10x(0≤x≤lg 2)． 8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]． 1 (1)当a＝－时，判定此函数有没有反函数，并说明理由； 2 (2)当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f－1(x)． 12712 解 (1)当a＝－时，f(x)＝x＋x＋2＝x＋＋，x∈[－1，1]，显然函 242数不单调，所以此时没有反函数． (2)函数存在反函数时必须在[－1,1]上单调，而f(x)＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]，对称轴x＝a，所以a≥1或a≤－1.当a≥1时，f－1(x)＝a－x＋a2－2， x∈[3－2a,3＋2a]；当a≤－1时，f－1(x)＝a＋x＋a2－2，x∈[3＋2a,3－2a]． 知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y＝log2 1 的反函数的定义域为( ) 2x－1 B．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) A．(－∞，＋∞) C．(－∞，0) 答案 A 解析 反函数的定义域即为原函数的值域．由 11>0可得log2∈R，2x－12x－1 所以原函数的值域为R，故它的反函数的定义域为R.故选A. 10．已知x>0，f(x)＝log3x2的值域是[－1,1]，则它的反函数f－1(x)的值域是( ) A．[－1,1] B．(0，＋∞) 11 C.－3，－∪，3 33 1 ，3 D.3答案 D 1 解析 ∵f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，∴－1≤log3x≤1，即≤x2≤3，而 3 2 2 1 x>0，∴x∈，3.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f－1(x)的值 31，3. 域是3 11．如图，已知函数f(x)＝3 x－1 ，则它的反函数y＝f(x)的大致图像是( ) －1 答案 C 解析 由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C. 12．已知函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x)，则函数y＝f(－x)与y＝－f－1(x)的图像( ) A．关于y轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线x＋y＝0对称 D．关于直线x－y＝0对称 答案 D 解析 函数y＝f(－x)与y＝－f－1(x)互为反函数，图像关于直线x－y＝0对称．故选D. 13．给出下列命题： (1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数； (2)函数f(x)在区间[a，b]上存在反函数的充要条件是f(x)在区间[a，b]上是单调函数； (3)函数f(x)在定义域D上的反函数为f－1(x)，则对于任意的x0∈D都有f(f－1 (x0))＝f－1(f(x0))＝x0成立． 其中正确的命题为( ) A．(1) C．(1)(3) 答案 A 解析 (1)设奇函数f(x)的反函数为f－1(x)，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的值 B．(1)(2) D．(1)(2)(3) 域关于原点对称，即f－1(x)的定义域关于原点对称．假设f(x)＝y，则f(－x)＝－y.∴f－1(y)＝x，f－1(－y)＝－x.∴f－1(－y)＝－f－1(y)，即f－1(－x)＝－f－ 1 (x)．∴f－1(x)是奇函数．故(1)正确； (2)函数f(x)在区间[a，b]上存在反函数，不一定f(x)在区间[a，b]上是单 调函数， 1－x，x≤1，比如f(x)＝ x，x>1正确； (3)x0不一定属于f(x)的值域，即f－1(x0)不一定存在，故(3)不正确．故选A. 14．已知点(3,9)在函数f(x)＝1＋ax的图像上，则f(x)的反函数f－1(x)＝________. 答案 log2(x－1)(x>1) 解析 ∵(3,9)在函数f(x)上，∴1＋a3＝9，解得a＝2，∴f(x)＝1＋2x，又 存在反函数，但f(x)在R上不单调，故(2)不 f(x)>1，∴f－1(x)＝log2(x－1)(x>1)． 15．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________. 答案 2 解析 由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1，得g(1)＝4，所以a2 ＝4，a＝2. 16．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点________． 答案 (1,4) 解析 ∵y＝f(x)的图像过点(0,1)，∴f(4－x)的图像过点(4,1)，∴g(x)＝ f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)． 17．已知f(x)＝x－1，其反函数为f－1(x)，若f－1(x)－a＝f(x＋a)有实数根，则a的取值范围为________． 3 答案 ，＋∞ 4 解析 因为y＝f－1(x)－a与y＝f(x＋a)互为反函数，所以二者关于y＝x对称．若y＝f－1(x)－a与y＝f(x＋a)有实数根，则y＝f(x＋a)与y＝x有交点，所133 以x＋a－1＝x，即a＝x2－x＋1＝x－2＋≥. 244 知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a，b，c均为正数，且2＝A．a x解析 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2，y＝2，y＝log2x，y＝ xa1 b＝，2B．c c＝log2c，，则( ) 2 的图像，如图所示，则a，b，c分别为两个图像交点的横坐标，根据图像可知a A．函数f(x)的图像在y轴的一侧 B．函数f(x)为奇函数 C．函数f(x)为定义域上的增函数 D．函数f(x)在定义域内有最大值 答案 AC 解析 ∵函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)，当a>1时，由ax－1>0，可得 x>0，此时，函数的图像仅在y轴的右侧；当0 logax－1≠－f(x)，故函数不是奇函数，故B不正确．由于函数y＝logat和函 a数t＝ax的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得f(x)＝loga(ax－1)在它的定义域内一定是增函数，故C正确．由于t＝ax－1无最值，故y＝logat无最值，故D不正确．故选AC. 20．已知函数f(x)＝log2(1－2x)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称． 解 (1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义， 则1－2>0，即2<1. 故x<0，此时0<1－2x<1， ∴f(x)＝log2(1－2x)<0， 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． (2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为f－1(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称． 易错点一 对反函数的定义理解不清而致误 已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________． 易错分析 本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数． xx答案 (0,2021) 正解 ∵g(x)的图像过定点(1,2020)， ∴f(x＋1)的图像过定点(2020,1)． 又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴ f(x)过定点(2021,1)． 又f(x)与f－1(x)互为反函数， ∴f－1(x)的图像过定点(1,2021)． 再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知， f－1(x＋1)的图像过定点(0,2021)． 易错点二 不能将问题合理转化致误 设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________. 易错分析 本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y＝log2x，y＝2x， y＝4－x三个图像之间的关系进行求解． 答案 4 正解 如图，分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x的图像，相交于点P， Q.∵log2α＝4－α，2β＝4－β.而y＝log2x(x>0)与y＝2x互为反函数，直线y＝4－x与直线y＝x互相垂直，∴点P与Q关于直线y＝x对称． ∴α＝2β＝4－β.∴α＋β＝4. 一、单项选择题 1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( ) A．y＝1＋log2x(x>0) B．y＝log2(x－1)(x>1) C．y＝－1＋log2x(x>0) D．y＝log2(x＋1)(x>－1) 答案 C 解析 由y＝2x＋1⇒x＋1＝log2y⇒x＝－1＋log2y，又因原函数的值域{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)． 2．把函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( ) A．y＝－ax C．y＝loga(－x) 答案 B 解析 函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图像关于y轴对称．函数y＝logax(a>0且a≠1)的反函数为y＝ax，其关于 B．y＝a－x D．y＝－logax y轴对称的函数解析式为y＝a－x.故选B. 3．已知f(x)＝－4－x2的反函数为f－1(x)＝4－x2，则f(x)的定义域为( ) A．(－2,0) C．[－2,0] 答案 D 解析 ∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定 2 4－x≥0， 义域．∴－1 x≥0，fB．[－2,2] D．[0,2] －2≤x≤2， 解得 x≥0， 即0≤x≤2.故f(x)的定义域为 [0,2]．故选D. 4．当0 B．可能无解 D．一定有3个 y＝ 1x11和y＝的图像除了在直线y＝x上存在一个公共点外，还存在， 1624 11 和，两个公共点．故选C. 42 5．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(a，a)，则a的值为( ) A．2 1 C．2或 2答案 B 解析 解法一：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数即y＝logax，故y＝logax1 的图像过点(a，a)，则a＝logaa＝. 2 解法二：由题意得，函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(a，a)，则函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像过点(a，a)，即aa＝a＝ 6．函数y＝ 1－x(x≠0)的反函数的图像大致是( ) 1 ，故a＝. 2 1B． 2D．3 x 答案 B 解析 y＝ 1－xx(x≠0)的反函数为y＝ 11(x≠－1)，其图像为y＝的图像向1＋xx左平移1个单位长度． 7．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1 1 (x)≤的解集是( ) 2 1 A.－1， 21 B.－2， 2 1 C．[－2,0)∪，1 21 D．[－1,0]∪，1 2答案 C 11 解析 由题意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即为f(x)在－1，上的值域．当 221 －1≤x＜0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈ 2111 ，1.故不等式－1≤f－1(x)≤的解集为[－2,0)∪，1. 222 8．已知函数f(x)＝3x，函数g(x)是f(x)的反函数，若正数x1，x2，…，x2020 22 满足x1x2…x2020＝81，则g(x21)＋g(x2)＋…＋g(x2020)的值等于( ) A．4 C．16 答案 B B．8 D． 解析 由函数f(x)＝3x，函数g(x)是f(x)的反函数，则g(x)＝log3x，所以 222g(x21)＋g(x2)＋…＋g(x2020)＝log3(x1x2…x2020)＝2log3(x1x2…x2020)＝2log381＝8.故 选B. 二、多项选择题 9．下列说法中正确的是( ) A．一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定存在反函数 B．若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数 C．若函数y＝f(x)的图像位于第一、二象限，则它的反函数y＝f－1(x)的图像位于第一、四象限 D．若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1(x)与f(x)图像的公共点必在直线 y＝x上 答案 AC 解析 对于A，一次函数y＝kx＋b(k≠0)为单调函数，一定存在反函数，故正确；对于B，因为函数f(x)＝在定义域上不单调，但函数f(x)存在反函数， 1 x故错误；对于C，因为原函数与它的反函数的图像关于y＝x对称，所以将y＝f(x)的图像沿y＝x翻折后，会落在第一、四象限，故正确；对于D，比如函数y＝－x＋1与其反函数y＝x2－1(x≤0)的交点坐标有(－1,0)，(0，－1)，显然交点不在直线 y＝x上，故错误．故选AC. 10.在同一直角坐标系下，函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的大致图像如图所示，则实数a的可能值为( ) 3 A. 27C. 5答案 BC 392 解析 由图像可知a>1且a 2 4 B． 3D．10 7 94>4925< 42 2，故A错误；310 2 2，故C正确；7 16 ＝9<2＝100＝49>2＝ 169<10049> 7492 2，故B正确；5＝25<2＝2，故D错误．综上，选BC. 11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那 么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( ) A．(1,2) C．(2,2) 答案 CD 解析 当x＝1时，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)恒过(1,0)点，故(1,2)一定不是好点；当y＝1时，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)恒过(0,1)点，故(2,1)也一定不是好点；而(2,2)是函数y＝(2)x与 1x2与y＝log4x的交点；故选CD. 12．下列说法正确的是( ) 1 A．函数y＝ax与y＝x图像关于y轴对称 aB．函数y＝logax与y＝ 图像关于x轴对称 的交点；(2,0.5)是函数y＝ B．(2,1) D．(2,0.5) C．函数y＝ax与y＝logax图像关于直线y＝x对称 D．函数y＝ax与y＝logax图像关于y轴对称 答案 ABC 解析 令a＝2，分别作出对应的图像，由图像可知，对于A，∵函数y＝ax1x与y＝故A正确；对于B，∵函数y＝logax与y＝a图像关于y轴对称， 图 像关于x轴对称，故B正确；对于C，D，∵函数y＝ax与y＝logax图像关于直线 y＝x对称，故C正确，D不正确．故选ABC. 三、填空题 13．函数f(x)＝－x2(x∈(－∞，－2])的反函数f－1(x)＝________. 答案 －－x，x∈(－∞，－4] 解析 由y＝－x2，x∈(－∞，－2]，得y∈(－∞，－4]， ∴x＝－－y，即f－1(x)＝－－x，x∈(－∞，－4]． 14．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________． 答案 f(x)＝2x＋1 解析 ∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)， ∴f(x)的图像过点(0,2)，∴2＝a0－k，∴k＝－1， ∴f(x)＝ax＋1. 又f(x)的图像过点(1,3)， ∴3＝a1＋1，∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1. 15．已知函数f(x)与函数g(x)＝ 的图像关于直线y＝x对称，则函数 f(x2＋2x)的单调增区间是________． 答案 (－∞，－1] 1 x，∴f(x2＋2x)＝解析 由题意得f(x)＝2 ，∵f(x)在R上是减 函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t＝x2＋2x的单调减区间，即(－∞，－1]． x－b16．已知函数f(x)＝loga(a>0，b≠0)，则f(x)的值域为____________， x＋bf(x)的反函数f－1(x)的解析式为________________． 1＋ax答案 (－∞，0)∪(0，＋∞) f(x)＝b· 1－ax－1 解析 ∵b≠0，∴ yx－bx－bx－bx－b≠1，∴f(x)＝loga≠0.由y＝loga，化为x＋bx＋bx＋bx＋byx1＋a1＋a＝a，解得x＝b·.把x与y互换可得y＝b·∴f(x)的反函数f－1(x)yx，1－a1－a1＋ax＝b·. 1－ax四、解答题 1 17．若不等式4x－logax＜0，当x∈0，时恒成立，求实数a的取值范围． 2 1x解 要使不等式4＜logax在x∈0，时恒成立，即函数y＝logax的图像在 211 0，内恒在函数y＝4x图像的上方，而y＝4x的图像过点，2. 22 1 由图可知，loga≥2，显然这里0＜a＜1， 2 ∴函数y＝logax递减． 11 又loga≥2＝logaa2，∴a2≥， 22又0 . 2 2 ∴所求的a的取值范围为，1. 241－3x－1 18．已知f(x)＝，求f的值． 1＋3x5 1－3x1－yxxx解 令y＝，∴y＋y·3＝1－3，∴3＝， 1＋3x1＋y1－y1－x－1 ∴x＝log3，∴f(x)＝log3. 1＋y1＋x4 1－ 541－1 ∴f＝log3＝log3＝－2. 495 1＋ 5 19．已知y＝f(x)是R上的增函数，点A(－1,1)，B(1,3)在它的图像上，y＝f－1(x)是它的反函数，解不等式|f－1(log2x)|<1. 解 ∵y＝f(x)是R上的增函数， ∴y＝f－1(x)在R上也是增函数． ∵f(－1)＝1，f(1)＝3，∴f－1(1)＝－1，f－1(3)＝1. 由|f－1(log2x)|<1，得－1 a·2x－12x＋1 (a∈R)，f(0)＝0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的反函数； (3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f(x)＞log2 －1 1＋xk. 2x－1 解 (1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝x(x∈R)． 2＋12x－12－x－12x－11－2x因为f(x)＋f(－x)＝x＋＝＋＝0， 2＋12－x＋12x＋11＋2x所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． 2x－12 (2)因为f(x)＝y＝x＝1－x， 2＋12＋1所以2x＝ 1＋y(－1＜y＜1)， 1－y1＋x(－1＜x＜1)． 1－x1＋x所以f－1(x)＝log2 (3)因为f－1(x)＞log2 k， 1＋x1＋x＞，1＋x1＋xk即log＞log，所以1－x1－xk－1＜x＜1， 2 2 x＞1－k，所以 －1＜x＜1， 当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}； 当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
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