数学试卷
（总分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 满分40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．﹣5的相反数是（ ） A．5 B．﹣5 C．
D．
2．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A．8.23×106 B．8.23×107 C．8.23×106 D．8.23×107 3．下列计算正确的是（ ） A．7ab﹣5a＝2b B．（a+
）2＝a2+
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2
﹣
﹣
4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 5．函数y＝
中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 6．关于x的分式方程
﹣
＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则A．
B．
C．
的值为（ ） D．
第7题图 第8题图 第9题图
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ） A．b2＞4ac B．abc＞0 C．a﹣c＜0 D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
1
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝A．4﹣
B．2﹣
，则图中阴影部分面积为（ ）
C．2﹣π D．1﹣
10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝
AO，
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
第Ⅱ卷（非选择题 满分110分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．下列各数3.1415926，
有 个．
12．一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是 ． 13．已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度． 14．若关于x的不等式组
有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．
，1.212212221…，
，2﹣π，﹣2020，
中，无理数的个数
15．如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+
+…+
＝
．（n为正整数），则n的值为 ．
+
2
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：
﹣2sin30°﹣|1﹣
|+（
）2﹣（π﹣2020）0．
﹣
17．（7分）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围
内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
3
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图． （3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F． （1）求双曲线y＝
（k≠0）和直线DE的解析式．
（k
（2）求△DEC的面积．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）求证：
＝
．
，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
（3）若sin∠ABC═
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点． （1）求抛物线的解析式．
4
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
第Ⅰ卷（选择题 满分40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1．﹣5的相反数是（ ） A．5 B．﹣5 C．【知识考点】相反数．
【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解题过程】解：﹣5的相反数是5， 故选：A．
【总结归纳】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ） A．8.23×106 B．8.23×107 C．8.23×106 D．8.23×107 【知识考点】科学记数法—表示较小的数．
【思路分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5
﹣
﹣
﹣
D．
【解题过程】解：0.000000823＝8.23×107． 故选：B．
【总结归纳】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．下列计算正确的是（ ） A．7ab﹣5a＝2b B．（a+
）2＝a2+
C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2
﹣
﹣
【知识考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法；分式的混合运算． 【思路分析】根据整式的加减、乘除分别进行计算，再判断即可．
【解题过程】解：7ab与﹣5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确； 根据完全平方公式可得（a+
）2＝a2+
+2，因此选项B不正确；
（﹣3a2b）2＝9a4b2，因此选项C不正确； 3a2b÷b＝3a2，因此选项D正确； 故选：D．
【总结归纳】考查整式的加减、乘除的计算法则，掌握计算方法是正确计算的前提． 4．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．
【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解题过程】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意； C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C．
【总结归纳】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5．函数y＝
中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1 【知识考点】函数自变量的取值范围．
【思路分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围． 【解题过程】解：根据题意得：解得：x≥﹣2且x≠1． 故选：D．
【总结归纳】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
6
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 6．关于x的分式方程
﹣
＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3 【知识考点】分式方程的增根．
【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可 【解题过程】解：去分母得：m+3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程得：m+3＝0， 解得：m＝﹣3， 故选：D．
【总结归纳】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【知识考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解题过程】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG，
7
∴△ABE∽△CGE， ∴
＝
＝
＝
，
故选：C．
【总结归纳】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac B．abc＞0 C．a﹣c＜0 D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数） 【知识考点】二次函数图象与系数的关系．
【思路分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【解题过程】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意， ∴abc＞0，故B选项不合题意， 当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， 当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意， 故选：C．
【总结归纳】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝
，则图中阴影部分面积为（ ）
＝﹣1，
8
A．4﹣ B．2﹣ C．2﹣π D．1﹣
【知识考点】等腰直角三角形；切线的性质；扇形面积的计算．
【思路分析】连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH为矩形，所以OH＝CD＝
，则OA＝
OH＝2，接着计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，然
后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE进行计算． 【解题过程】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝45°， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC，
∴四边形ODCH为矩形， ∴OH＝CD＝
，
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°， ∴OA＝
OH＝2，
在Rt△OBD中，∵∠B＝45°， ∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2， ∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE＝故选：B．
【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．
10．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝
AO，
×2×2﹣
＝2﹣
π．
④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． ②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可． ③正确．设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题． ④错误，通过计算正方形ABCD的面积为48．
9
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可． 【解题过程】解：如图，连接OE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∴∠BOC＝90°， ∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确， 连接AF． ∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°， ∴A，P，B，F四点共圆， ∴∠AFP＝∠ABP＝45°， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴PA＝PF，故②正确， 设BE＝EC＝a，则AE＝∴
＝
＝
a，OA＝OC＝OB＝OD＝
AO，故③正确，
a，
，即AE＝
根据对称性可知，△OPE≌△OQE， ∴S△OEQ＝
S四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC， ∴CD＝2OE，OE⊥CD， ∴
＝
＝
，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8， ∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC， ∴△EPF∽△ECD， ∴
＝
，
∴EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确， 故选：B．
【总结归纳】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10
第Ⅱ卷（非选择题 满分110分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．下列各数3.1415926，
有 个．
【知识考点】算术平方根；立方根；无理数．
【思路分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【解题过程】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，故答案为：3．
【总结归纳】本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
12．一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是 ． 【知识考点】众数．
【思路分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，根据众数的定义求出这组数的众数即可． 【解题过程】解：根据众数定义就可以得到：x＝4． 故答案为：4．
【总结归纳】此题考查了众数，熟练掌握众数是一组数据中出现次数最多的数是解题的关键． 13．已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 度． 【知识考点】多边形内角与外角．
【思路分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． 【解题过程】解：设此多边形为n边形， 根据题意得：180（n﹣2）＝1440， 解得：n＝10，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°． 故答案为：36．
【总结归纳】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°． 14．若关于x的不等式组
有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．
这3个，
，1.212212221…，
，2﹣π，﹣2020，
中，无理数的个数
【知识考点】一元一次不等式组的整数解． 【思路分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x＜＜
，根据不等式组有且只有三个整数解得出1
≤2，解之可得答案．
11
【解题过程】解：解不等式＜，得：x＞﹣2， ，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤则不等式组的解集为﹣2＜x≤∵不等式组有且只有三个整数解， ∴1≤
＜2，
，
解得1≤m＜4， 故答案为：1≤m＜4．
【总结归纳】此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
15．如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+
+…+
＝
．（n为正整数），则n的值为 ．
+
【知识考点】规律型：图形的变化类．
【思路分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用
裂项化简，解分式方程可得答案．
【解题过程】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4， ∴an＝n（n+1）， ∵∴
++
++
+…++﹣）＝，
+＝+…+﹣，
，
＝+……+
﹣
， ）＝
，
＝
﹣
∴2×（1﹣∴2×（1﹣1﹣
＝
解得n＝4039，
12
经检验：n＝4039是分式方程的解， 故答案为：4039．
【总结归纳】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出an＝n（n+1）及
＝
﹣
．
三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：
﹣2sin30°﹣|1﹣
|+（
）2﹣（π﹣2020）0．
﹣
【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路分析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得． 【解题过程】解：原式＝2＝2＝
﹣1﹣+3．
+1+4﹣1
﹣2×
﹣（
﹣1）+4﹣1
【总结归纳】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的性质、熟记特殊锐角三角函数值、负整数指数幂与零指数幂的规定． 17．（7分）先化简，（为x的值代入求值．
【知识考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解题过程】解：原式＝[＝（＝＝﹣
＝﹣（x﹣3） ＝﹣x+3， ∵x≠±2， ∴可取x＝1， 则原式＝﹣1+3＝2．
【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
13
﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作
﹣（x+2）]•
﹣
•
）• •
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形．
【知识考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【思路分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论． 【解题过程】证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEB， ∴△BDE≌△FAE（AAS）； （2）∵△BDE≌△FAE， ∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD， ∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形．
【总结归纳】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高
14
度．（结果精确到0.1）
（参考数据sin40°≈0.，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）
【知识考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【思路分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM，AN，进而计算出2号楼的高度DF即可．
【解题过程】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N， 由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60， ∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40， 在Rt△AEM中， ∵tan∠AEM＝∴EM＝
在Rt△AFN中， ∵tan∠AFN＝
， ， ＝
≈16.9，
∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，
∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8， 答：2号楼的高度约为45.8米．
【总结归纳】本题考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是常用的方法，掌握边角关系是正确解答的关键．
20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元． （1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？
（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 【知识考点】二元一次方程组的应用；二次函数的应用．
15
【思路分析】（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则，即可求解；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），即可求解． 【解题过程】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；
（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元， 由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），
∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216， 故本次购买至少准备216元，最多准备265元．
【总结归纳】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数． 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值． （3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【知识考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
【思路分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
16
，解得，
时取得．
【解题过程】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3， ∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0， ∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”， ∴解得：
， ，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）． 当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）． ∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1， ∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a， 解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6． ∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6， ∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【总结归纳】本题考查了相反数、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用“旋转函数”的定义求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋转函数”的定义求出m，n的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式．
22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
17
（1）本次参加抽样调查的居民有 人．
（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 度．根据题中信息补全条形统计图． （3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有 人．
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．
【知识考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【思路分析】（1）用喜欢D种口味粽子的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出喜欢B种口味粽子的人数，再计算出喜欢C种口味粽子的人数，则用360度乘以喜欢C种口味粽子的人数所占的百分比得到它在扇形统计图中所占圆心角的度数，然后补全条形统计图；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数，然后根据概率公式求解．
【解题过程】解：（1）240÷40%＝600（人）， 所以本次参加抽样调查的居民有60人；
（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人）， 喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人）， 所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°×补全条形统计图为：
＝72°；
（3）6000×40%＝2400，
所以估计爱吃D种粽子的有2400人； 故答案为600；72；2400； （4）画树状图为：
18
共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3， 所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率＝
＝
．
【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═点，连结CE，交x轴于点F． （1）求双曲线y＝
（k≠0）和直线DE的解析式．
（k≠0）于D、E两
（2）求△DEC的面积．
【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【思路分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y＝
（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解题过程】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 作DM⊥y轴于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠OAB+∠DAM＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°，
19
∴∠DAM＝∠ABO， 在△AOB和△DMA中
，
∴△AOB≌△DMA（AAS）， ∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2， ∴D（2，3）， ∵双曲线y═
（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为y＝
，
设直线DE的解析式为y＝mx+n， 把B（1，0），D（2，3）代入得∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3； （2）连接AC，交BD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD垂直平分AC，AC＝BD， 解
得
或
，
，解得
，
∴E（﹣1，﹣6）， ∵B（1，0），D（2，3）， ∴DE＝∴CN＝∴S△DEC＝
BD＝
，
×
＝
．
＝3
，DB＝
＝
，
DE•CN＝
【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了正方形的性质、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理的应用，求得D、E的坐标是解题的关键． 24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线． （1）求证：BC是⊙O的切线． （2）求证：
＝
．
，AC＝15，求四边形CHQE的面积．
20
（3）若sin∠ABC═
【知识考点】圆的综合题．
【思路分析】（1）连接OE，OP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BEO＝∠BPO，根据切线的判定和性质定理即可得到结论． （2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．
（3）根据垂径定理得到EP⊥AB，根据平行线和等腰三角形的性质得到∠CAE＝∠EAO，根据全等三角形的性质得到CE＝QE，推出四边形CHQE是菱形，解直角三角形得到CG＝＝12，根据勾股定理即可得到结论． 【解题过程】（1）证明：连接OE，OP， ∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点， ∴AB垂直平分EP， ∴PB＝BE，
∵OE＝OP，OB＝OB， ∴△BEO≌△BPO（SSS）， ∴∠BEO＝∠BPO， ∵BP为⊙O的切线， ∴∠BPO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴OE⊥BC， ∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO， ∴
＝
．
（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点， ∴EP⊥AB，
21
∵CG⊥AB， ∴CG∥EP，
∵∠ACB＝∠BEO＝90°， ∴AC∥OE， ∴∠CAE＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠EAQ＝∠AEO， ∴∠CAE＝∠EAO，
∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE， ∴△ACE≌△AQE（AAS）， ∴CE＝QE，
∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°， ∴∠CEH＝∠AHG， ∵∠AHG＝∠CHE， ∴∠CHE＝∠CEH， ∴CH＝CE， ∴CH＝EQ，
∴四边形CHQE是平行四边形， ∵CH＝CE，
∴四边形CHQE是菱形， ∵sin∠ABC═sin∠ACG═∵AC＝15， ∴AG＝9， ∴CG＝
＝12，
＝
，
∵△ACE≌△AQE， ∴AQ＝AC＝15， ∴QG＝6， ∵HQ2＝HG2+QG2， ∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62， 解得：HQ＝∴CH＝HQ＝
， ，
×6＝45．
∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ＝
【总结归纳】本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
22
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点． （1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），把点C坐标代入解析式，可求解； （2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD＝
×2×6＝6，设点E（m，2m﹣2），分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0）， ∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6）， ∴6＝a（0﹣1）（0﹣3）， ∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6； （2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2， ∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， ∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：解得：
，
，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
23
联立方程组得：，
解得：，，
∴点D（4，6）， ∴S△ABD＝
×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分， ∴S△ABE＝∴
S△ABD＝2或S△ABE＝
S△ABD＝4，
×2×（2m﹣2）＝2或×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）； （3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP， ∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1， ∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）； 若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴AD与PQ互相平分， ∴∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
【总结归纳】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
，
24
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