卡尔曼滤波模型在GPS监测网中的应用研究

测绘第３４卷第５期２０１１年１０月　２０５　卡尔曼滤波模型在ＧＰＳ监测网中的应用研究　龙仁波　（中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘局重点实验室，江苏徐州２２１Ｉ１６）　［摘要］导出了基于卡尔曼滤波的ＧＰＳ监测系统的状态方程和观测方程的纯量形式和矩阵形式并给出系统的滤　波方程，讨论了形变分析方法。通过对模拟ＧＰＳ监测网的计算分析，取得了满意的结果，证明了该方法的有效　性。　［关键词］变形监测；卡尔曼滤波；检验统计　［中图分类号］Ｐ２５８　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７４—５０１９（２０１１）０５—０２０５—０３　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｋａｌｍａｎ　Ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　Ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　ＧＰ　Ｓ　Ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ　Ｎｅｔｗｏｒｋｓ　ＬｏＮＧ　Ｒｅｎ．ｂｏ　（Ｋｅｙ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ　ｆｏｒ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ　Ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ｄｉｓａｓｔｅｒ　Ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ　ｏｆ　ＳＢＳＭ，Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｍｉｎｉｎｇ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ　２２　１　００８，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｕｔｓ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｓｉｍｐｌｅ，ａｎｄ　ｇｉｖｅｓ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗｈｅｎ　Ｋａｌｍａｎ　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ　ｉｓ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ＧＰＳ　ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ，ｔｈｅｎ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｔｅｓｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｅｓ　ｆｏｒ　ａ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ＧＰＳ　ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ａｒｅ　ｓａｔｉｓｆｉｅｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ；Ｋａｌｍａｎ　ｉｆｌｔｅｒｉｎｇ；Ｔｅｓｔ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　１　引言　其中，Ｑ　和△　满足如Ｆ统计性质：　随着ＧＰＳ技术在变形监测中的广泛应用，变形监　ｃｏ（ｖ（Ｑ　￣　，）＝０Ｑ／）＝％（，　（△　）＝０血）　，，ｃ。ｃｏＶ（ｖ（Ｑ　ｈ　，，△　Ａ１）＝。．）＝　（　五）　Ｊｌ（　２）　测数据处理的手段也日趋多样化，卡尔曼滤波越来　越受到大家的青睐。大量的实例与实验表明，利用　式中：％（　）为系统动态噪声方差阵；　（　）为　观测噪声方差阵；　，ｆｆ４Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ（克罗内克）函数，　卡尔曼滤波处理变形监测，不仅在精度上能够满足　即　要求，而且更新速度快，白适应性强，不依赖旧数　据，它是一种对动态系统进行数据处理的有效方法，　：』　，五＝　ｌ０，　≠Ｊ　从估计的角度来说，属于“状态”估计问题。卡尔　可以推导得出卡尔曼滤波的递推公式为：　曼滤波方程是一组递推公式，其计算过程实际上是　一个不断预报又不断修正的过程，因此更便于实时　（　／　＝　／五一　）＋　｝　（３）　处理多期复测数据，这一特点正是ＧＰＳ变形监测数据　Ｄ　ｘ０ｋ／ｋ、＝　Ｉ—Ｊ　Ｂ　Ｄ　ｘ　ｋ　ｆ　ｋ—　＼　处理所期望的　。在变形监测领域，专家学者　做　式中：　Ｘ（ｋ／ｋ—１）＝　ｋ了许多卓有成效的工作，本文尝试利用卡尔曼滤波　，ｋ－Ｉｘ（ｋ—ｌ／ｋ—１）　（　／七一１）＝　＾　解算ＧＰＳ变形监测网。　１　（五一１／ｋ一１）中　＾．　＋ｒ　．　一　％（七一１）ｒ　．　一ｌ　２　ＧＰＳ变形监测网卡尔曼滤波模型的建立　Ｊ　Ａ＝Ｂｘ　ｋ　ｆ　ｋ一　Ｂ　（４）　２．１卡尔曼滤波基本原理　・『　（七／五一１）彰＋　）］　卡尔曼滤波的数学模型包括状态方程和观测方　Ｅ　ｋ：Ｌｋ—Ｂ　ｋＸ（ｋ／ｋ一　程两部分，其离散化的形式为：　可以看作是从状态空间映射到观测空间的预　＝　ｋ，ｋ－ｉ　一１＋Ｆｋ，ｋ＿ｌ￣　Ｉ　，１、　算符，Ｊ　可以看作是两个协方差矩阵　（　／ｋ一１）和　１　Ｌｋ：Ｂ　ｋｘ　ｋ＋Ａ　ｋ　＼　ｏｋ之比。前一个矩阵是衡量预测的不确定性，后一　个矩阵则衡量新息的不确定性。当Ｊ　很大时，即　（　／ｋ一１）“大”　时，置信度放在观测值上，　依赖Ｘ…　的程度很小。相反，即　（　／ｋ一１）“小”　时，可以预料到观测中会有很大的误差，而　取　决于外推估计。　２．２　ＧＰＳ监测网数据处理的标准卡尔曼滤波模型　设ｉ点的状态向量为　．（ｆ），全网的状态向量为　（ｆ），即令：　，（　）　（　）　：　（５）　２　ｌ　（　））］，Ｊ　肫）：　：　●　（　）　式中ｄ表示网的维数，ｑ为全网的待定点数，类　似的记　Ｑ（ｔ）＝ｆ　Ｑ　（ｔ）　Ｑ２（ｔ）　ＬＱ。（ｔ）Ｉ　（６）　则（５）式可写为：　Ｉ　ｘ．㈤＋Ｅｏｌ　ｆ１．（ｔ　㈩　离散化的状态方程为：　＝，　＋　［　Ａ　ｔｋＥ］　　，＋Ｉ童　ｌＱ　，　ｃ８　全网的状态方程为：　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　０　Ｏ　Ｅ　Ａｔ　Ｅ’　Ｏ　Ｏ　０　０　０　Ｏ　０　Ｅ　Ａｔ　Ｅ　Ｏ　Ｏ　Ｏ　Ｆ　ｌ１／２Ａ　：　０　Ｏ　１　ＡｔｘＥ　０　Ｏ　　ｌ０　１／２Ａ　０　　ｌ０　ＡｔｘＥ　Ｏ　０　　ｌ０　０　１／２Ａ　　ｌ０　０　Ａｔ　ＫＥ　记为：　Ｘ　＝①ｋ￣ｌｘ　＋Ｆｋ＋ｌ（１０）　，ｋ，ｋ￣　当网形为６ＰＳ变形监测网，则以基线向量为观测　量，则　『　至ｉ］　一ｆ　；］『爹］　＋『　；］『爹］　＋『蔓≥］　（１１）　测绘第３４卷第５期２０１１年１０月　＝（　∥　，　）　，Ｂ：［－Ｅ　］，Ｅ）９３　Ｘ　３的单位阵，　，当全网有ｍ条基线，则上式变为：　Ｌｋ＝Ｂ　ｋ　Ｘ　ｋ＋ｙｋ　（１３）　３ｍｘｌ　３　×６口６　×１　３ｍ×１　动态方程和量测方程共同构成了ＧＰＳ监测网卡　尔曼滤波的数学模型：　０　０　Ｏ．．０　Ｏ　ｘ　＝＝①　ｘ　＋ｒ　，　　，Ａ　Ｌｌ＝Ｂ．Ｘ　＋△．　Ｑ　ｌＯ　０　ｆ　　Ｏ　０　（１４）　式中：①　为ｋ一１到ｋ时刻的系统一步转移矩阵；　ｒ　一　为系统噪声矩阵；Ｑ　为ｋ一１时刻的系统噪声；　Ｂ　为ｋ时刻系统的量测矩阵；△　为ｋ时刻系统的量测　噪声；ｘ　为ｋ时刻的系统待估状态向量；Ｌ　为ｋ时刻系　统的量测值。　３算例　为说明所构造的卡尔曼滤波模型的效果，在某　地实测数据中选取如下ＧＰＳ网（图１）。首先用三台华　ＮＧＰＳ接收机测试两期（第一期将接收机安置在控制　点上，第二期除了１０３８点都做一个微小的变动），该　网经外业质量检查和空间无约束平差，其质量合乎　要求，将这两期的数据作为初始值。然后在第二期　的平差坐标中，分别在４Ｏ、４ｌ、４２等点上加入不同　的变形值（表１），然后重新计算基线向量，这样模　拟了五期ＧＰＳ监测网数据。　图１　ＧＰＳ变形监测网　表１模拟变形值（巾叩）　期号　３　４　５　坐标分量　Ｘ　Ｙ　Ｚ　Ｘ　Ｙ　Ｚ　Ｘ　Ｙ　Ｚ　变　４０　１８　２４　２９　３５　４３　５７　６６　７９　９５　形　４１　—１５　—３０　—３８　—４３　５７　—６９　—７８　—８５　—１００　点　４２　２０　３０　３５　４０　４９　６５　７８　８３　９７　首先采用ＴＧＯ解算得到基线向量和基线的协方　差阵，然后利用抗差估计得到各点的抗差估计值。　在得到滤波的初值之后对３—５期的模拟数据进行滤　波处理，就可以得．￣ＵＧＰＳ监测网的位置参数滤波值、　测绘第３４卷第５期２０１１年１Ｏ月　速度参数滤波值以及位置参数和速度参数的协方　差。根据协方差阵还可以判定滤波成果的精度。　根据两个期间位置参数滤波值和协方差阵以及　构造的统计量，可以判断发生变形的点以及形变的　大小。表２列出了检验的结果（　＝０．５）。　表２计算的形变结果（ｍｍ）　期号　４—３　５—４　坐标分量　Ｘ　Ｙ　Ｚ　Ｘ　Ｙ　Ｚ　变　４０　１６．５　ｌ５．９　２４．２　２９．４　３４．７　３７．２　形　４１　—２３．６　—２６．２　—３４．７　—３２．５　—２６．８　—３５．５　点　４２　１７．３　１７．８　２５．５　３５．８　３Ｏ．９　３５．７　对比表１和表２可以看出，在所加的变形值的点　上，利用卡尔曼滤波的变形值和模拟值最大相差　５．３ｍｍ（ＷＧＳ一８４坐标系）。如果考虑模型误差，则可　以认为利用卡尔曼滤波计算的变形值和实际值比较　吻合。　４结论　将卡尔曼滤波技术应用在ＧＰＳ变形监测中，可以　实时获得变形系统的当前状态。另外，卡尔曼滤波　还可以预测将来的状态，这对变形预警有很大的帮　助。　卡尔曼滤波系统初始状态的确定，对滤波的结　果有一定的影响。当初值选取不合适时，可导致变　形分析失真，一般要求比较精确的初始观测噪声的　方差阵和动态噪声的方差阵。本文在选取时采用抗　差估计得到的方差阵作为初始值的方法比较有效。　标准卡尔曼滤波认为动态噪声和观测噪声为零　均值高斯白噪声，所以对有色噪声情况下的卡尔曼　滤波模型在变形监测领域的应用也是进一步研究的　方向。　参考文献　［１］刘大杰，于正林，陶本藻．形变测量动态数据的处理方　法［Ａ］．平差模型误差理论及其应用论文集［ｃ］．北京：　测绘出版社，１９９２．１８２—１９３．　２０７　『２］Ｈｅｉｎｅｒ　Ｋｕｈｌｍａｎｎ　ＫＡＬＭＡＮ—ＦＩＬＴＥＲＩＮＧ　ＷＩＴＨ　ＣＯＬＯＵＲＥＤ　ＭＥＳＡＵＲＥＭＥＮＴ　ＮＯＩＳＥ　ＦＯＲ　ＤＥＦＯＰ＆ＩＡＴＩＯＮ　ＡＮＡＬＹＳＩＳ，１　ｉｔｈ　ＦＩＧ　ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ　Ｓａｎｔｏｒｉｎｉ．　Ｇｒｅｅｃｅ　２００３．　［３］栾瑞明．卡尔曼滤波理论在滑坡监测中的应用［Ｊ］．地　壳形变与地震，１９９４，（１）：５２—５９．　［４］伍法权，等．卡尔曼滤波方法在链子崖危岩体变形适时　预报中的应用［Ｊ］．中国地质灾害与防治学报，１９９６，增　刊：５６—６０．　［５］余学祥，等．ＧＰＳ监测网动态数据处理抗差Ｋａｌｍａｎ滤波模　型［Ｊ］．中国矿业大学学报，２０００，（６）：５５３—５５７．　［收稿日期］２０１卜Ｏ６—２２　［作者简介］龙仁波（１９８５一），男，汉族，湖北十堰人，现为　中国矿业大学环境与测绘学院大地测量学与测量工程硕士研　究生，主要研究方向：ＧＰＳ数据处理、ＧＰＳ精密单点定位。　［基金项目］国家自然科学基金项目（４１０７４０１０）；国土环境与　灾害国家测绘局重点实验室开放基金资助项目（ＬＥＤＭ２ＯＯ９ＡＯ１）；　江苏省自然科学基金（ＢＫ２００９０９９）。