一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）（毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
2．（3分）（2020•甘孜州）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点是（ ）
A．（2，1）
B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，﹣1）
3．（3分）（云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
4．（3分）（2020秋•黄埔区期末）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+anB．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）C．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6xD．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
5．（3分）（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55°C．70°，40°
B．70°，40°或70°，55°D．55°，55°或70°，40°
6．（3分）（2020秋•黄埔区期末）若a2+2a﹣1＝0，则（a）的值是（ ）A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
7．（3分）（葫芦岛）若分式的值为0，则x的值为（ ）A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
8．（3分）（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（ ）
A．4B．5C．7D．10
9．（3分）（2009•南京）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
10．（3分）（泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2020秋•黄埔区期末）分式有意义时，x满足的条件是 ，分式方程的解为 ．
12．（3分）（2020秋•黄埔区期末）计算：
（﹣2x）3（﹣xy2）＝ ，（a5b7）a5b5＝ ．
13．（3分）（2020秋•黄埔区期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ ，x3y﹣xy＝ ．14．（3分）（2020秋•黄埔区期末）如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝ ，DE＝ ．
15．（3分）（2020秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D．则∠DBC＝ ，∠BDC＝ ．
16．（3分）（2020秋•黄埔区期末）如图所示的三角形纸片中，
AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则BE＝ ，△ADE的周长等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）（2020秋•黄埔区期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，其中x，y．
18．（4分）（2020秋•黄埔区期末）1．19．（6分）（2012•）解方程：．
20．（6分）（2020秋•黄埔区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1＝∠2，求证：AB＝AD．
21．（8分）（2020秋•黄埔区期末）已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．22．（10分）（长春）A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．
23．（10分）（2020秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4．
（1）在题给的图中，按以下作法用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹：①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；
②再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线CE交AB于点F．（2）在你所作的图中，求AF．
24．（12分）（杭州）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．
25．（12分）（2009•宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
2020-2021学年广东省广州市黄埔区八年级（上）期末数学试卷
答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）（毕节市）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2．（3分）（2020•甘孜州）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点是（ ）
A．（2，1）
B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2）
D．（﹣2，﹣1）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点是：（2，1）．故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
3．（3分）（云南）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）A．五边形
B．六边形
C．七边形
D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°＝900°，解得：n＝7，
即这个多边形为七边形．故选：C．
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（3分）（2020秋•黄埔区期末）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）＝am+anB．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）C．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6xD．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
解：A．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；B．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一元多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
5．（3分）（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A．55°，55°C．70°，40°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
B．70°，40°或70°，55°D．55°，55°或70°，40°
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6．（3分）（2020秋•黄埔区期末）若a2+2a﹣1＝0，则（a）的值是（ ）A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
【考点】分式的化简求值．
【分析】先将分式进行化简，然后将a2+2a＝1代入原式即可求出答案．解：原式••
＝a（a+2）＝a2+2a，当a2+2a＝1时，原式＝1．故选：C．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
7．（3分）（葫芦岛）若分式的值为0，则x的值为（ ）A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．解：∵分式的值为零，∴，解得x＝1．故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
8．（3分）（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（ ）
A．4B．5C．7D．10
【考点】角平分线的性质．
【分析】过E作EF⊥BC于点F，由角平分线的性质可求得EF＝DE，则可求得△BCE的面积．
解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，∴EF＝DE＝2，
∴S△BCEBC•EF5×2＝5，故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9．（3分）（2009•南京）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判
断．
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
10．（3分）（泰安）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：
①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△BDF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE和△BDF中，，
∴△CDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确．故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）（2020秋•黄埔区期末）分式有意义时，x满足的条件是 x≠3 ，分式方程的解为 x＝1 ．
【考点】分式方程的定义；解分式方程．
【分析】根据分母不为0求出分式有意义的条件即可；分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：分式有意义时，x满足的条件是x≠3，分式方程，
去分母得：x+3＝4x，解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．故x≠3；x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12．（3分）（2020秋•黄埔区期末）计算：
（﹣2x）3（﹣xy2）＝ 8x4y2 ，（a5b7）a5b5＝ b2 ．
【考点】整式的混合运算．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则分别计算得出答案．解：（﹣2x）3（﹣xy2）＝﹣8x3•（﹣xy2）＝8x4y2，（a5b7）a5b5a5﹣5b7﹣5b2．
故8x4y2；b2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．13．（3分）（2020秋•黄埔区期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝ （y﹣z）（2a+3b） ，x3y﹣xy＝ xy（x+1）（x﹣1） ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式变形后提取公因式即可；原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）＝（y﹣z）（2a+3b），x3y﹣xy＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1）．
故（y﹣z）（2a+3b）；xy（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（3分）（2020秋•黄埔区期末）如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝ 5cm ，DE＝ 8cm ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段中点的定义得到BD＝DC＝3cm，根据线段垂直平分线的性质求出
AC，进而求出EC＝AC，结合图形计算，得到答案．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），
∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），
∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故5cm；8cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（3分）（2020秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D．则∠DBC＝ 36° ，∠BDC＝ 72° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝C＝72°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠DBCABC＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠C＝72°，∴∠BDC＝∠C＝72°，
故36°，72°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
16．（3分）（2020秋•黄埔区期末）如图所示的三角形纸片中，
AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则BE＝ 6cm ，△ADE的周长等于 7cm ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据翻折变换的性质可得BE＝BC，DE＝CD，然后求出AE，再求出△ADE的周长＝AC+AE．
解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，∴BE＝BC＝6cm，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），∴△ADE的周长＝AD+DE+AE，＝AD+CD+AE，＝AC+AE，＝5+2，＝7（cm）．故6cm；7cm．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的周长，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4分）（2020秋•黄埔区期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，其中x，y．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】直接利用完全平方公式化简进而合并同类项，再把已知数据可得答案．
解：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2＝4x2+4xy+y2﹣（y2+4x2﹣4xy）＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4x2+4xy＝8xy，当x，y时，原式＝8（）．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（4分）（2020秋•黄埔区期末）1．【考点】分式的混合运算．
【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，然后进行加减运算．解：原式＝1＝1．故．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．19．（6分）（2012•）解方程：．【考点】解分式方程．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边同乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果要检验．解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得2（x+1）＝4，解得：x＝1．
检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+1）＝0．∴x＝1是方程的增根，原方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
20．（6分）（2020秋•黄埔区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1＝∠2，求证：AB＝AD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用AAS证明△ABC≌△ADC即可解决问题；证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（AAS），∴AB＝AD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
21．（8分）（2020秋•黄埔区期末）已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．【考点】完全平方公式．
【分析】根据完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，可得a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）
2﹣4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，据此计算即可．
解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，
所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
22．（10分）（长春）A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．【考点】分式方程的应用．
【分析】关键描述语为：“A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同”；等量关系为：400÷A型机器每小时加工零件的个数＝300÷B型机器
每小时加工零件的个数．
解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x﹣20）个．根据题意列方程得：，解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解．答：A型机器每小时加工零件80个．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．（10分）（2020秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4．
（1）在题给的图中，按以下作法用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹：①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；
②再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线CE交AB于点F．（2）在你所作的图中，求AF．
【考点】含30度角的直角三角形；作图—复杂作图．【分析】（1）根据要求画出图形即可解决问题．（2）解直角三角形分别求出AB，BF，即可解决问题．解：（1）如图，图形如图所示．
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，由作图可知，CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，
∵∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCF＝30°，∴BFBC＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝8﹣2＝6．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（12分）（杭州）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】三角形三边关系；作图—应用与设计作图．
【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a＝2，b＝3，c＝4，再作图：①作射线AB，且取AB＝4；
②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；③连接AC、BC．则△ABC即为满足条件的三角形．
解：（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）．
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即a＝2，b＝3，c＝4时满足a＜b＜c．如答图的△ABC即为满足条件的三角形．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，作图﹣应用与设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．25．（12分）（2009•宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于直线BC对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质．
【分析】（1）由点D与点A关于点E对称易证AC＝CD，再根据角平分线，及垂直得到AC＝AB，可得答案AB＝CD；
（2）易证∠CAD＝∠CDA＝∠MPC，∠CMA＝∠BMA＝PMF，可得到∠MCD＝∠F．（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAB∠BAC，∵D与A关于E对称，∴E为AD中点，∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC＝CD）∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°，∠CAD＝∠DAB，∴∠ACE＝∠ABE，
∴AC＝AB（注：证全等也可得到AC＝AB），∴AB＝CD．
（2）解：∠F＝∠MCD，理由如下：∵∠BAC＝2∠MPC，又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠MPC＝∠CDA，∴∠MPF＝∠CDM，∵AC＝AB，AE⊥BC，
∴CE＝BE（注：证全等也可得到CE＝BE），∴AM为BC的中垂线，
∴CM＝BM．（注：证全等也可得到CM＝BM）∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．
∴∠CME＝∠BME（注：证全等也可得到∠CME＝∠BME．），∵∠BME＝∠PMF，∴∠PMF＝∠CME，
∴∠MCD＝∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F）
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质及线段垂直平分线的性质；解题时需注意充分利用两点关于某条直线对称，对应点的连线被对称轴垂直平分，进而得到相应的线段相等，角相等．
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