【中考解析】福建省2017年中考数学真题试题(含解析)

福建省2017年中考数学真题试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．3的相反数是（ ） A．-3 B．【答案】A

【解析】只有符号不同的两个数互为相反数，因此3的相反数是-3；故选A. 2．如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）

11 C． D．3 33

A．【答案】B

B． C． D．

【解析】从左边看可以看到两个小正方形摞在一起，故选B. 3．用科学计数法表示136 000，其结果是（ ）

A．0.13610 B．1.3610 C．13610 D．13610 【答案】B

【解析】13600=1.36³10，故选B. 4．化简(2x)的结果是（ ）

A．x B．2x C． 4x D．4x 【答案】C

【解析】（2x）=4x；故选C.

5．下列关于图形对称性的命题，正确的是（ ） A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形 B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

2

2

5

65362422

C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形 【答案】A

点睛：本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的知识，能正确地区分是解题的关键. 6． 不等式组：x20的解集是（ ）

x30A．3x2 B．3x2 C． x2 D．x3 【答案】A

【解析】由①得x≤2，由②得x>-3，所以解集为：-37．某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）

A．10，15 B．13，15 C．13，20 D．15，15 【答案】D

【解析】将这五个答题数排序为：10，13，15，15，20，由此可得中位数是15，众数是15，故选D.

8．如图，AB是eO的直径，C,D是eO上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与

ACD互余的角是（ ）

A．ADC B．ABD C． BAC D．BAD 【答案】D

【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.

9．若直线ykxk1经过点(m,n3)和(m1,2n1)，且0k2，则n的值可以是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C

10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段AB和点P，则点P所在的单位正方形区域是（ ）

A．1区 B．2区 C．3区 D．4区 【答案】D

【解析】如图，根据题意可得旋转中心O，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P的对应点落在了4区，故选D.

O

点睛：本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本题共６小题，每小题４分，共２４分． 11．计算230 ． 【答案】1

【解析】原式=2-1=1.

12． 如图，ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连线DE，若DE3，则线段BC的长等于 ．

【答案】6

【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴BC=2EF=6.

13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是是 ．

【答案】红球（或红色的）

1，那么添加的球314．已知A,B,C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A,B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC2AB，则点C表示的数是 ．

【答案】7

【解析】∵AB=2，BC=2AB ，∴BC=4，3+4=7，故点C表示的数是7.

15．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图

所示，则AOB等于 度． 【答案】108 【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°. CD 16． 已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y则矩形ABCD的面积为 ． 【答案】7.5 1的图象上，且点A的横坐标是2，xyBACOxD 点睛：本题主要考查双曲线、矩形的对称性，双曲线关于原点对称，关于直线y=±x对称，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，能根据本题的题意确定矩形的对称中心是原点，并能应用图形的对称性解决问题是关键. 三、解答题 ：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17． 先化简，再求值：(11a)2，其中a21． aa1【答案】

12 ， . a+12【解析】

试题分析：先通分计算括号内的，然后再利用分式的乘除法进行计算，最后代入求值即可. 试题解析：原式=

a1a1 ， aa1a1a112 =.

2211当a=2 -1时，原式=18． 如图，点B,E,C,F在一条直线上，ABDE,ACDF,BECF．求证：

AD．

【答案】证明见解析. 【解析】

19．如图，ABC中，BAC90,ADBC，垂足为D．求作ABC的平分线，分别交AD,AD于P，Q两点；并证明APAQ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

o

【答案】作图见解析；证明见解析. 【解析】

试题分析：按作图方法作出角平分线BQ，然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠ AQP,从而证得AP=AQ.

试题解析：作图如下，BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点.

证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°，∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP，∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠ AQP,∴AP=AQ.

20．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．

【答案】鸡有23只，兔有12只. 【解析】

21．如图，四边形ABCD内接于eO，AB是eO的直径，点P在CA的延长线上，

CAD45o．

（Ⅰ）若AB4，求弧CD的长；

（Ⅱ）若弧BC弧AD，ADAP，求证：PD是eO的切线． 【答案】（Ⅰ）CD的长 =π；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得； （Ⅱ）由BC=AD，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O的切线.

试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=

1902 AB=2，∴CD的长= =π； 2180

22．小明在某次作业中得到如下结果：

sin27osin283o0.1220.9920.9945， sin222osin268o0.3720.9321.0018， sin229osin261o0.4820.8720.9873，

sin237osin253o0.6020.8021.0000，

sin245osin245o(222)()21． 22据此，小明猜想：对于任意锐角，均有sin2sin2(90o)1． （Ⅰ）当30时，验证sin2sin2(90o)1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． 【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）成立，当30时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证； （Ⅱ）成立，如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证.

试题解析：（Ⅰ）当30时， sin2sin2(90o)=sin30°+sin 60°=2

2

ooo13 2222=

13 =1，所以sin2sin2(90o)1成立； 44（Ⅱ）小明的猜想成立.证明如下：

如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，

BC2AC2AB2BCAC22

sinα+sin （90°-α）= =1 22ABABABAB22

23．自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下： 使用次数 0 1 2 3 4 5(含5次以上)

累计车费 0 0.5 0.9 a b 1.5 同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据： 使用次数 人数 0 5 1 15 2 10 3 30 4 25 5 15 （Ⅰ）写出a,b的值；

（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利? 说明理由． 【答案】（Ⅰ）a=1.2，b=1.4；（Ⅱ）不能获利，理由见解析； 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据调整后的收费歀：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费通过计算即可得a=1.2，b=1.4；

（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费 为：

1 ³（0³5+0.5³15+0.9³10+1.2³30+1.4³25+1.1³15）=1.1（元）， 100所以估计该校5000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为：5000³1.1=5500（元）， 因为5500<5800，故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利. 24．如图，矩形ABCD中，AB6,AD8，P,E分别是线段AC、BC上的点，且四边形

PEFD为矩形．

（Ⅰ）若PCD是等腰三角形时，求AP的长； （Ⅱ）若AP2，求CF的长．

【答案】（Ⅰ）AP的长为4或5或【解析】

1432；（Ⅱ）CF= 54试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论即可得；

（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，通过证明△ADP∽△CDF，从而得

CFCD332 ，由AP=2 ，从而可得CF= . APAD44试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6， AC==10；

要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况： （1）当CP=CD时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；

（2）当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA，∴PD=PA，∴PA=PC，∴AP=

AD2DC2

AC ，即AP=5； 2

11 AD²DC= AC²DQ，22ADDC2418361422∴DQ= ，∴CQ=DCDQ ，∴PC=2CQ = ,∴AP=AC-PC= . AC5555（3）当DP=DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，∵S△ADC=

综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或

14； 5

（Ⅱ）连结PF、DE，记PF与DE的交点为O，连结OC，

点睛：本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，能正确地分情况进行讨论是判定△PCD要等腰三角形的关键.

225．已知直线y2xm与抛物线yaxaxb有一个公共点M(1,0)，且ab．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点； （Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若1a1，求线段MN长度的取值范围； 2（ⅱ）求QMN面积的最小值． 【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q的坐标为（-

19a，-）；（Ⅱ）理由见解析；

24（Ⅲ）（i）55≤MN≤75.（ii）△QMN面积的最小值为

2792. 42

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax+ax+b=ax+ax-2a配方得y=a(x+

2

2

129a19a)- ,从而可得抛物线顶点Q的坐标为（- ，- ）. 24242

2

（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.

由y=2x-2、y=ax+ax-2a，可得ax+（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.

11 交直线y=2x-2于点E，得 E（-，-3）， 2227327a2

从而可得△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM = ，即27a+(8S-54)a+24=0，（*） 4a8（ii）作直线x=-因为关于a的方程（*）有实数根， 从而可和S≥

2792 ，继而得到面积的最小值. 42试题解析：（Ⅰ）因为抛物线过点M（1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(x+

2

2

129a19a)- ,所以抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.

24242

（Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M（1，0），所以0=2³1+m，解得m=-2. 把y=2x-2代入y=ax+ax-2a，得ax+（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△

=(a-2)-4a(-2a+2)=9a-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a0，所以△>0，所以方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点.

2

22

（ii）作直线x=--3），

又因为M（1，0），N（

111 交直线y=2x-2于点E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，22224-2，-6），且由（Ⅱ）知a<0， aa所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM=

2

1227327a9a2 = ， 2134a8a4即27a+(8S-54)a+24=0，（*）

因为关于a的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）-4³27³24≥0，即（8S-54）≥（362 ）

2

2

2

，

又因为a<0，所以S=

27327a27 > ,所以8S-54>0，所以8S-54>0， 4a84所以8S-54≥362，即S≥

2792 ， 42当S=

279222时，由方程（*）可得a=- 满足题意. 42327922242，b =时，△QMN面积的最小值为. 4233故当a=-

点睛：本题考查的二次函数的综合问题，能正确地应用待定系数法、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等是解决本题的关键.