2020年湖北省宜昌市中考数学试卷

2020年湖北省宜昌市中考数学试卷

一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每小题3分，计33分．）

1．（3分）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是

( )

A． B． C． D．

2．（3分）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8106吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是( ) A．8106

B．16106

C．1.6107

D．161012

3．（3分）对于无理数3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数的是( ) A．2332 B．33

C．(3)3

D．03 4．（3分）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EFGH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )

A．l是线段EH的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线

B．l是线段EQ的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线

5．（3分）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小

王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是( )

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A．小李现在位置为第1排第2列 C．小王现在位置为第2排第2列

B．小张现在位置为第3排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列

6．（3分）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是( )

A． B．

C． D．

7．（3分）诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察．如图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是( )

A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管 B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管 C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管 D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管

8．（3分）某车间工人在某一天的加工零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况．图中描

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述了这天相关的情况，现在知道7是这一天加工零件数的唯一众数．设加工零件数是7件的工人有x人，则( )

A．x16

B．x16

C．12x16

D．x12

9．（3分）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是( )

A．每走完一段直路后沿向右偏72方向行走 B．每段直路要短

C．每走完一段直路后沿向右偏108方向行走 D．每段直路要长

10．（3分）如图，E，F，G为圆上的三点，FEG50，P点可能是圆心的是( )

A． B．

C． D．

U)，实R11．（3分）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：UIR（或者I际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是( )

第3页（共28页）

A． B．

C． D．

二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计12分．）

12．（3分）向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，“体重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增加 kg”．

13．（3分）数学讲究记忆方法．如计算(a5)2时若忘记了法则，可以借助

(a5)2a5a5a55a10，得到正确答案．你计算(a2)5a3a7的结果是 ．

14．（3分）技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留两位小数）

15．（3分）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点）和一棵小树(A为小树位置）．测得的相关数据为：ABC60，ACB60，BC48米，则AC 米．

三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分．） 116．（6分）在“”“ ”两个符号中选一个自己想要的符号，填入222(1□)中的□，

2并计算．

x24x4x117．（6分）先化简，再求值：(x1)0，其中x2020．

x1x218．（7分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，

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点G在射线EF上，已知HFB20，FED45，求GFH的度数．

19．（7分）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围．

20．（8分）宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点．两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．

（1）若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；

（2）设选中C部门游三峡大坝的概率为P1，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为P2，请判断P1，P2大小关系，并说明理由．

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB23a，ABC60，过点B的O与边AB，BC分别交于E，F两点．OGBC，垂足为G，OGa．连接OB，OE，OF．

（1）若BF2a，试判断BOF的形状，并说明理由； （2）若BEBF，求证：O与AD相切于点A．

22．（10分）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域

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面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．

材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为

2；今年上半年，受鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去9年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为

3，同时公共营销区域面积与A，B两公司7总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点． 问题：

（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；

（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．

23．（11分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0ABO60，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE//DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．

（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DFFC；

（2）若延长AD与边GF交于点H，将GDH沿直线AD翻折180得到MDH． ①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；

②如图3，当tanABO为定值m时，设DGkDO，k为大于0的常数，当且仅当k2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．

24．（12分）已知函数y1x2m1，y2(2m1)x1均为一次函数，m为常数．

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（1）如图1，将直线AO绕点A(1,0)逆时针旋转45得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1x2m1，y2(2m1)x1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；

（2）若存在实数b，使得|m|(b1)1b0成立，求函数y1x2m1，y2(2m1)x1图象间的距离；

（3）当m1时，函数y1x2m1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2(2m1)x1图象交x轴于D点，将函数yy1y2的图象最低点F向上平移

56个单位后刚好落在一2m1次函数y1x2m1图象上．设yy1y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．)

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2020年湖北省宜昌市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．每小题3分，计33分．）

1．（3分）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是

( )

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（3分）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8106吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是( ) A．8106

B．16106

C．1.6107

D．161012

【分析】直接将铝、锰元素总量相加，再根据科学记数法的表示方法：a10n，可得答案． 【解答】解：铝、锰元素总量均约为8106吨，

铝、锰元素总量的和，接近值是：810681061.6107．

故选：C．

【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示方法：a10n，确定n的值是解题关键，

n是整数数位减1．

3．（3分）对于无理数3，添加关联的数或者运算符号组成新的式子，其运算结果能成为第8页（共28页）

有理数的是( ) A．2332 B．33

C．(3)3

D．03 【分析】选项A、B根据二次根式的加减法法则判断即可； 选项C根据乘方的定义以及二次根式的性质判断即可； 选项D根据任何数与0相乘得0判断即可．

【解答】解：A.23与32不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意； B.3323，故本选项不合题意；

C．(3)333，故本选项不合题意； D.030，故本选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 4．（3分）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EFGH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )

A．l是线段EH的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线

B．l是线段EQ的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线

【分析】根据垂直平分线的性质定理判断即可． 【解答】解：如图：

A．直线l为线段FG的垂直平分线，

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FOGO，lFG， EFGH，

EFFOOGGH，

即EOOH，

l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；

B．EOOQ，

l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；

C．

FOOH，

l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；

D．l为直线，EH不能平分直线l， EH不是l的垂直平分线，故此选项错误；

故选：A．

【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和判定定理，熟练运用定理是解答此题的关键． 5．（3分）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小

王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是( )

A．小李现在位置为第1排第2列 C．小王现在位置为第2排第2列

B．小张现在位置为第3排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列

【分析】根据坐标确定位置，从有序数对的两个数的实际意义考虑解答． 【解答】解：根据题意画出图形可得：

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A、小李现在位置为第1排第4列，选项说法错误； B、小张现在位置为第3排第2列，选项说法正确；

C、小王现在位置为第2排第3列，选项说法错误；

D、小谢现在位置为第4排第4列，选项说法错误；

故选：B．

【点评】本题考查了确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键． 6．（3分）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是( )

A． B．

C． D．

【分析】判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个锐角的和90即可． 【解答】解：例如C选项图中：三角形三个内角都是锐角，则90． 故选：C．

【点评】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

7．（3分）诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，意思是说要认清事物的本质，就必须从不同角度去观察．如图是对某物体从不同角度观察的记录情况，对该物体判断最接近本质的是( )

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A．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个垂直的空心管 B．是圆柱形物体和球形物体的组合体，里面有两个平行的空心管 C．是圆柱形物体，里面有两个垂直的空心管 D．是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管 【分析】根据三视图的特征，即可得到该几何体的形状．

【解答】解：由图可得，该物体是圆柱形物体，里面有两个平行的空心管， 故选：D．

【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

8．（3分）某车间工人在某一天的加工零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况．图中描述了这天相关的情况，现在知道7是这一天加工零件数的唯一众数．设加工零件数是7件的工人有x人，则( )

A．x16

B．x16

C．12x16

D．x12

【分析】根据统计图中的数据和题意，可知x16，本题得以解决．

【解答】解：101216，7是这一天加工零件数的唯一众数，加工零件数是7件的工人有x人， x16，

故选：A．

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【点评】本题考查条形统计图、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

9．（3分）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是( )

A．每走完一段直路后沿向右偏72方向行走 B．每段直路要短

C．每走完一段直路后沿向右偏108方向行走 D．每段直路要长

【分析】根据题意可得行走路线是正五边形，再根据正五边形的每个外角等于72度即可判断．

【解答】解：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，



36072， 5每走完一段直路后沿向右偏72方向行走．

故选：A．

【点评】本题考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是掌握多边形外角定义． 10．（3分）如图，E，F，G为圆上的三点，FEG50，P点可能是圆心的是( )

A． B．

C． D．

【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．

第13页（共28页）

【解答】解：FEG50， 若P点圆心，

FPG2FEG100．

故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

11．（3分）已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：UIR（或者IU)，实R际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是( )

A． B．

C． D．

【分析】分不同的已知量分别讨论后即可确定符合题意的选项．

【解答】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为I反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；

当I一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：UIR，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能， 故选：A．

【点评】考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够根据不同的定值确定函数关系类型，难度不大．

二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置．每小题3分，计12分．）

12．（3分）向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示，“体重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增加 1.5 kg”． 【分析】根据正负数的意答即可．

【解答】解：“体重减少1.5kg”换一种说法可以叙述为“体重增加1.5kg”．

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U，I与U成R

故答案为：1.5．

【点评】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键．

13．（3分）数学讲究记忆方法．如计算(a5)2时若忘记了法则，可以借助

(a5)2a5a5a55a10，得到正确答案．你计算(a2)5a3a7的结果是 0 ． 【分析】直接利用幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算计算得出答案． 【解答】解：(a2)5a3a7a10a100． 故答案为：0．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

14．（3分）技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为 0.99 ．（结果要求保留两位小数）

【分析】根据抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，所以估计合格件数的概率为0.99，问题得解．

【解答】解：抽检某一产品2020件，发现产品合格的频率已达到0.9911，

依此我们可以估计该产品合格的概率为0.99，

故答案为：0.99．

【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比及运用样本数据去估计总体数据的基本解题思想． 15．（3分）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点）和一棵小树(A为小树位置）．测得的相关数据为：ABC60，ACB60，BC48米，则AC 48 米．

【分析】根据等边三角形的判定与性质即可求解． 【解答】解：ABC60，ACB60， BAC60， ABC是等边三角形，

第15页（共28页）

BC48米， AC48米．

故答案为：48．

【点评】考查了等边三角形的判定与性质，关键是得到ABC是等边三角形． 三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置．本大题共有9小题，计75分．） 116．（6分）在“”“ ”两个符号中选一个自己想要的符号，填入222(1□)中的□，

2并计算．

【分析】添加想要的符号“”，先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；

添加想要的符号“”，先算乘方，再算乘法，最后算加法；如果有括号，要先做括号内的运算．

【解答】解：添加想要的符号“”， 1222(1)

2142

241

5；

添加想要的符号“”， 1222(1)

2142

241

5．

【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

x24x4x117．（6分）先化简，再求值：(x1)0，其中x2020．

x1x2【分析】先对分式的分子进行因式分解，然后通过约分进行化简，再代入求值即可．

(x2)2x1【解答】解：原式1

x1x2第16页（共28页）

x21

x1．

当x2020时，原式202012021．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．

18．（7分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知HFB20，FED45，求GFH的度数．

【分析】根据平行线的性质知GFBFED45，结合图形求得GFH的度数． 【解答】解：

AB//CD，

GFBFED45． HFB20，

GFHGFBHFB452025．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 19．（7分）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达．由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达．求t的取值范围．

【分析】根据路程速度时间结合原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围．

50t752【解答】解：依题意，得：，

60t752解得：2.5t3．

第17页（共28页）

答：t的取值范围为2.5t3．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

20．（8分）宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A，B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点．两转盘各部分圆心角大小以及选派部门、旅游景点等信息如图．

（1）若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大，试判断这个部门是哪个部门？请说明理由；

（2）设选中C部门游三峡大坝的概率为P1，选中B部门游清江画廊或者三峡人家的概率为P2，请判断P1，P2大小关系，并说明理由．

【分析】（1）计算各个部门的被选中的概率，得出答案；

（2）用列表法或树状图列举出所有可能出现的结果情况，从中找出“C部门游三峡大坝”频数，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的频数，进而求出相应的概率，比较得出答案． 【解答】解：（1）C部门， 理由：

PA9019011801，PB，PC， 360436043602选择C部门的可能性大；

（2）P1P2；

用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中“C部门游三峡大坝”的有2种，“B部门游清江画廊或者三峡人家”的也有2种，

第18页（共28页）

P12121，P2， 126126因此，P1P2．

【点评】本题考查列表法或树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB23a，ABC60，过点B的O与边AB，BC分别交于E，F两点．OGBC，垂足为G，OGa．连接OB，OE，OF．

（1）若BF2a，试判断BOF的形状，并说明理由； （2）若BEBF，求证：O与AD相切于点A．

【分析】（1）理由垂径定理得到BGFGa，则BGOG，FGOG，所以BOG和OFG都是等腰直角三角形，则BOF90，从而可判断BOF为等腰直角三角形．

（2）连接EF，如图，先证明BEF为等边三角形，再证明点E、O、G共线，即EGBF，接着计算出BE2BG23aAB，则可判断点A与点E重合，然后证明AGAD，从而得到O与AD相切于点A．

【解答】（1）解：BOF为等腰直角三角形． 理由如下：OGBC， BGFG1BFa， 2OGa，

BGOG，FGOG，

BOG和OFG都是等腰直角三角形， BOGFOG45， BOF90，

而OBOF，

BOF为等腰直角三角形．

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（2）证明：连接EF，如图， EBF60，BFBE，

BEF为等边三角形，

EBEF，

OG垂直平分BF，

点E、O、G共线，

即EGBF，

OGa，OBG30， BG3OG3a， BE2BG23a，

而AB23a，

点A与点E重合，

AD//BC，AGBF， AGAD，

O与AD相切于点A

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质和垂径定理．

22．（10分）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．

材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为

2；今年上半年，受鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去9年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为

3，同时公共营销区域面积与A，B两公司7第20页（共28页）

总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点． 问题：

（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；

（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．

【分析】（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？根据比的定义即可求解；

（2）根据同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，列出方程求出x，再求出去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．

【解答】解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？ 3n22， 9322n:n； 33（2）依题意有

33223n(1x%)[3n(1x%)n(14x%)3n(1x%)][3n(3nnnx%]， 7793100(x%)245x%130，

解得x%20%，x%65%（舍去），

设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，

今年上半年两公司总经济收益为1.5a3n(120%)an(1420%)7.2na， 去年下半年两公司总经济收益为1.5a3nan5.5na，

故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na):(7.2na)55:72． 故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55:72．

【点评】考查了一元二次方程的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．本题难度较大．

23．（11分）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0ABO60，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE//DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．

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（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DFFC；

（2）若延长AD与边GF交于点H，将GDH沿直线AD翻折180得到MDH． ①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；

②如图3，当tanABO为定值m时，设DGkDO，k为大于0的常数，当且仅当k2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．

【分析】（1）证明四边形GEFD是平行四边形，四边形GECF是平行四边形，得GEDF，GECF，进而得结论；

（2）①由折叠的性质知，GDHMDH，DHGM，再证明DGM45，进而得OEOG，再根据正方形的判定方法得出结论；

②先证明k2时，M点在矩形EOGF上，即点M在EF上，过点D作DNEF于点N，设OBb，证明MFH∽DNM，用b表示MN，再由勾股定理列出m、n的方程解答便可．

【解答】证明（1）四边形EOGF是矩形， EO//GF，GO//EF， GE//DC，

四边形GEFD是平行四边形，四边形GECF是平行四边形，

GEDF，GECF， DFFC；

（2）①如图1，由折叠的性质知，GDHMDH，DHGM， GE//CD， DGMBDC，

四边形ABCD是菱形，

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ADBBDC，COD90， ADBGDH， DGMGDH， DHGM， DGM45， OEG45， OEOG，

四边形EOGF是矩形，

四边形EOGF是正方形；

②如图2，四边形ABCD是菱形， ABDCBDADB，

GE//CD， DGECDB，

ABDCBDADBDGECDB， GDM2ABD，

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， tanABOm(m为定值）

点M始终在固定射线DM上并随k的增大向上运动，

当且仅当k2时，M点在矩形EOGF的外部， k2时，M点在矩形EOGF上，即点M在EF上，

设OBb，则，OAOCmb，DGDMkb2b，OG(k1)b3b，OEm(k1)b3mb，GHHMmkb2mb， FHOEGHm(k1)mkbmb，

过点D作DNEF于点N，

FHMFMHFMHDMN， FHMDMN， FDNM90， MFH∽DNM，



FHMH， MNDMmb2mb， MN2bMNb，

DM2DN2MN2，

(2b)2(3mb)2b2， 解得，m故m33，或m（舍)， 333． 3【点评】本题主要考查了正方形、菱形、矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的性质与判定，第（2）的关键k2时M点的位置．

24．（12分）已知函数y1x2m1，y2(2m1)x1均为一次函数，m为常数．

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（1）如图1，将直线AO绕点A(1,0)逆时针旋转45得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1x2m1，y2(2m1)x1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；

（2）若存在实数b，使得|m|(b1)1b0成立，求函数y1x2m1，y2(2m1)x1图象间的距离；

（3）当m1时，函数y1x2m1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2(2m1)x1图象交x轴于D点，将函数yy1y2的图象最低点F向上平移

56个单位后刚好落在一2m1次函数y1x2m1图象上．设yy1y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求解即可．用分类讨论的思想求出m的值． （2）利用非负数的性质求出m，可得y1x1，y2x1，如图1中，设直线yx1b的值，交x轴于G，交Y轴于H，直线yx1交x轴于T，交y轴于P．证明四边形PTHG是正方形可得结论．

（3）由题意yy1y2(2m1)x24m2x2m1，因为m1，所以2m10，推出二次函

2m2数y(2m1)x4mx2m1的开口向上，图象的最低点是顶点，可得顶点F(，

2m1(2m21)256由题意函数yy1y2的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次)，

2m12m1(2m21)2562m2函数y1x2m1图象上，可得(2m1)且m1，解方程求

2m12m12m122出m，可得二次函数的解析式，点D，点E坐标，再利用规则图形面积来估计不规则图形的面积，即可解决问题．

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【解答】解：（1）由题意，OAOB1， B(0,1)，

当y1x2m1是直线l时，2m11，解得m1， 当直线y2(2m1)x1是直线l时，2m11，解得m0， B(0,1)，m的值为1或0．

（2）|m|(b1)1b0，

1b0， b10，

|m|0，(b1)1b0， m0，b1， y1x1，y2x1，

如图1中，设直线yx1交x轴于G，交Y轴于H，直线yx1交x轴于T，交y轴于P．

OGOTOHOP1，GTPH，

四边形PTHG是正方形，

PGOG2OP22，

直线y1x1与直线y2x1之间的距离为2．

（3）

y1x2m1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2(2m1)x1图象交x轴于

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D点，

C(12m,0)，E(0,2m1)，D(1，0)， 2m1yy1y2(2m1)x24m2x2m1， m1， 2m10，

二次函数y(2m1)x24m2x2m1的开口向上，图象的最低点是顶点，

2m2(2m21)2顶点F(，)，

2m12m1函数yy1y2的图象最低点F向上平移图象上，

56个单位后刚好落在一次函数y1x2m12m1(2m21)2562m2(2m1)且m1，

2m12m12m1解得m2，

yy1y25x216x3，y1x3，y25x1， 1D(，0)，E(0,3)，

51由y5x216x3得到与x轴，y轴的交点为(3,0)，(，0)，(0,3)，

5抛物线经过D(，0)，E(0,3)两点，

15yy1y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，S为该封闭图形的面积，

探究方法：利用规则图形面积来估计不规则图形的面积． ①观察大于S的情形，如图2中，易知SDEOS， 1D(，0)，E(0,3)，

5113SODE3，

2510S3． 10②观察小于S的情形，

当直线MN//DE且与抛物线相切时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N， 直线DE的解析式为y15x3，设直线MN的解析式为y15xb1，

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y15xb1由，消去y得到，5x2x3b10， 2y5x16x3由题意△0，120(3b1)0， 解得b159， 2059， 20直线MN的解析式为y15xM(5959，0)，N(0,)， 30020159593481， SMON23002012000S3481， 1200034813S． 1200010综上所述，

【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，估算不规则图形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用规则图形的面积估算不规则图形的面积，属于中考压轴题．

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