一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（ ） A．∅
B．{3}
C．{3，4，5，6}
D．{4，5，6}
2．若a∈R，且复数a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝（ ） A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
3．已知向量＝（9，6），＝（3，x），若∥，则•（﹣）＝（ ） A．﹣26
4．已知函数f（x）＝A．1
B．2 B．﹣25
C．25
D．26
，则f（2021）＝（ ） C．log36
D．3
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α D．若m∥n，n⊂α，则m∥α
6．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，15），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得
＝60，
＝1200，则该地区这种野生动物数量的估计值 （ ）（这种
野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数） A．60
B．1200
C．12000
D．6000
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E为BC中点，点F为A1B1中点，若平面α过点F且与平面AEC1平行，则平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ） A．8．函数f
B．2
C．2
D．3
的部分图象如图中实线所示，图
中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是2π B．函数f（x）的图象关于点C．函数f（x）在
成中心对称
单调递增
后得到的关于y轴对称
D．将函数f（x）的图象向左平移
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的特2分，有选错的得0分。
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（ ） A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（ ） A．a2＝b2+c2﹣2bccosA C．a＝bcosC+ccosB
B．asinB＝bsinA D．acosB+bcosC＝c
11．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（ ） A．B．C．
＝与
的夹角的余弦值为＝﹣
D．△AED的面积为2
12．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DE＝2，G为线段AE上的动点，则（ ）
A．AE⊥CF
B．多面体ABCDEF的体积为
C．若G为线段AE的中点，则GB∥平面CEF D．BG2+CG2的最小值为11
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．cos 若对任意x∈R，（x﹣φ）＝sinx恒成立，则常数φ的一个取值为 ．14．已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为 ． 15．设函数f（x）＝ex+e﹣x﹣
，则使得f（2x）＞f（x+1）成立的x的取值范围是
16．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC中，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，AA1＝4， 点P在棱CC1上，当A1P⊥BP时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 ．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）（2﹣）＝43． （1）求与的夹角θ； （2）求
．
18．某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；（2）用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在[120，140]内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在[130，140]内的概率．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点． （1）证明：EF∥平面A1CD；
（2）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值．
20．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． （1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．
22．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0． （1）当a∈R时，解关于x的不等式；
（2）当x∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围．
参
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞5}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（ ） A．∅
B．{3}
C．{3，4，5，6}
D．{4，5，6}
解：∵集合A＝{x|2x﹣1＞5}＝{x|x＞3}，B＝{3，4，5，6}， ∴A∩B＝{4,5,6}． 故选：D．
2．若a∈R，且复数a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则a＝（ ） A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
解：复数a﹣1+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数， 所以a﹣1＝0且a﹣2≠0， 则a＝1． 故选：A．
3．已知向量＝（9，6），＝（3，x），若∥，则•（﹣）＝（ ） A．﹣26
B．﹣25
C．25
D．26
解：∵∥，∴9x＝18，∴x＝2，∴＝（3，2），∴﹣＝（6，4）， ∴•（﹣）＝3×6+2×4＝26． 故选：D． 4．已知函数f（x）＝A．1
B．2
，则f（2021）＝（ ） C．log36
，
D．3
解：根据题意，函数f（x）＝
则f（2021）＝f（﹣3+4×506）＝f（﹣3）＝log33+2＝3； 故选：D．
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ） A．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α D．若m∥n，n⊂α，则m∥α
解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误； 对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误；
对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确； 对于D，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故D错误． 故选：C．
6．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的150个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取15个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，…，15），其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，经统计得
＝60，
＝1200，则该地区这种野生动物数量的估计值 （ ）（这种
野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数） A．60
B．1200
C．12000
D．6000 ＝1200＝
，
解：由题意可知，15个样区的野生动物的平均数为
所以该地区这种野生动物数量的估计值为故选：C．
．
7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E为BC中点，点F为A1B1中点，若平面α过点F且与平面AEC1平行，则平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为（ ） A．
B．2
C．2
D．3
解：如图所示，取A1D1的中点G，则平面AEC1即为平面AEC1G， 过点F作GC1的平行线与B1C1交于点M，则B1M＝1， 过点M作C1E的平行线与BB1交于点N，则B1N＝2， 平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面为△FMN，且在△FMN中，
，
，
，
所以，
故△FMN的面积为故选：A．
．
8．函数f的部分图象如图中实线所示，图
中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期是2π B．函数f（x）的图象关于点C．函数f（x）在
成中心对称
单调递增
后得到的关于y轴对称
的部分图象，
D．将函数f（x）的图象向左平移解：根据函数f
c＝＝，
则＝﹣（﹣），∴ω＝2，函数的周期为＝π，故A错误；
∵函数关于点（，0）对称，
+
，0），则当k＝2时，对称中心为（
，0），故B
∴函数的对称中心为（不正确；
函数的一条对称轴为x＝＝，
与这条对称轴相邻的最小值的对称轴x＝与这条对称轴相邻的前一条对称轴为故函数的单调增区间为[﹣
+kπ，
﹣
+＝＝﹣
， ，
+kπ]，k∈Z， ，
]，k∈Z，故C正确；
当k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣∵f（x）的一条对称轴为x＝﹣∴函数f （x） 的图象向左平移此时，所得图象关于直线x＝﹣另外，由于f（x）的图象关于点（单位后，
，
个单位后， ﹣
＝﹣
对称，故D错误，
个
，0）对称，则函数f （x） 的图象向左平移
它的图象关于原点对称，故所得图象不关于y轴对称，故D错误． 故选：C．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分。部分选对的特2分，有选错的得0分。
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（ ） A．若数据x1，x2，…，xn，方差s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同
B．若数据x1，x2，…，xn，的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn，的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn，的众数为78，则可以说总体中的众数为78
解：对于A，数据x1，x2，…，xn的方差为s2＝0，则所有的数据xi（i＝1，2，…，n）相同，即x1＝x2＝⋯＝xn，所以选项A正确；
对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据yi＝2xi+1（i＝1，2，…，n）的均值为＝2×3+1＝7，所以选项B错误；
对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不
大于90，符合百分位数的定义，选项C正确；
对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，选项D错误． 故选：AC．
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（ ） A．a2＝b2+c2﹣2bccosA C．a＝bcosC+ccosB
解：由余弦定理可知A显然成立； 由正弦定理
，得asinB＝bsinA，B正确；
B．asinB＝bsinA D．acosB+bcosC＝c
因为bcosC+ccosB＝2RsinBcosC+2RsinCcosB＝2Rsin（B+C）＝2RsinA＝a，C成立； 因为acosB+bcosC＝2RsinAcosB+2RsinBcosC＝2R（sinAcosB+sinBcosC）≠2RsinC＝c，D不正确． 故选：ABC．
11．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（ ） A．B．C．
＝与
的夹角的余弦值为＝﹣
D．△AED的面积为2
解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， 故以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， 则A（0，0），B（3，0），C（0，4），D（1，0），E（所以对于A，因为所以
＝
，故选项A正确；
，
，
，
，
）， ，
，
对于B，
所以与的夹角的余弦值为，故选项B错误；
对于C，＝，故选项C正确；
，故选项D错误．
对于D，△AED的面积为故选：AC．
12．如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DE＝2，G为线段AE上的动点，则（ ）
A．AE⊥CF
B．多面体ABCDEF的体积为
C．若G为线段AE的中点，则GB∥平面CEF D．BG2+CG2的最小值为11
解：如图所示，将几何体ABCDEF补全成棱长为2的正方体， 在正方体中，因为CF∥DM，DM⊥AE，所以AE⊥CF，故A正确， 因为VABCDEF＝V正方体＝﹣2VF﹣AME＝8﹣2×
，所以B错误，
当G为线段AE的中点时，因为平面GBD∥CEF，所以GB∥CEF，故C正确， 过G作AD的垂线，垂足为H，连接HB，HC，
则BG2+CG2＝AB2+AG2+CD2+DG2＝8+AG2+DG2＝8+AH2+DH2+2GH2，
因为AH＝GH，所以BG2+CG2＝8+DH2+3AH2＝8+（2﹣AH）2+3AH2＝4AH2﹣4AH+12＝4（AH﹣
2
+11，
当AH＝时，BG2+CG2取得最小值为11，故D正确， 故选：ACD．
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sinx恒成立，则常数φ的一个取值为 解：因为对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin[恒成立， 所以
﹣x+φ＝π﹣x+2kπ，k∈Z，可得φ＝2kπ+
，k∈Z，
．
﹣（x﹣φ）]＝sin（
．
﹣x+φ）＝sin（π﹣x）
所以当k＝0时，可得φ＝故答案为：
．
，常数φ的一个取值为
14．已知一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互，则同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为 0.58 ． 解：一场足球比赛中，队员甲进球的概率为0.4，队员乙进球的概率为0.3，这两名队员是否进球相互，
同一场比赛中他们两人至少有一人进球的对立事件是他们两人同时不进球， ∴同一场比赛中他们两人至少有一人进球的概率为： P＝1﹣（1﹣0.4）（1﹣0.3）＝0.58． 故答案为：0.58．
15．设函数f（x）＝ex+e﹣x﹣
解：∵f（x）＝ex+e﹣x﹣
，
，则使得f（2x）＞f（x+1）成立的x的取值范围是
∴f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函数， 由f′（x）＝
+
＞0，
故f（x）在（0，+∞）上递增， 所以f（2x）＞f（x+1），
得|2x|＞|x+1|，解得：x＞1或x＜﹣， 故答案为：（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）
16．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称之为“堑堵”．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC中，AB⊥AC，且AB＝AC＝2，AA1＝4， 点P在棱CC1上，当A1P⊥BP时，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为 12π ．
解：在Rt△ABC中，由AB＝AC＝2，得BC＝在Rt△AA1B中，
，
设PC1＝a，则PC＝4﹣a（0＜a＜4）， 在Rt△A1C1P中，可得在Rt△BPC中，BP＝∵A1P⊥BP，∴得
即P为CC1的中点．
，
，解得a＝2，则PC＝4﹣a＝2．
，
．
∵底面ABC为直角三角形，∴外接圆的圆心在斜边BC的中点M处， 设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，则OM⊥平面ABC，且OM＝PC＝1． ∴R＝
，
∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×3＝12π． 故答案为：12π．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）（2﹣）＝43． （1）求与的夹角θ； （2）求
．
解：（1）||＝4，||＝3，（2﹣3）（2﹣）＝43． 可得所以所以cos可得（2）
＝＝
＝， ．
＝
＝
．
＝48，所以
＝6，
＝6，
18．某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140]后得到如图所示的频率分布直方图． （1）若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；（2）用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在[120，140]内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在[130，140]内的概率．
解：（1）众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为115． 平均数估计值为10×（85×0.005+95×0.010+105×0.020+115×0.03+125×0.025+135×0.010）＝114；
（2）由频率分布直方图得，成绩在[80，90）内的人数为0.005×10×400＝20人， [90，100）内的人数为0.010×10×400＝40人，
[100，110）内的人数为0.020×10×400＝80人，[110，120）内的人数为0.030×10×400＝120人，
[120，130）内的人数为0.025×10×400＝100人，[130，140]内的人数为0.010×10×400＝40人，
按照分层抽样方法，抽取20人，则成绩在[80，90）的1人，[90，100）的2人， [100，110）的4人，[110，120）的6人，[120，130）的5人，[130，140]的2人， 记成绩在[120，130）内的5人分别为a，b，c，d，e，成绩在[130，140]的2人分别为x，y，
则从成绩在[120，140]内的学生中任意取2人的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，e），
（b，x），（b，y），（c，d），（c，e），（c，x），（c，y），（d，e），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共21种， 其中成绩在[130，140]中至少有1人的基本事件有：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（e，x），（e，y），（x，y），共11种， 所以2人中至少有一人成绩在[130，140]内的概率
．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点． （1）证明：EF∥平面A1CD；
（2）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值．
解：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， AC∥A1C1，且AC＝A1C1．
连结ED，在三角形ABC中，因为D、E分别为AB、BC的中点， 所以DE＝AC且DE∥AC，
又因为F为A1C1的中点，可得A1F＝DE，且A1F∥DE， 即四边形A1DEF为平行四边形，所以A1D∥EF．
又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．
（2）易知：A1D∥EF，直线EF与直线A1B1所成角，就是直线A1D与直线A1B1所成角，也是∠A1DA，
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等． D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点． 设棱长为2，则AD＝1，A1D＝
，sin∠A1DA＝
．
＝
．
直线EF与直线A1B1所成角的正弦值为
20．△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC． （1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC， 由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc， 即为b2+c2﹣a2＝﹣bc， 由余弦定理可得cosA＝由0＜A＜π，可得A＝（2）由题意可得a＝3， 又B+C＝
，可设B＝
﹣d，C＝
+d，﹣
＜d＜
，
；
＝﹣
＝﹣，
由正弦定理可得＝＝＝2，
可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（[sin（
+d）， ﹣d）+sin（
+d）]＝3+2
（
cosd﹣
则△ABC周长为a+b+c＝3+2
sind+cosd+＝3+2
cosd，
sind），
当d＝0，即B＝C＝另解：a＝3，A＝
时，△ABC的周长取得最大值3+2，又a2＝b2+c2﹣2bccosA，
．
∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2， 由b+c＞3，则b+c≤2
（当且仅当b＝c时，“＝”成立），
．
则△ABC周长的最大值为3+2
21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． （1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．
解：（1）证明：因为AB＝AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， 所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD， 所以AO⊥CD； （2）方法一：
取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD， 过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD， 所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则B（0，﹣1，0），设A（0，0，t），则
，D（0，1，0）， ，
，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为设平面BCE的法向量为又
，
，
所以由，得，
令x＝，则y＝﹣1，，故，
因为二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，
所以，
解得t＝1，所以OA＝1， 又故方法二：
过E作EF⊥BD，交BD于点F，过F作FG⊥BC于点G，连结EG， 由题意可知，EF∥AO，又AO⊥平面BCD 所以EF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD， 所以EF⊥BC，又BC⊥FG，FG∩EF＝F 所以BC⊥平面EFG，又EF⊂平面EFG， 所以BC⊥EG，
则∠EGF为二面角E﹣BC﹣D的平面角，即∠EGF＝45°， 又CD＝DO＝OB＝OC＝1，
所以∠BOC＝120°，则∠OCB＝∠OBC＝30°， 故∠BCD＝90°， 所以FG∥CD， 因为则
，
，
，所以
＝
．
，
所以，则，
所以EF＝GF＝，则所以
，
．
22．已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a≤0． （1）当a∈R时，解关于x的不等式；
（2）当x∈[2，3]时，不等式ax2﹣x+1﹣a≤0恒成立，求a的取值范围． 解：（1）不等式ax2﹣x+1﹣a≤0可化为（x﹣1）（ax+a﹣1）≤0， 当a＝0时，不等式化为x﹣1≥0，解得x≥1， 当a＜0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣解得x≤
，或x≥1；
）≤0；
， ）≥0，
当a＞0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣①0＜a＜时，②a＝时，③a＞时，
＞1，解不等式得1≤x≤＝1，解不等式得x＝1， ＜1，解不等式得
≤x≤1．
综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}， 当a＜0时，不等式的解集为{x|x≤0＜a＜时，不等式的解集为{x|1≤x≤a＝时，不等式的解集为{x|x＝1}， a＞时，不等式的解集为{x|
≤x≤1}．
或x≥1}，
}，
（2）由题意不等式ax2﹣x+1﹣a≤0化为a（x2﹣1）≤x﹣1， 当x∈[2，3]时，x﹣1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]， 所以原不等式可化为a≤
恒成立，
设f（x）＝，x∈[2，3]，
则f（x）的最小值为f（3）＝， 所以a的取值范围是（﹣∞，]．
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