第三章 数列综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．(2009·杭州模拟卷)在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3＝
( )
A．4 B．5 C．6 D．7 答案：A
解析：解法一：因为{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1＋10d＝20，∴a1＋2d＝4，即a3＝4.
解法二：在等差数列中，a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，
所以由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20得5a3＝20，∴a3＝4. 2．(2010·甘肃省会宁五中期中考试)等差数列{an}中，已知a5＋a7＝10，Sn是数列{an}的前n项和，则S11＝ ( )
A．45 B．50 C．55 D．60 答案：C
a1＋a11a5＋a710
解析：S11＝2×11＝2×11＝2×11＝55，故选C. a1＋a3＋a5＋a71
3．已知等比数列{an}的公比q＝－3，则等于
a2＋a4＋a6＋a8
( )
11
A．－3 B．－3 C.3 D．3 答案：B
a1a3a5a71
解析：∵a＝a＝a＝a＝q，
2468
a1＋a3＋a5＋a71∴＝q＝－3. a2＋a4＋a6＋a8
4．(2009·广东，4)已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ ( )
A．(n－1)2 B．n2 C．(n＋1)2 D．n2－1 答案：B
解析：∵a5·a2n－5＝22n＝a2n，an＞0， ∴an＝2n，
∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…
＋(2n－1)＝log
＝n2.故选B.
5．一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)7次，这时，报纸的厚度和面积分别为 ( )
bb
A．8a，8 B．a，
bb
C．128a，128 D．256a，256 答案：C
22n2
解析：将报纸依次对折，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，
1
公比分别为2和2，故对折7次后报纸的厚度为27a＝128a，报纸的面
1b
积为27b＝128，选C.
n
6．若数列{an}的通项公式为an＝2n，则前n项和为 ( )
11n
A．Sn＝1－2n B．Sn＝2－n－1－2n
2
11n
C．Sn＝n(1－2n) D．Sn＝2－n－1＋2n 2
答案：B
解析：可用错位相减求或验证S1、S2.
a17．等比数列{an}的前n项之和为Sn，公比为q，若S3＝16且
1－q
128
＝9，则S6＝
( )
A．14 B．18 C．102 答案：A
128a1
解析：由9＝，S3＝16，
1－qa1(1－q3)9313即＝16,1－q＝8，q＝－8，
1－q
则S6＝S3＋S3·q3＝14. 8．(2009·北京市西城区)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前
a2
n项和，且S1、S2、S4成等比数列，则a等于
1
( )
A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：设等差数列{an}首项为a1，公差为d≠0，因为S1、S2、S4
a2成等比数列，所以a1·(4a1＋6d)＝(2a1＋d)2，解得2a1＝d，因此a＝3，
1选择C.
9．在数列{an}中an≠0，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5
( )
A．是等差数列 B．是等比数列
C．三个数的倒数成等差数列 D．三个数的平方成等差数列 答案：B
解析：∵2a2＝a1＋a3① a2a4② 3＝a2·211a4＝a3＋a5③
a1＋a3
2
由①/③得a2a4＝11，化简得a3＝a1·a5，故选B.
a3＋a5
→＝a OA→＋aOC→，10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB12009
且A、B、C三点共线(O为该直线外一点)，则S2009等于
D．144
( ) 2009
A．2009 B.2 C．22009 D．2－2009 答案：B
→＝a OA→＋aOC→，且A、B、C三点共线． 解析：∵OB
1
2009
∴a1＋a2009＝1. 又{an}是等差数列，
(a1＋a2009)2009
∴S2009＝×2009＝2.故选B. 2
11．在△ABC中，tanA是第3项为－4，第7项为4的等差数列
1
的公差，tanB是第3项为3，第6项为9的等比数列的公比，则△ABC是 ( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 答案：B
解析：由题意，得tanA＝2，tanB＝3，于是tanC＝－tan(A＋B)＝－＝1，故选B.
1－tanA·tanB
S1＋S2＋…＋Sn12．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn
n为数列a1，a2，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a400的“理想数”为2005，那么数列9，a1，a2，…，a400的“理想数”为 ( )
A．2004 B．2005 C．2009 D．2008 答案：C
S1＋S2＋…＋S400
解析：由T400＝＝2005， 400则S1＋S2＋…＋S400＝2005×400， 9，a1，a2，…，a400的“理想数”＝
9×401＋S1＋S2＋…＋S4002005×400
＝9＋401＝2009. 401tanA＋tanB
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)
13．等差数列{an}中，a4＋a5＝8，a9＋a10＝28，则a1等于________． 答案：－3
解析：由a4＋a5＝2a1＋7d＝8，a9＋a10＝2a1＋17d＝28， 解得a1＝－3.
5
14．(2009·北京宣武)在等比数列{an}中，a1＋a3＝4，a4＋a6＝10，则a4＝________.
答案：2
52a1(1＋q)＝4，解析：由题意可得
a1q3(1＋q2)＝10，
1a＝14，解得
q＝2，
13
所以a4＝4×2＝2.
15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N*)，则an＝__________.
31n－1
答案：4(－4)
an＋3
解析：由an＝5Sn－3得Sn＝5 an－1＋3
当n≥2时Sn－1＝5， an－an－1an1∴an＝，即＝－ 54an－1
又当n＝1时，a1＝5a1－3，
331n－1
∴a1＝4，则an＝4(－4).
16．若⊗表示一种运算，且有如下表示：1⊗1＝2、m⊗n＝k、(m＋1)⊗n＝k－1、m⊗(n＋1)＝k＋2，则2007⊗2007＝________.
答案：2008
解析：由m⊗(n＋1)－m⊗n＝k＋2－k＝2，取m＝1，可得数列{1⊗n}是以1⊗1＝2为首项，以2为公差的等差数列，因此1⊗2007＝2＋(2007－1)×2＝4014.又由(m＋1)⊗n－m⊗n＝k－1－k＝－1，取n＝2007，得数列{m⊗2007}是以1⊗2007＝4014为首项，以－1为公差的等差数列，于是2007⊗2007＝4014＋(2007－1)×(－1)＝2008.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
17．(2009·山东曲阜测试)(本小题满分10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝10，S4＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设{an}的首项为a，公差为d，由a4＝10，S4＝22得
a1＋3d＝10，4×3
4a1＋2d＝22，
解得a1＝1，d＝3，
∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)bn＝2an＝23n－2＝2×8n－1，则数列{bn}是以2为首项，8为公比的等比数列，它的前n项和
2(8n－1)2nTn＝＝7(8－1)．
8－1
18．(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m.那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解析：(1)设nmin后第1次相遇， n(n－1)
依题意，有2n＋2＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7或n＝－20(舍去)． 故第1次相遇是在开始运动后7min. (2)设nmin后第2次相遇，
n(n－1)
依题意，有2n＋2＋5n＝3×70， 整理得n2＋13n－6×70＝0， 解得n＝15，n＝－28(舍去)．
故第2次相遇是在开始运动后15min. 19．(2009·辽宁，17)(本小题满分12分)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn.
解析：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
12
由于a1≠0，故2q＋q＝0.又q≠0，从而q＝－2. 12
(2)由已知可得a1－a1(－2)＝3，故a1＝4.
1
4[1－(－2)n]
81n
从而Sn＝1＝3[1－(－2)]．
1－(－2)
1
20．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝3(an
－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
1
解析：(1)由Sn＝3(an－1)，得
11a1＝3(a1－1)，所以a1＝－2. 1
又S2＝3(a2－1)，
11
即a1＋a2＝3(a2－1)，得a2＝4. (2)证明：当n＞1时，
11an1
an＝Sn－Sn－1＝3(an－1)－3(an－1－1)，得＝－2，故{an}是首
an－1
11
项为－2，公比为－2的等比数列(n∈N*)．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝
1an＋n，n为奇数2
an－2n，n为偶数
，记bn＝a2n，n∈N*.
(1)求a2，a3；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)求证S2n＋1＝a1＋a2＋…＋a2n＋a2n＋1.
35
解析：(1)a2＝2，a3＝－2. 1
(2)当n≥2时，bn＝a2n＝a(2n－1)＋1＝2a2n－1＋(2n－1) 111
＝2[a2n－2－2(2n－2)]＋(2n－1)＝2a2(n－1)＋1＝2bn－1＋1
11
∴bn－2＝2(bn－1－2)，又b1－2＝a2－2＝－2，
11n－111
∴bn－2＝－2·(2)＝－(2)n，即bn＝2－(2)n. (3)∵a2n＋1＝a2n－4n＝bn－4n ∴S2n＋1＝a1＋a2＋…＋a2n＋a2n＋1
＝(a2＋a4＋…＋a2n)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1)
＝(b1＋b2＋…＋bn)＋[a1＋(b1－4×1)＋(b2－4×2)＋…＋(bn－4×n)]
＝a1＋2(b1＋b2＋…＋bn)－4×(1＋2＋…＋n)
11n[1－(－n(n＋1)22)]
＝1＋2(2n－)－4×2 1
1－2
1n－1
＝(2)－2n2＋2n－1. 22．(2010·黄冈市高三12月份质检)(本小题满分14分)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：
①对任意x∈[0,1]，总有f(x)≥2； ②f(1)＝3；
③若x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2.
(1)求f(0)的值；
(2)试求f(x)的最大值；
(3)设数列{an}的前n项为Sn，满足a1＝1，
1
Sn＝－2(an－3)，n∈N*.
31
求证：f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)＝2＋2n－. 2×3n－1
解析：(1)令x1＝x2＝0，则f(0)＝2f(0)－2，∴f(0)＝2. (2)任取x1，x2∈[0,1]且x1＜x2，则0＜x2－x1≤1， ∴f(x2－x1)≥2.
∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－2≥ f(x1)，∴f(x)在[0,1]上为增函数，
∴f(x)的最大值为f(1)＝3.
1
(3)∵Sn＝－2(an－3)(n∈N*)，
1
∴Sn－1＝－2(an－1－3)(n≥2)，
11
∴an＝－2an＋2an－1(n≥2)，
1
∴an＝3an－1(n≥2)，又∵a1＝1≠0， an1∴＝3(n≥2)， an－1
1
∴数列{an}是以1为首项，公比为3的等比数列，
1
∴an＝n1. 3－
11111
f(an＋1)＝f(3n)＝f(n1＋n1＋n1)＝3f(n1)－4，
3＋3＋3＋3＋
1114∴f(n1)＝3f(3n)＋3，
3＋111
∴f(n1)－2＝3[f(3n)－2]，
3＋111
∴{f(3n)－2}是以f(3)－2为首项，公比为3的等比数列．
111∴f(3n)－2＝(f(3)－2)·(3)n－1，
1111
∴f(1)＝f(3＋3＋3)＝3f(3)－4，
17∴f(3)＝3，
1111
∴f(3n)－2＝(3)n，即f(3n)＝(3)n＋2. ∴f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)
111
＝f(1)＋f(3)＋f(32)＋…＋f(n1) 3－
111
＝2＋3＋2＋32＋2…＋n1＋2
3－
11131＝(1＋3＋32＋…＋n1)＋2n＝2＋2n－n1.
3－2·3－