(完整版)高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练

一。 教学内容:

三角函数总结及统练

(一)基础知识

1。 与角终边相同的角的集合S{2k,kZ}

2。 三角函数的定义（六种）-—三角函数是x、y、r三个量的比值 3. 三角函数的符号—-口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=sin 余弦线OM=cos 正切线AT=tan

5. 同角三角函数的关系

平方关系:商数关系:

倒数关系：tancot1 sincsc1 cossec1 口诀：凑一拆一;切割化弦；化异为同。

6。 诱导公式-—口诀：奇变偶不变，符号看象限。  2k   sin cos tan cot

 sin cos tan cot 2 sin cos tan cot 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 余切 cot 7。 两角和与差的三角函数

sin cos tan cot 2 cos sin cot tan 2 cos sin cot tan (完整版)高考数学三角函数知识点总结及练习

sin()sincoscossintantantan()sin()sincoscossin1tantancos()coscossinsintan()tantan1tantan)coscossinsin cos( 8。 二倍角公式——代换：令

sin22sincos2222cos22cos112sincossin2tantan21tan2

1cos22sin2cos21cos22降幂公式

sin2半角公式：

1cos1cos1coscostan2221cos 2；;

1cossin2sin1cos

9。 三角函数的图象和性质

tan

函数 ysinx ycosx ytanx 图象 定义域 值域 最值 R R x|xR且xk,kZ2 R 无最大值

[1,1] [1,1] x2k/2时ymax1 x2k时ymax1 x2k时ymin1 (完整版)高考数学三角函数知识点总结及练习 无最小值 x2k/2时ymin1 周期性 奇偶性 周期为2 奇函数 周期为2 偶函数 周期为 奇函数 在[2k2,2k2 ]在[2k,2k]上都是增函数，在k,k22在内都是增函数（kZ） 上都是增函数；在单调性 3[2k,2k]22 上都是减函数（kZ) [2k,2k]上都是减函数（kZ） 10。 函数yAsin(x)的图象变换 A0,0

函数yAsin(x)的图象可以通过下列两种方式得到：

图象左移ysinxysin(x)（1） A倍ysin(x)纵坐标伸长为原来的yAsin(x)

1横坐标缩短到原来的倍ysin(x)(2）ysinx

1横坐标缩短到原来的倍图象左移A倍ysin(x)纵坐标伸长为原来的yAsin(x)

(二)数学思想与基本解题方法

1。 式子变形原则:凑一拆一；切割化弦；化异为同. 2。 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。

3。 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。 4。 角的和与差的相对性

如：()－ 角的倍角与半角的相对性

如：

2,2224

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5。 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍. 6。 数形结合:心中有图，观图解题。

7。 等价转化的思想:将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级. 8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】

yasinxbcosxa2b2sin(x),tanba(化成一个角的一个三角函数）

1。 如：

ysinxcosx2sin(x)；ysinx3cosx2sin(x)43y3sinxcosx2sin(x)6

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

22f(x)sinx2sinxcosx3cosx (1）

2(2）f(x)sinxsinxcosx1

解：

（1）

y22sin(2x4，ymax22，

)xk8(kZ)

ymin22,xky3(kZ)8

（2）

32323sin(2x)ymaxxk(kZ)224，2,8

ymin32xk(kZ)2,8

2.“1”的妙用—-凑一拆一

熟悉下列三角式子的化简

12sincossincos2sin()4

1sin12sin2cos2sin2cos22sin()24

1cos2sin2；

1cos2cos2

[例2］ 化简21sin822cos8 。

答案:2sin4

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3。 化异为同

[例3］ 已知tan2,求：

sin22sincos22（1）sincos （2)3cossin 答案：（1）3；(2)14

[例4] 已知

tan222,22cos2，求：

2sin1

sincos答案：322

4。 sincos与sincos间的相互转化

t21sincos2;sint21；sincos= （1）若sincost，则

2t2

(2）若sincost，则sincos12t；sincos12t

（3）

tancot12sincossin2

[例5］ 化简：

答案:22

tan8cot8 .

[例6] 若在第二象限，

sin2cos25sincos2，求22。

答案：

32

5. 互为余角的三角函数相互转化

若

2，则sincos；cossin

［例7］ 已知

sin(3)1cos()4，则6 。

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1答案：4

sin40sin50cos10［例8] 求值: 。

1答案：2

［例9] 求值：sin18sin54 。

1答案：4

6。 公式的变形及活用

（1)tantantan()[1tantan]

(2）若

AB4(1tanA)(1tanB)2

［例10］ 计算(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan45) 。

答案：2

23[例11] tan70tan103tan70tan10 。

答案：3

7。 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性

1tan,tan()23［例12］ 若，则tan 。

答案：7

［例13] 若

5cos(2)7cos20,则

tan2tan2 。

答案：6

[例14] 在ABC中，A为最小角，C为最大角，且cos(2AC)0.8，sinB0.8,求cos(2B2C)的值。

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527答案：625

8。 角的范围的限定

由于条件中的三角式是有范围的,所以求值时可排除值的多样性。

1sincos,(0,)3[例15] 已知，求cos2。

179

答案:

[例16］ 若是第二象限角且

sin2cos25sincos2,求22的值.

解法一:利用公式

(sincos)21sin22然后限定角的范围.

解法二:设

sin2cos2t利用平方和求t的值,然后限定角的范围。

解法三：利用

(sincos)(sincos)2222cos，可回避限定角的范围。

 答案：

32

9. 在三角形中的有关问题

ABCABC180；AB180C；222 结论：sin(AB)sinC；cos(AB)cosC

sinABCABCcoscossin22;22

[例17］ 已知A、B、C是ABC的内角且lgsinAlgsinBlgcosClg2，试判断此三角形的形状。

答案:等腰三角形，B=C

［例18］ 在锐角三角形ABC中，求证：sinAsinBsinCcosAcosBcosC

证明:由

AB2则

02BA2

故sinAcosB 同理sinBcosC sinCcosA

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三式相加,得证。

n 10。 形如cos2cos4cos8cos2的化简

24coscoscos777 ［例19] 求值：（1）cos36cos72 （2）

11答案：（1）4（2）8

11. 三角函数图像和性质的应用

会求—-定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。

［例20] 求下列函数的定义域。

（1）ylgsin(cosx) （2）

y2log0.5xtanx

答案：

（1）

(2k2,2k2)(kZ)

(0,)[,4]2（2)

[例21] 求下列函数的值域.

（1）

ysinxx[0,]2sinx

（2）若x是锐角，则ysinxcosx的值域.

1[0,]答案：（1）3 （2）(1,2]

12。 可化为形如:yAsin(x)B的形式（一个角的一个三角函数）

22y3cosx23sinxcosxsinx，求“一套”[例22］ 已知函数。

答案：

y2sin(2x6)2，定义域:R；值域:[0,4]，ymax4，ymin0；T

对称轴

xk(kZ)[k,k]2636 增区间：

减区间：

[k6,k2](kZ)3

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13. 函数yAsin(x)B的图像的变换-—两个题型，两种途径

题型一：已知解析式yAsin(x)B确定其变换方法

变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩;其二,先横向伸缩后平移. 注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系 题型二：由函数图像求其解析式yAsin(x)B

［例23］ 已知函数yAsin(x)，（A0,0，

2）在一个周期内，当

x6时，y有最大值为

2，当

x23时，y有最小值为2，求函数表达式，并画出函数yAsin(x)在一个周期内的简图。（用

五点法列表描点）

答案：

y2sin(2x6

)

2yatbtc，tD（定义域有的一元二次函数） 14。 可化为形如：

y［例24] 求函数

3(2cosx)(5cosx)的值域

11[,]解：42

[例25] 已知ycos2xasinx，若记其最大值为g(a),求g(a)的解析式.

a2a2y(sinx)124，当a2时，g(a)a 解:

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a2g(a)12a24 当时，当a2时，g(a)a 15。 周期函数与周期

[例26］ 已知函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(2xT)f(2x),其中T0，则f(x)的周期 . 解：T

[例27] 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(x2)f(x)成立，求其周期。

解：4

［例28］ 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有f(x2)f(2x)成立,求其周期。

解：8

[例29］ 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有

解：6

f(x3)1f(x)成立，求其周期。

［例30］ 已知奇函数yf(x)对定义域中每一个x都有解：6

16. 函数与方程的思想

[例31］ 方程100sinxx的解的个数 。

解：63

f(x3)1f(x)1f(x)成立 ，求其周期.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到?

66f(x)sinxcosx

222。 已知tan2，求：sin2sincos3cos

3。 设

sincos14，则sincos 。

4。 求ysinxcosxsinxcosx的最大值和最小值。

cos40sin50(13tan10)5. 求值：

sin701cos40。

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6. 若

sincos15；(0,)，求cot

tan()11tan2，7，求2的值.

7。 已知、(0,)且

8。 a为何值时方程cos2xcosxa0有解？

9。 方程cos2xasinx0，x[0,]有两解时求a的值。 10。 求值：

(1)cos20cos40cos60cos80 （2）sin18sin54 11. 求下列函数的定义域。 ylgsinxtanx3

12。 已知函数y3cosx23sinxcosxsinx，当到？

22x[,]44时,求函数的最大值和最小值及何时取

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【试题答案】

3ky1sin22xy1x(kZ)max421。 ，， ymin1kx(kZ)4,24

6112. 5 3。 2

4。 令tsinxcosx，

y1333yminymax2(t1)24，424,t[2,2]，

5. 2 6.

43

7。

提示：关键是角的范围的限定,逐层限定角的范围，逐步求细。

解：

tantan[()]13 tan(2)tan[()]1

又由2得

2，

04得

022

则20故

234

9a[2,]8 8。

9. a(,1)

1110.（1）16 （2）4

11.

(2k,2k2)(2k2,2k)3 （kZ)

x12。 当

x4时,ymin23；

6时,ymax4