数学分析选讲参

数学分析选讲参

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《数学分析选讲》A/B模拟练习题参

一、选择题：（共18题，每题3分） 1、下列命题中正确的是（ A B ）

A、若F'(x)f(x)，则F(x)c是f(x)的不定积分，其中c为任意常数 B、若f(x)在[a,b]上无界，则f(x)在[a,b]上不可积 C、若f(x)在[a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上可积 D、若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上可积 2、设f(x)3x4x2，则当x0时，有（ B ） A．f(x)与x是等价无穷小 B．f(x)与x同阶但非是等价无穷小 C．f(x)是比x高阶的无穷小 D．f(x)是比x低阶的无穷小

3、若f为连续奇函数,则fsinx为( A ) A、奇函数 B、偶函数

C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 4、函数f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的（ A ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件. 5、若f为连续奇函数,则fcosx为( B ) A、奇函数 B、偶函数

C、非负偶函数 D、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 6、设f(x)arctanx, 则x0是f(x)的（ B ） xA. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 7、设N,当nN时,恒有anbn,已知limanA,limbnB.则正确的

nn选项是( A )

A、AB B、AB C、AB D、A和B的大小关系不定. 8、函数f(x,y) 在点(x0,y0)连续是它在该点偏导数都存在的（ A ） A.既非充分也非必要条件 B充分条件 C.必要条件 D.充要条件 9、极限lim3x212x13x3( D )

A、

332

B、332

C、332

D、不存在.

10、部分和数列{Sn}有界是正项级数un收敛的( C )条件

n1A. 充分非必要 B. 必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要

sinxx211、极限lim( A )

x0x1A、e B、e C、e3 D、不存在. 12、与limxna的定义等价的是（ B D ）

n1313A、0, 总有xna

B、0, 至多只有{xn}的有限项落在(a,a)之外 C、存在自然数N，对0,当nN，有xna D、0(01),存在自然数N，对nN,有xna 13、曲线y1ex1e2x2( D )

A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线

C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线 14、下列命题中，错误的是（ A D ）

A、若f(x)在点x0连续，则f(x)在x0既是右连续，又是左连续

B、若对0,f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)上连续 C、若f(x)是初等函数，其定义域为(a,b)，x0(a,b)，则limf(x)f(x0)

xx0D、函数yf(x)在x0点连续的充要条件是f(x)在x0点的左、右极限存在且相等

15、设an 为单调数列，若存在一收敛子列anj，这时有（ A ） A、limanlimanj

njB、an不一定收敛 C、an不一定有界

D、当且仅当预先假设了an为有界数列时，才有A成立 16、设f(x)在R上为一连续函数，则有（ C ） A、当I为开区间时f(I)必为开区间 B、当f(I)为闭区间时I必为闭区间 C、当f(I)为开区间时I必为开区间 D、以上A,B,C都不一定成立 17、下列命题中错误的是（ Ａ Ｃ ）

unA、若lim1，级数vn收敛，则un收敛；

nvn1n1nB、若unvn(n1,2)，级数vn收敛，则un不一定收敛；

n1n1un11,则un收敛； C、若un是正项级数，且N,nN,有un1n1nD、若limun0，则un发散

nn118、设 un为一正项级数，这时有（ D ）

n1A、若limun0,则 un收敛

nn1B、若 un收敛，则limn1un11

nunC、若 un收敛，则limnun1

n1nD、以上A,B,C都不一定成立

二、填空题：（共15题，每题2分） 1、设x2sinycosycos2y0，则yy22或-2 11lim(1)n=

ne 2、n1lim(1)n1= e

n3、nx21lim2= 2 x02xx24、

5、设(xn10)2收敛，则limxn= 10

n1n x212lim2= x12xx13 6、

7、

(x,y)(0,0)limxy2 xy11 lim8、

x0sin4x8

x11 3sin3xC 9、设F(x)cosx，则F(x) sinx310、设yex，则y(2016) ex 11、幂级数n13xnn12的收敛半径为 1

x3sin2xdx的值为 0 12、积分41x2x21113、曲线yx22x8与x轴所围成部分的面积为 36

x1e limx1x 14、

x2y2lim= 0 (x,y)(0,0)x2y215、

x三、计算题：（共15题，每题8分） 1、求xsinxdx.

解：xt,xsinxdx2t2sintdt2t2dcost2t2cost4tcostdt

2t2cost4tdsint2t2cost4tsint4sintdt=2xcosx4xsinx4cosxC 2、将f(x)

x展开成x的幂级数，并指出其收敛域。 21x2xn11111n解：f(x)[] =[x(2x)] =[1(1)n12n]xn

3n131x12x3n0n01x1 且由  知 x

22x13、求lim(nn1n53sinn!)

解：原式＝０（有界量乘以无穷小量） 4、求cosxdx x解：令xt，原式＝2costdt2sintC2sinxC

ln(1x2x5)5、求lim

x01cosxx2x52 解：原式＝ limx0x22xexln(1x)6、求极限lim 2x0x解：

xexln(1x)limlim2x0x0xlimexxex2x1(1x)12 (1x)2exxexx023212xsinx7、设y0x0x0 , 求y

11解：当x0时，y2xsincos；

xx1x2sin0xylim0x0x0x(sin11) x2xsin,x0x8、设f(x)A,x0，其中A,a,b为何值时，f(x)在x=0处可导，为什

ax2b,x0么，并求f'(0)。

f(x)f(0)解：limlimx0x0xlimxsinx0x2sinxxAlim(xsinx0A) xxx0，故要使f'(0)存在，必须A0

f(x)f(0)ax2bblimlim(ax) 又limx0x0x0xxx要使有导数存在,必须b=0.

综上可知,当A=b=0,a为任意常数时，f(x)在x=0处可导，且f'(0)0

9、计算下列第一型曲面积分：(x2y2z)ds,其中S为z1,x2y21.

S解: S由平面构成:S2:z1,x2y21.

x

10、x(1x)解：

 x11x(1x)x1xx11dx()dxlnxln1xCx(1x)x1x11、

limx0x0cos2tdt sint解：由洛必达（L’Hospital）法则得 12、解：

201-sin2xdx

20

1-sin2xdx4020(sinx-cosx)dxsinx-cosxdx202(cosxsinx)dx2(sinxcosx)dx42(sinxcosx)04(sinxcosx)422213、 解: 14、 sinxcosxcosxsinx22dx

sinxcosxcos2xsin2xdx1sin2x1dcos2x1dxcos2xC 2cos2x42cos2x1cosxdx

xsinx1cosxdxsinxdxlnxsinxC 解: xsinxxsinxlnlnx

dx15、xlnlnxdxdxlnlnxdlnxlnxlnlnxlnxlnlnx1C 解: xx四、证明题（共17题，共156分）

1、（6分）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)0。试证：

如果f(a)f(b)0，则方程f(x)0在(a,b)内仅有一个实根。 证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，

于是由零点存在定理知，至少存在一点a,b使得f()0，又f'(x)0， 因此知fx在a,b上为严格格单调增加的， 故方程f(x)0在(a,b)内仅有一个实根。

x22x2、（10分）指出函数f(x)的不连续点，并判定不连续点的类型. 2x(x4)解：f(x) 的不连续点为x0,x2 又 limf(x)limx00x(x2)1

x00x(x24)2而f(x)在x2点没有定义，于是知x0为f(x)的第一类不连续点；

x2为f(x)的第二类不连续点；x2为f(x)的第三类不连续点。 3、（10分）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f'(x)0，又

F(x)xaf(t)dtxa，证明在(a,b)内有F'(x)0.

x证明：由于F(x)af(t)dtxa(xa)f(x)f(t)dt(xa)a2xxa(f(x)f(t))dt(xa)2

又在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f'(x)0，由拉格朗日中值定理知，

(t,x)使得f(x)f(t)f()(xt)0，从而在(a,b)内有F'(x)0

x2y2xy24、（12分）设f(x,y)xy20x2y20xy022

（1）证明f(x,y)在（0，0）点连续 （2）求fx(x,y),fy(x,y)

（3）证明f(x,y)在（0，0）点可微

解：（1）令xcos,ysin,则

故f(x,y)在（0，0）点连续。

y(x44x2y2y4)(x2y2)2 （2）fx(x,y)limf(x,0)f(0,0)0xx0x2y20

x2y20 （3）由于

即f(x,y)在（0，0）点可微.

5、（6分）设f(x)在[a,b]严格单调递减，f(x)存在，[f(b),f(a)][,],

22且f(x)m0,试证明

abcosf(x)dx2. m证明：令f(x)t，则由题意有

6、(10分) 设yy(x)为可微函数.求y'(0)，其中yyex2eysinx7x（1） 解：将已知等式两边对x求导得

y'y'exyex2eyy'sinx2eycosx7 （2）

将x=0代入(1)式解得y(0)0，再将x=0代入（2）得

1ln(1t)dt在-102t1证明：令F(x)(x)(x)(x2)，则

21F(x)C，即(x)(x)(x2)C（1）

21将x=0代入（1）C(0)(0)(0)

21但(0)0.C0.(x)(x)(x2)

27、(10分)(x)x(x1)n8、(10分)求幂级数的收敛域。 nn1n2解：由于limnn11，则R=2，即当2x12时其绝对收敛 nn221又当x+1=2，即x=1时，原级数为发散

n1n(1)n当x12，即x3时，原级数为收敛

nn1故原级数的收敛域为[3,1)

9、（7分）证明：当x0时，(1x)ln(1x)arctanx.

证明：设f(x)(1x)ln(1x)arctanx(x0)，则f(x)在[0,)连续.

x2当x0时,f(x)ln(1x)0,则f(x)在[0,)单调增加。

1x则对任意x0有f(x)f(0)0， 即(1x)ln(1x)arctanx0(x0)

10、（10分）设f(x)在0,1上可微，且满足f(1)2xf(x)dx0 (1)求证：在(0,1)内至少存在一点，使f'()f()120.

1证明：由(1)式及积分中值定理知，存在10，，使

,210f(1)21f(1),f(1)1f(1) (2)

21上满足罗尔定理的条件，故令F(x)xf(x),则由(2)式及假设可知F(x)在1，存在(1,1)(0,1)使f'()f()

11、(10分) 求n2xn1的收敛域，并求其和函数.

n1an11及(1)n1n2都发散， 解：设ann，则由limnan1n2可知n2xn1的收敛域为(1,-1).

n1再由于f(t)dt0xx0ntn12n1dtnxnn1x,x(1,1) 1x2x1212、(10分)设f(x)e,x0 试证明：f'(x)在x=0处连续.

0,x0,证明：

f'(x)limx0f(x)f(0)elimx0xx1x21limx1x0ex2

1x12则f'(x)x3e,x0

0,x0,因此f'(x)在x=0处连续.

13、（6分）证明由积分确定的连续函数零点定理：设fx在a,b上连续，若

fxdx0，则xa,b，使得fx0.

a0b0证明：用反证法. 若对xa,b,fx0,由连续函数的零点定理可知,fx在

a,b上不变号.不妨设在a,b上fx0,由定积分的性质可得afxdx0,此

与条件矛盾,于是,必x0a,b，使得fx00.

14、（10分）设fx在0,a上连续,且满足fxdx0.试证:0,a,使得

0abfaf0.

证明：取变换xat,则dxdt,已知积分等式变为

0fxdxfatdtfatdt.

0a0a0a注意到x0,a时,也有t0,a,因而fat在0,a上连续,于是

fxfaxdx0.

0a由此可得0,a,使得faf0.

15、（12分）设f在0,1上连续,在0,1内可导,且

xfxdx0,记

01Fxxftdt,(1)求Fx;(2)求证:0,1,使得fxdxf;

00解：(1) Fxftdtxfx;

0x(2) 因为F0F1ftdt0,又F在0,1上连续,在0,1内可导,由

01罗尔中值定理,0,1,使得F0,即fxdxf;

016、（7分）设x110，xn16xn(n1，试证数列xn存在极限，并求，2，）此极限。

证明：由x110,x26x1164知，x1x2。

假设xkxk1，则xk16xk6xk1xk2，由归纳法知xn为单调下降数列，又显然有xn0，所以xn有下界。由单调有界原理知，数列xn收敛，所以可令limxna，对xn16xn两边取极限得a6aa2a60，解

nm2得a3或a（舍去）,故limxn3

n13xsin,x0.17、（10分）设f(x)，证明：f(x)在x0处可微；f(x)在x0,x0.x0处不可微。 证明：因为f(0)limx0f(x)f(0)1limx2sin0，所以函数f(x)在x0处可x0x0x导，由可导与可微的关系知f(x)在x0处可微；

11又当x0时，f(x)3x2sinxcos，

xxf(x)f(0)11而limlim(3xsincos)极限不存在，故f(x)在x0处不可x0x0x0xx导，由可导与可微的关系知f(x)在x0处不可微。