高考注意事项
1．进入考场时携带的物品。
考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。严禁携带手机、无线发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正带、助听器、文具盒和其他非考试用品。考场内不得自行传递文具等物品。
由于标准化考点使用金属探测仪等辅务设备，所以提醒考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。 2．准确填写、填涂和核对个人信息。
考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填写姓名、准考证号。填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定严肃处理。监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员要求更正。
3．考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间参考。
考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以考点统一发出的铃声信号为准。
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内附答案
2014年重庆市高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）实部为﹣2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（5分）在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=（ ） A．5
B．8
C．10 D．14
3．（5分）某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
4．（5分）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x2+x C．f（x）=2x﹣2x D．f（x）=2x+2x 5．（5分）执行如图所示的程序框图,则输出s的值为（ ）
﹣
﹣
A．10 B．17 C．19 D．36
6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R,总有|x|≥0,q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（ ）
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内附答案
A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q
7．（5分）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30 8．（5分）设F1,F2分别为双曲线
﹣
=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点,双曲线
上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab,则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．4
D．
9．（5分）若log4（3a+4b）=log2A．6+2
B．7+2
C．6+4
,则a+b的最小值是（ ） D．7+4
10．（5分）已知函数f（x）=,且g（x）=f（x）﹣
mx﹣m在（﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣,﹣2]∪（0,] B．（﹣
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,把答案填写在答题卡相应的位置上． 11．（5分）已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B= ． 12．（5分）已知向量与的夹角为60°,且=（﹣2,﹣6）,||=13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0,﹣横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移象,则f（
,﹣2]∪（0,] C．（﹣,﹣2]∪（0,]
D．（﹣,﹣2]∪（0,]
,则•= ． ）图象上每一点的
≤φ＜
个单位长度得到y=sinx的图
）= ．
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内附答案
14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为 ．
15．（5分）某校早上8：00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 （用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
16．（13分）已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和． （Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列,公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图： （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60）与[60,70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50,70）的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70）中的概率．
18．（13分）在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2,b=,求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值． 19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣,其中a∈R,且曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线垂直于直线y=x． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
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内附答案
20．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=
,M为BC上一点,且BM=．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP,求四棱锥P﹣ABMO的体积．
21．（12分）如图,设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1,F2,点D在
椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在,求出圆的方程；若不存在,请说明理由．
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内附答案
2014年重庆市高考数学试卷（文科）
参与试题解析
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）实部为﹣2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ） A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】根据复数的几何意义,即可得到结论．
【解答】解：实部为﹣2,虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2,1）,位于第二象限, 故选：B．
【点评】本题主要考查复数的几何意义,比较基础．
2．（5分）在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=（ ） A．5
B．8
C．10 D．14
【分析】由题意可得a4=5,进而可得公差d=1,可得a7=a1+6d,代值计算即可． 【解答】解：∵在等差数列{an}中a1=2,a3+a5=10, ∴2a4=a3+a5=10,解得a4=5, ∴公差d=
=1,
∴a7=a1+6d=2+6=8 故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式,属基础题．
3．（5分）某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为（ ）
A．100 B．150 C．200 D．250
【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比
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内附答案
例计算n值．
【解答】解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000, ∴样本容量n=5000×故选：A．
【点评】本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．
4．（5分）下列函数为偶函数的是（ ）
A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x2+x C．f（x）=2x﹣2﹣x D．f（x）=2x+2﹣x
【分析】根据偶函数的定义,依次分析选项,先分析函数的定义域,再分析f（﹣x）=f（x）是否成立,即可得答案．
【解答】解：根据题意,依次分析选项：
A、f（x）=x﹣1,其定义域为R,f（﹣x）=﹣x﹣1,f（﹣x）≠f（x）,不是偶函数,不符合题意；
B、f（x）=x2+x,其定义域为R,f（﹣x）=x2﹣x,f（﹣x）≠f（x）,不是偶函数,不符合题意；
C、f（x）=2x﹣2﹣x,其定义域为R,f（﹣x）=2﹣x﹣2x,f（﹣x）=﹣f（x）,是奇函数不是偶函数,不符合题意；
D、f（x）=2x+2﹣x,其定义域为R,f（﹣x）=2﹣x+2x,f（﹣x）=f（x）,是偶函数,符合题意； 故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断,注意要先分析函数的定义域．
5．（5分）执行如图所示的程序框图,则输出s的值为（ ）
=100．
=
,
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内附答案
A．10 B．17 C．19 D．36
【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件k＜10,跳出循环体,计算输出S的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2,k=2×2﹣1=3； 第二次循环S=2+3=5,k=2×3﹣1=5； 第三次循环S=5+5=10,k=2×5﹣1=9； 第四次循环S=10+9=19,k=2×9﹣1=17, 不满足条件k＜10,跳出循环体,输出S=19． 故选：C．
【点评】本题考查了当型循环结构程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R,总有|x|≥0,q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（ ） A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q
D．p∧q
【分析】判定命题p,q的真假,利用复合命题的真假关系即可得到结论． 【解答】解：根据绝对值的性质可知,对任意x∈R,总有|x|≥0成立,即p为真命题,
当x=1时,x+2=3≠0,即x=1不是方程x+2=0的根,即q为假命题, 则p∧￢q,为真命题, 故选：A．
第8页（共22页）
内附答案
【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用,先判定p,q的真假是解决本题的关键,比较基础．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高,判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据,把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图： 三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形, ∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24． 故选：C．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
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内附答案
8．（5分）设F1,F2分别为双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点,双曲线
上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab,则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．4
D．
【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab,由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab,求得a=,c=
=
b,即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab, ∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab, ∴4a2+3ab﹣b2=0, ∴a=, ∴c=∴e==故选：D．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查学生的计算能力,属于基础题．
9．（5分）若log4（3a+4b）=log2A．6+2
B．7+2
C．6+4
,则a+b的最小值是（ ） D．7+4
=．
b,
【分析】利用对数的运算法则可得【解答】解：∵3a+4b＞0,ab＞0, ∴a＞0．b＞0 ∵log4（3a+4b）=log2
,
＞0,a＞4,再利用基本不等式即可得出
∴log4（3a+4b）=log4（ab） ∴3a+4b=ab,a≠4,a＞0．b＞0 ∴∴a＞4, 则+
＞0,
a+b=a++7
=a++7=4
=a+3+
+7,当且仅当a=4+2
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=（a﹣4）
取等号．
内附答案
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质,属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）=
,且g（x）=f（x）﹣
mx﹣m在（﹣1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣,﹣2]∪（0,] B．（﹣
D．（﹣
,﹣2]∪（0,]
,﹣2]∪（0,]
C．（﹣
,﹣2]∪（0,
]
【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0,即f（x）=m（x+1）,作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0,即f（x）=m（x+1）, 分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图： 由图象可知f（1）=1,h（x）表示过定点A（﹣1,0）的直线,
当h（x）过（1,1）时,m=此时两个函数有两个交点,此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤,
当h（x）过（0,﹣2）时,h（0）=﹣2,解得m=﹣2,此时两个函数有两个交点, 当h（x）与f（x）相切时,两个函数只有一个交点, 此时
,
即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0, 当m=0时,x=
,只有1解,
当m≠0,由△=9+4m=0得m=﹣,此时直线和f（x）相切, ∴要使函数有两个零点, 则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤, 故选：A．
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内附答案
【点评】本题主要考查函数零点的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,把答案填写在答题卡相应的位置上． 11．（5分）已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B= {3,5,13} ． 【分析】根据题意,分析集合A、B的公共元素,由交集的意义即可得答案． 【解答】解：根据题意,集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13}, A、B公共元素为3、5、13, 则A∩B={3,5,13}, 故答案为：{3,5,13}．
【点评】本题考查集合交集的运算,注意写出集合的形式．
12．（5分）已知向量与的夹角为60°,且=（﹣2,﹣6）,||=【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式,求出即可 【解答】解：∵=（﹣2,﹣6）, ∴∴
故答案为：10．
【点评】本题考查了向量的数量积公式,属于基础题．
第12页（共22页）
,则•= 10 ．
, =2
=10．
内附答案
13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0,﹣横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移象,则f（
）=
．
≤φ＜）图象上每一点的
个单位长度得到y=sinx的图
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,可得sin（2ωx+φ﹣=sinx,可得2ω=1,且 φ﹣从而求得f（
）的值．
≤φ＜
ω）
ω=2kπ,k∈z,由此求得ω、φ的值,可得f（x）的解析式,
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0,﹣）图象上每一点的
横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象． 再把所得图象再向右平移=sin（2ωx+φ﹣∴2ω=1,且 φ﹣∴ω=,φ=∴f（
个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣
）+φ）]
ω）=sinx的图象, ω=2kπ,k∈Z,
）, ．
+2kπ,∴f（x）=sin（x+
+
）=sin
=
）=sin（
．
故答案为：
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,属于中档题．
14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为 0或6 ．
【分析】根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9,圆心C（﹣1,2）,半径r=3, ∵AC⊥BC,
∴圆心C到直线AB的距离d=即d=
=
,
,
第13页（共22页）
内附答案
即|a﹣3|=3, 解得a=0或a=6, 故答案为：0或6．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公式是解决本题的关键．
15．（5分）某校早上8：00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为
（用数字作答）．
【分析】设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y．（x,y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x,y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则求解即可．
【解答】解：设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y．（x,y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,对应的面积S=20×20=400,
则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,则符合题意的区域为△ABC,联立
得C（45,50）,联立
得B（30,35）,则S△ABC=
×15×15,由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为
=
故答案为：
, ．
第14页（共22页）
内附答案
【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率,求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则,求出对应区域的面积是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
16．（13分）已知{an}是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示{an}的前n项和． （Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列,公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；
（Ⅱ）求出a4和S4,代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比,然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1,公差为2的等差数列, ∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,a4=7,S4=16． ∵q2﹣（a4+1）q+S4=0,即q2﹣8q+16=0, ∴（q﹣4）2=0,即q=4．
又∵{bn}是首项为2的等比数列, ∴
．
．
第15页（共22页）
内附答案
【点评】本题考查等差数列的性质,考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法,是基础题．
17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图： （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；
（Ⅱ）分别求出成绩落在[50,60）与[60,70）中的学生人数；
（Ⅲ）从成绩在[50,70）的学生任选2人,求此2人的成绩都在[60,70）中的概率．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；
（Ⅱ）由图可知,成绩在[50,60）和[60,70）的频率分别为0.1和0.15,用样本容量20乘以对应的频率,即得对应区间内的人数,从而求出所求．
（Ⅲ）分别列出满足[50,70）的基本事件,再找到在[60,70）的事件个数,根据古典概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10,由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1,解得a=0.005．
（Ⅱ）成绩落在[50,60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2, 成绩落在[60,70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．
（Ⅲ）记成绩落在[50,60）中的2人为A,B,成绩落在[60,70）中的3人为C,D,E,则成绩在[50,70）的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个,
其中2人的成绩都在[60,70）中的基本事件有CD,CE,DE共3个, 故所求概率为P=
．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用,属于中档题．
第16页（共22页）
内附答案
18．（13分）在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2,b=,求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且△ABC的面积S=sinC,求a和b的值． 【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8,根据a=2,b=求出c的长,利用余弦定理表示出cosC,将三边长代入求出cosC的值即可；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,再利用正弦定理得到a+b=3c,与a+b+c=8联立求出a+b的值,利用三角形的面积公式列出关系式,代入S=sinC求出ab的值,联立即可求出a与b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=2,b=,且a+b+c=8, ∴c=8﹣（a+b）=,
∴由余弦定理得：cosC===﹣；
（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC, ∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC, ∴sinA+sinB=3sinC,
利用正弦定理化简得：a+b=3c, ∵a+b+c=8, ∴a+b=6①,
∵S=absinC=sinC, ∴ab=9②,
联立①②解得：a=b=3．
+sinB•=2sinC,
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
第17页（共22页）
内附答案
19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣,其中a∈R,且曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线垂直于直线y=x． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．
【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2,可求出a的值；
（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式,分析导函数的符号,进而可得函数f（x）的单调区间与极值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣, ∴f′（x）=﹣
﹣,
∵曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线垂直于直线y=x． ∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2, 解得：a=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+f′（x）=﹣令f′（x）=0,
解得x=5,或x=﹣1（舍）,
﹣=
﹣lnx﹣, （x＞0）,
∵当x∈（0,5）时,f′（x）＜0,当x∈（5,+∞）时,f′（x）＞0, 故函数f（x）的单调递增区间为（5,+∞）； 单调递减区间为（0,5）； 当x=5时,函数取极小值﹣ln5．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,是导数的综合应用,难度中档．
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内附答案
20．（12分）如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=
,M为BC上一点,且BM=．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP,求四棱锥P﹣ABMO的体积．
【分析】（Ⅰ）连接OB,根据底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=
,M为BC上一点,且BM=,结合菱形的性质,余弦定理,勾股定理,可得OM
⊥BC及PO⊥BC,进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；
（Ⅱ）设PO=a,利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值,及四棱锥P﹣ABMO的底面积S,代入棱锥体积公式,可得答案．
【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,
故O为底面ABCD的中心,连接OB,则AO⊥OB, ∵AB=2,∠BAD=
,
）=1,
∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（又∵BM=,∠OBM=
,
∴在△OBM中,OM2=OB2+BM2﹣2OB•BM•cos∠OBM=, 即OB2=OM2+BM2,即OM⊥BM, ∴OM⊥BC,
又∵PO⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,
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内附答案
∴PO⊥BC,
又∵OM∩PO=O,OM,PO⊂平面POM, ∴BC⊥平面POM；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（
）=
,
设PO=a,由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形, 故PA2=PO2+OA2=a2+3,
由△POM也为直角三角形得： PM2=PO2+OM2=a2+, 连接AM,
在ABM=
△ABM中
,AM2=AB2+BM2=
,
﹣2AB•BM•cos∠
由MP⊥AP可知：△APM为直角三角形, 则AM2=PA2+PM2,即a2+3+a2+=解得a=
,即PO=
,
,
,
此时四棱锥P﹣ABMO的底面积S=S△AOB+S△BOM=•AO•OB+•BM•OM=∴四棱锥P﹣ABMO的体积V=S•PO=
【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积,直线与平面垂直的判定,难度中档．
21．（12分）如图,设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1,F2,点D在
椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为．
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内附答案
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在,求出圆的方程；若不存在,请说明理由．
【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c,0）,F2（c,0）,依题意,可求得c=1,易求得|DF1|=
=
,|DF2|=
,从而可得2a=2
,于是可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆
+y2=1相交,P1（x1,y1）,P2（x2,y2）是两个
交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由F1P1⊥F2P2,得x1=﹣或x1=0,分类讨论即可求得圆心及半径,从而可得圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c,0）,F2（c,0）,其中c2=a2﹣b2, 由从而从而|DF1|=因此|DF2|=
=2
,得|DF1|=
c2=
=
c, ,故c=1． =
+
=,
=|DF1||F1F2|=,由DF1⊥F1F2,得,
,故a=
所以2a=|DF1|+|DF2|=2,b2=a2﹣c2=1,
因此,所求椭圆的标准方程为
+y2=1；
+y2=1相交,P1（x1,y1）,P2（x2,y2）是两个
（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆交点,
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内附答案
y1＞0,y2＞0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,
由（Ⅰ）知F1（﹣1,0）,F2（1,0）,所以再由F1P1⊥F2P2,得﹣由椭圆方程得1﹣
=
+
=0, ,即3
+4x1=0,解得x1=﹣或x1=0．
=（x1+1,y1）,
=（﹣x1﹣1,y1）,
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在；
当x1=﹣时,过P1,P2,分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C,设C（0,y0） 由F1P1,F2P2是圆C的切线,知CP1⊥F1P1,得故y0=,
故圆C的半径|CP1|=
=
．
=
．
•
=﹣1,而|y1|=|x1+1|=,
综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x2+
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析与运算能力,属于难题．
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