2023年山西省中考数学真题及答案

第Ⅰ卷选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算

13的结果为（）

1A．3B．3C．3D．4

2．全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量．图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．下列计算正确的是（） A．aa23aB．ab632ab62C．aaa632aD．

23a6

4．山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到14亿千瓦时，同比增长18.55%．数据14亿千瓦时用科学记数法表示为（）

A．1.410千瓦时B．1410千瓦时C．1.410千瓦时D．1.410千瓦时

5．如图，四边形ABCD内接于eO,AC,BD为对觓线，BD经过测心O．若BAC40，则DBC的度数为（）

881112

A．40B．50C．60D．70

1

6．一种弹签秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹竼的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长

0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg之间的函数关系式为（）

A．y120.5xB．y120.5xC．y100.5xD．y0.5x

7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点

F为焦点．若1155,230，则3的度数为（）

A．45B．50C．55D．60

8．若点

A3,a,B1,b,C2,cy都在反比例函数

k(k0)c的大小关系用“<”b，x的图象上，则a，

连接的结果为（）

A．bacB．cbaC．abcD．cab

9．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A,B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为60．若圆曲线的半径OA1.5km，则这段圆曲线AB的长为（）

»

A．4kmB．2km33kmkm48C．D．

2

10．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P,Q,M均为正六边形的顶点．若点P,Q的坐标

2分别为

3,3,0,3，则点M的坐标为（）

A．

33,2B．3633,2C．2,33D．2,33

的结果为__________．

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．计算：

6312．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个

图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，„依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示）

D60．13．如图，在YABCD中，以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分

1AEA,E2别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于OF点F，则OE的值为__________．

14．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．

3

,BD15．如图，在四边形ABCD中，BCD90，对角线AC相交于点O．若ABAC5,BC6,ADB2，则CADBD的长为__________．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

1835212xx2(x1)4x2（1）计算：； （2）计算：．

21312x2． 17．（本题7分）解方程：x1

4

18．（本题9分）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4∶4∶2的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

测试成绩/分

选手 总评成绩/分

采访 写作 摄影

72 80 78 小悦 83

84 小涵 86 ▲ ▲

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩；

（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．

5

19．（本题9分）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；

20．（本题8分）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022-2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选。在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到

0.1m．参考数据：31.73，21.41）．

6

21．（本题7分）阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接

E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierre1654-1722）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系。

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DMAC于点M，交HG于点N．

∵H,G分别为AD,CD的中点，∴

HG∥AC,HG1AC2．（依据1）

DNDG1DNNMDMGC．∵DGGC，∴2∴NM．

∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．

7

∵HG∥AC，即HG∥PQ，

∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴

SYHPQGHGMN1HGDM2．

∵

S△ADC11ACDMHGDMSYHPQGS△ADC22，∴．同理，„

任务：（1）填空：材料中的依据1是指：______________________________．

依据2是指：______________________________．

（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形

EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）

（3）在图1中，分别连接AC,BD得到图3，诣猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度的关系，并证明你的结论．

8

22．（本题12分）综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中ACBDEF90,AD．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当ABEA时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由。

图1

数学思考：（1）谈你解答老师提出的问题；

深入探究：（2）老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．

图2

BEBAC①“善思小组”提出问题：如图3，当A时，过点A作AMBE交BE的延长线于点M,BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

9

图3

②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBEBAC求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．

图4

时，过点A作AHDE于点H，若BC9,AC12，

10

23．（本题13分）综合与探究

2yx4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点如图，二次函数

B1,3，与y轴交于点C．

（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；

（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PEx轴于点E，与直线AB交于点

D，设点P的模坐标为m．

图1图2图3

1PDOC2①当时，求m的值；

②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQx轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．

11

数学 参 一、选择题

1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．B 10．A 二、填空题

9712n2 13．3 14．6 15．3

11．3 12．

三、解答题

118242 16．（1）解：原式

211．

（2）解：原式x2xx2x14x

222x21．

17．解：原方程可化为方程两边同乘

131x12x1． ．

2x1，得

22x13x解，得

32．

32时，2x10． x32．

x检验：当

∴原方程的解是

18．（1）69，69，70

x（2）解：

86484470282（分）442．

答：小涵的总评成绩为82分．

（3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选

理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 19．解：设一个A部件的质量为x吨，一个B部件的质量为y吨．

12

x2y2.8,2x3y.根据题意，得 x1.2,y0.8. 解得答：一个A部件的质量为1.2吨，一个B部件的质量为0.8吨． （2）解：设该卡军一次可运输m套这种设备通过此大桥． 根据题意，得

1.20.83m830．

m解，得

559．

因为m为整数，m取最大值，所以m6．

答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 20．解：过点E作EFCD于点F， 则EFD90．

由题意得，在Rt△EFD中，

EDF60,ED6,sinEDFEFFD,cosEDFEDED．

EFEDsinEDF6sin6063332．

132．

FDEDcosEDF6cos606延长AB,DC交于点H，由题意得，H90，四边形AEFH是矩形． ∴AHEF33,HFAE1.5．

∵CFCDFD3.530.5，∴CHHFCF1.50.51． 在Rt△BCH中，H90,BCH180BCD18013545．

cosBCHCHBH,tanBCHBCCH．

BC∴

CH1121.4mcosBCHcos4522．

13

BHCHtanBCH1tan451

∴

ABAHBH33131.7314.2m．

答：BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m．

21．（1）三角形中位线定理（或三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） 平行四边形的定义（或两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形） （2）答案不唯一，只要符合题意均可得分．例如： 如图即为所求

（3）证明：∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，

EF∴

11AC,GHAC22．∴EFGHAC．

同理EHFGBD．∴四边形EFGH的周长EFGHEHFGACBD． 即瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于对角线AC与BD长度的和． 22．（1）解：四边形BCGE为正方形．

理由如下：∵BED90，∴BEG180BED90． ∵ABEA，∴AC∥BE．∴CGEBED90． ∵C90，∴四边形BCGE为矩形．

∵△ACB≌△DEB，∴BCBE．∴矩形BCGE为正方形． （2）解：①AMBE．

14

解法一：证明：∵AMBE交BE的延长线于点M，∴M90． ∵C90，∴MC．

∵ABEBAC,ABBA，∴△BAM≌△ABC． ∴AMBC．

由（1）得BEBC，∴AMBE．

解法二：证明：∵ABEBAC，∴ANBN． ∵C90，∴BCAN． ∵AMBE，即AMBN，

∴

S△ABN11ANBCBNAM22．

∵ANBN，∴BCAM． 由（1）得BEBC，∴AMBE．

27②解：AH的长为5．

2yx4x得，当y0时，x24x0． 23．解：由

解，得

x10,x24．∵点A在x轴正半轴上．

∴点A的坐标为

4,0．

ykxbk0．

设直线AB的函数表达式为

4kb0,4,0,1,3kb3. A,Bykxb将两点的坐标分别代入，得k1,b4∴直线AB的函数表达式为yx4． 解得将x0代入yx4，得y4．∴点C的坐标为

0,4．

2yx4x的图象上，且PEx轴于点E，与直线AB交于PQ（2）①解：点在第一象限内二次函数

15

点D，其横坐标为m．

Pm,m24m,Dm,m4P,D∴点的坐标分别为．

2PEm4m,DEm4,OEm． ∴

1PDOC0,4COC42∵点的坐标为，∴．∵，∴PD2．

如图，当点P在直线AB上方时，

PDPEDEm24mm4m25m4．

2m2,m23．

∵PD2，∴m5m42．解得1如图2，当点P在直线AB下方时，

PDDEPEm4m24mm25m4．

∵PD2，∴m5m42．

2m解得

517517m2． 2，∵0m1，∴

5172． 综上所述，m的值为2或3或

2OEm,PEm4m,DEm4． ②解：如图3，由（1）得，

16

∵BQx轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为

1,3，

∴OQ1．∵点P在直线AB上方，∴EQm1． ∵PEx轴于点E，∴OQFOEP90．

FQOQFQ∥DEFOQPOE△FOQ∽△POEPEOE． ∴，，∴．∴

m24mFQ1FQm42mm4mm∴．∴．

∴FQDE．∴四边形FQED为平行四边形． ∴

SEQFQm1m42．

即Sm5m4．

59Sm5m4m24 22∵1m4，

m∴当

592时，S的最大值为4

17