2024年吉林省中考数学试卷附答案

1.若3的运算结果为正数,则W内的数字可以为（A.2

B.1

C.0

）D.

12.长白山天池系由火山口积水成湖,天池湖水碧蓝,水平如镜,群峰倒映,风景秀丽,总蓄水量约达2040000000m3,数据2040000000用科学记数法表示为（A.2.041010

B.2.04109

C.20.4108

）D.0.2041010

3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图,关于它的三视图说法正确的是（

）

A.主视图与左视图相同C.左视图与俯视图相同

B.主视图与俯视图相同

D.主视图、左视图与俯视图都相同

）

4.下列方程中,有两个相等实数根的是（A.x212B.D.

x22

02

C.

x22

1

x225.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为4,0,点C的坐标为0,2．以OA，OC为边作矩形OABC,若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90,得到矩形OABC,则点B的坐标为（

）

A.

4,2B.

4,2C.

2,4D.

4,26.如图,四边形ABCD内接于O,过点B作BE∥AD,交CD于点E．若BEC50,则

ABC的度数是（

）

A.50B.100C.130D.150

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．7.当分式

1的值为正数时,写出一个满足条件的x的值为______．x18.因式分解:a23a_______．

x20

9.不等式组的解集为______．

x30

10.如图,从长春站去往胜利公园,与其它道路相比,走人民大街路程最近,其蕴含的数学道理是______．

11.正六边形的每个内角等于______________°．

12.如图,正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点．连接EF．若FEO45,则

EF

的值为______．BC13.图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如

图②,其中ABAB,ABBC于点C,BC0.5尺,BC2尺．设AC的长度为x尺,可列方程为______．

14.某新建学校因场地,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由O

和扇形OBC

组成,OB,OC

分别与O

交于点

A,D．OA1m,OB10m,AOD40,则阴影部分的面积为______m2（结果保留π）．

三、解答题（每小题5分,共20分）

215.先化简,再求值:a1a1a1,其中a3．16.吉林省以“绿水青山就是金山银山,冰天雪地也是金山银山”为指引,不断加大冰雪旅游的宣传力度,推出各种优惠活动,“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线,某滑雪场为吸引游客,每天抽取一定数量的幸运游客,每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等,用画树状图或列表的方法,求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．

17.如图,在YABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E,求证:AEBC．

18.钢琴素有“乐器之王”的美称,键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．

四、解答题（每小题7分,共28分）

19.图①,图②均是44的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B,C,D,E,O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD,图②中已画出以OE为半径的O,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图．

（1）在图①中,面出四边形ABCD的一条对称轴．（2）在图②中,画出经过点E的O的切线．

20.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I（单位:A）与电阻R（单位:Ω）是反比例函数关系,它的图象如图所示．

（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3时,求此时的电流I．

21.中华人民共和国20192023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．

根据以上信息回答下列问题:

（1）20192023年全国居民人均可支配收入中,收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？

（2）直接写出20192023年全国居民人均可支配收入的中位数．（3）下列判断合理的是______（填序号）．

①20192023年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．

②20192023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中,2020年全国居民人均可支配收入最低．

22.图①中的吉林省广播电视塔,又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔,此时飞行高度AB873m,如图②,从直升飞机上看塔尖C的俯角EAC37,看塔底D的俯角

EAD45,求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．（参考数据:sin370.60,cos370.80,tan370.75）

五、解答题（每小题8分,共16分）23.综合与实践

某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究,第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识:第三小组负责汇报和交流,下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】

图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．

【收集数据】

小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x,凳面的宽度为ymm,记录如下:

以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm凳面的宽度y/mm【分析数据】

16.5115.5

19.8132

23.1148.5

26.4165

29.7181.5

如图③,小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点．

【建立模型】

请你帮助小组解决下列问题:

（1）观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数解析式;如果不在同一条直线上,说明理由．

（2）当凳面宽度为213mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？

24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联,下面是他的研究过程:

【探究论证】

（1）如图①,在ABC中,ABBC,BDAC,垂足为点D．若CD2,BD1,则SABC______．（2）如图②,在菱形ABCD中,AC4,BD2,则S菱形ABCD______．

（3）如图③,在四边形EFGH中,EGFH,垂足为点O．若EG5,FH3,则

S四边形EFGH______;若EGa,FHb,猜想S四边形EFGH与a,b的关系,并证明你的猜想．

【理解运用】

（4）如图④,在△MNK中,MN3,KN4,MK5,点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图:

（ⅰ）以点K为圆心,适当长为半径画弧,分别交边KN,KM于点R,I.（ⅱ）以点P为圆心,KR长为半径画弧,交线段PM于点I.

（ⅲ）以点I为圆心,IR长为半径画弧,交前一条弧于点R,点R,K在MN同侧.（ⅳ）过点P画射线PR,在射线PR上截取PQKN,连接KP,KQ,MQ．请你直接写出S四边形MPKQ的值．

六、解答题（每小题10分,共20分）

25.如图,在ABC中,C90,B30,AC3cm,AD是ABC的角平分线．动点P从点A出发,以3cm/s的速度沿折线ADDB向终点B运动．过点P作PQ∥AB,交AC于点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C,E在PQ同侧,设点P的运动时间为tst0,VPQE与

ABC重合部分图形的面积为Scm．

2（1）当点P在线段AD上运动时,判断△APQ的形状（不必证明）,并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．

（2）当点E与点C重合时,求t的值．

（3）求S关于t的函数解析式,并写出自变量t的取值范围．

26.小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图（1）所示,输入x的值为2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6．

（1）直接写出k,a,b的值．

（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像,如图（2）．Ⅰ．当y随x的增大而增大时,求x的取值范围．

Ⅱ．若关于x的方程ax2bx3t0（t为实数）,在0x4时无解,求t的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P,Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m,Q的横坐标为m1．小明对P,Q之间（含P,Q两点）的图像进行研究,当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,直接写出m的取值范围．

2024年吉林省中考数学试卷答案解析一、单项选择题.1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C二、填空题．

7.【答案】0（答案不唯一）8.【答案】a(a3)9.【答案】2x3

10.【答案】两点之间,线段最短．11.【答案】12012.【答案】

12【解析】解:∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O∴OAD45,ADBC∵点E是OA的中点∴

OE1

OA2∵FEO45∴EF∥AD∴△OEF∽△OAD∴

EF1EFOE1

,即

ADOA2BC21

2故答案为:．

213.【答案】x222x0.5【解析】解:设AC的长度为x尺,则ABABx0.5∵ABBC

由勾股定理得:AC2BC2AB2∴x222x0.52故答案为:x222x0.5．14.【答案】11【解析】解:由题意得:S阴影故答案为:11．三、解答题.15.2a2,616.【答案】

13240102123601117.【答案】证明见解析

证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠OAE∠OBC，∠OCB∠E∵点O是AB的中点∴OAOB

∴△AOE≌△BOCAAS∴AEBC．

18.【答案】白色琴键52个,黑色琴键36个【解析】解:设黑色琴键x个,则白色琴键x16个由题意得:xx1688解得:x36

∴黑色琴键由:361652（个）答:白色琴键52个,黑色琴键36个．四、解答题.

19.【答案】（1）见解析【小问1详解】

（2）见解析

解:如图所示,取格点E,F,作直线EF,则直线EF即为所求.易证明四边形ABCD是矩形,且E,F分别为AB，CD的中点.

【小问2详解】

解:如图所示,取格点G、H,作直线GH,则直线GH即为所求.

易证明四边形OGTH是正方形,点E为正方形OGTH的中心,则OEGH．

20.【答案】（1）I（2）12A【小问1详解】

36R解:设这个反比例函数的解析式为I

U

U0R

4代入I把9，

UU

U0中得:4U0R9解得U36

∴这个反比例函数的解析式为I【小问2详解】

36.R解:在I363612A中,当R3时,I

R3

∴此时的电流I为12A．21.【答案】（1）8485元（2）35128元（3）①【小问1详解】

解:39218307338485元

答:20192023年全国居民人均可支配收入中,收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．【小问2详解】

解:20192023年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元,321元,35128元,36883元,39218元

∴20192023年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元.【小问3详解】

解:由统计图可知20192023年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势,故①正确.由统计图可知20192023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中,2019年全国居民人均可支配收入最低,故②错误.故答案为:①．22.【答案】218.3m

【解析】解:延长DC交AE于点G,由题意得ABDG873m,DGA90在RtGAD中,EAD45∴AG

DG

DG873

tanEAD在Rt△GAC中,EAC37

∴CGAGtanEAC8730.75654.75

∴CDDGCG873654.75218.3m答:吉塔的高度CD约为218.3m．五、解答题.

23.【答案】（1）在同一条直线上,函数解析式为:y5x33（2）36mm

【解析】【小问1详解】

解:设函数解析式为:ykxbk0∵当x16.5,y115.5,x23.1,y148.5

16.5kb115.5∴

23.1kb148.5k5解得:

b33

∴函数解析式为:y5x33经检验其余点均在直线y5x33上

∴函数解析式为y5x33,这些点在同一条直线上.【小问2详解】

解:把y213代入y5x33得:

5x33213

解得:x36

∴当凳面宽度为213mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm．24.【答案】（1）2,（2）4,（3）

151

,S四边形EFGHab,证明见详解,（4）1022【详解】（1）∵在ABC中,ABBC,BDAC,CD2∴ADCD2∴AC4

1

∴SVABCACBD2

2故答案为:2.

（2）∵在菱形ABCD中,AC4,BD2

1

∴S菱形ABCDBDAC4

2故答案为:4.（3）∵EGFH

11

∴SEFGEGFO,SEHGEGHO

22∵S四边形EFGHSEFGSEHG

111

∴S四边形EFGHEGFOEGHOEGFOHO22211

SEGFOHO∴四边形EFGHEGFH

22∵EG5,FH3

115

∴S四边形EFGHEGFH

2215

故答案为:

21

猜想:S四边形EFGHab

2证明:∵EGFH

11

∴SEFGEGFO,SEHGEGHO

22∵S四边形EFGHSEFGSEHG

111

∴S四边形EFGHEGFOEGHOEGFOHO22211

∴S四边形EFGHEGFOHOEGFH

22∵EGa,FHb∴S四边形EFGH

1ab.2（4）根据尺规作图可知:QPMMKN∵在△MNK中,MN3,KN4,MK5∴MK2KN2MN2∴△MNK是直角三角形,且MNK90∴NMKMKN90∵QPMMKN∴NMKQPM90

∴MKPQ

∵PQKN4,MK51

∴根据（3）的结论有:S四边形MPKQMKPQ10．

2

六、解答题.

25.【答案】（1）等腰三角形,AQt（2）t32323

t,0tS4273293

t63t3,t2（3）S422

32t1,2t4S2

【小问1详解】

解:过点Q作QHAD于点H,由题意得:AP3t∵C90,B30∴BAC60∵AD平分BAC∴PAQBAD30∵PQ∥AB

∴APQBAD30∴∠PAQ∠APQ

∴QAQP

∴△APQ为等腰三角形∵QHAP∴HA

13APt22AH

t.

cosPAQ∴在Rt△AHQ中,AQ【小问2详解】解:如图

∵VPQE为等边三角形∴QEQP由（1）得QAQP∴QEQA即AE2AQ2t3∴t.【小问3详解】

解:当点P在AD上,点E在AC上,重合部分为VPQE,过点P作PGQE于点G

32∵PAQ30∴PG

13APt22∵VPQE是等边三角形∴QEPQAQt

132

∴SQEPGt24由（2）知当点E与点C重合时,t∴S

323t0t.42

3

2当点P在AD上,点E在AC延长线上时,记PE与AC交于点F,此时重合部分为四边形FPQC,如图

∵VPQE是等边三角形∴E60

而CEAEAC2t3∴CFCEtanE32t31132∴SFCECECF2t332t32t3222∴SSPQESFCE

32373292tt63t32t34242当点P与点D重合时,在RtADC中,AD∴t2∴S

73293

t63t3t2.422

AC

23AP3tcosDAC当点P在DB上,重合部分为△PQC,如图

∵DAC30DCA90由上知DC3∴AD23∴此时PD3t23∴PCCDPD3t33t1∵VPQE是等边三角形∴PQE60∴QC

PC3PCt1

tanPQC3132∴SQCPCt122∵BBAD30

∴DADB23∴当点P与点B重合时,3tADDB43解得:t4∴S

32t12t42323St,0t

4273293St63t3,t2．综上所述:

422

32St1,2t4

2

26.【答案】（1）k1,a1,b2

（2）Ⅰ:x0或x1;Ⅱ:t2或t11;Ⅲ:1m0或1m2【小问1详解】解:∵x20

∴将x2,y1代入ykx3得:2k31解得:k1

∵x20,x30

∴将x2,y3,x3,y6代入yax2bx3

4a2b33

得:

9a3b36a1解得:.

b2

【小问2详解】解:Ⅰ,∵k1,a1,b2

∴一次函数解析式为:y=x+3,二次函数解析式为:yx22x3当x0时,yx22x3,对称为直线x1,开口向上

∴x1时,y随着x的增大而增大.当x0时,y=x+3,k10∴x0时,y随着x的增大而增大综上,x的取值范围:x0或x1.Ⅱ,∵ax2bx3t0

∴ax2bx3t,在0x4时无解

∴问题转化为抛物线yx22x3与直线yt在0x4时无交点∵对于yx22x3,当x1时,y2∴顶点为1,2,如图:

∴当t2时,抛物线yx22x3与直线yt在0x4时正好一个交点∴当t2时,抛物线yx22x3与直线yt在0x4时没有交点.当x4,y168311

∴当t11时,抛物线yx22x3与直线yt在0x4时正好一个交点∴当t11时,抛物线yx22x3与直线yt在0x4时没有交点

∴当t2或t11时,抛物线yx22x3与直线yt在0x4时没有交点即:当t2或t11时,关于x的方程ax2bx3t0（t为实数）,在0x4时无解.Ⅲ:∵xPm,xQm1∴

mm12121

对称2∴点P,Q关于直线x

当x1,y最小值1232,当x0时,y最大值3

∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,而当x2时,y3,x=1时,y2∴①当m1,如图:

21m10

由题意得:

1m2

∴1m2.②当m

1

,如图:21m0

由题意得:

1m12

∴1m0

综上:1m0或1m2．