员工被口头辞退劳动监察部门会管。劳动监察部门的职责是检查用人单位的守法情况和受理对违反劳动保障法律、法规或者规章的行为的举报、投诉等，因此劳动监察部门会管。
【法律依据】
《劳动保障监察条例》第一条
为了贯彻实施劳动和社会保障（以下称劳动保障）法律、法规和规章，规范劳动保障监察工作，维护劳动者的合法权益，根据劳动法和有关法律，制定本条例。
第四条
县级、设区的市级劳动保障行政部门可以委托符合监察执法条件的组织实施劳动保障监察。
第十条
劳动保障行政部门实施劳动保障监察，履行下列职责：
（一）宣传劳动保障法律、法规和规章，督促用人单位贯彻执行；
（二）检查用人单位遵守劳动保障法律、法规和规章的情况；
（三）受理对违反劳动保障法律、法规或者规章的行为的举报、投诉；
（四）依法纠正和查处违反劳动保障法律、法规或者规章的行为。