黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题含答案

齐齐哈尔市实验中学2017—2018学年度高二上学期期中考试

数学试题（文科）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

x5x1。在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换y3y后，曲线

C变为

曲线xA.25x224y21,则曲线C的方程为（ ）

236y21 B。9x

2100y21

C。10x224y21

2282D.25x9y1

2.抛物线yax的准线方程是y1,则a的值为 （ ） A.4

1 21B.4 C。2 D。

3。在极坐标系中,过点（2，π）且与极轴的倾斜角为4的直线的极坐

标方程是（ ） A．cos(4)42 B.

cos()2

4cos()2 C．cos()2 D．

44.设点M0,5,N0,5，MNP的周长为36，则MNP的顶点P的轨迹方程为（ ）

x2y2A.1691441y0 x2y2C.169251y0

y2x2B.1691441x0 y2x2D.169251x0

学必求其心得，业必贵于专精

5。已知双曲线

2x2y21的一条渐近线方程为yx，则双曲线的焦距39m为（ ） A。13 B.213 C。25 D.10

）

x26.若动点x,y在曲线4y21上运动，则x2y的最大值为（

A.22 B。4

2 C。2 D。

3,,B3,，则AOB（O为极点)的面积为7。在极坐标系中，若点A63( ） A.

343 B. C。

94D。9

x2y28.已知椭圆E:a2b21ab0的右焦点为F3,0，过点F

的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为1,1，则E的方程为（ ）

x2y2A.45361

x2y2B.36271

x2y2C.27181

x2y2D.1891

x2y29.已知F1,F2分别是双曲线a2b21a0,b0的左、右焦点,过点F1作垂直

于x轴的直线交双曲线于A,B两点,若ABF为锐角三角形，则双曲线的

2离心率的取值范围是 （ ) A。12,12 B.12, C.1,12 D。2,21

学必求其心得，业必贵于专精

10。已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y线段AB的中点到直线xD.2或6

p222pxp0上，若AFBF4,

的距离为1，则p的值为（ ）

A.1 B。1或3 C.2

x2y2F1,F2分别是椭圆的两个焦点，11。已知P是椭圆a2b21ab0上的点，

椭圆的半焦距为c，则PFPF的最大值与最小值之差一定是( ）

1222A。1 B。a C。b D.c2

212。已知点A是抛物线x4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的

焦点,P在抛物线上且满足PAmPB,当m取最大值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为（ ） A。D.

21 B.

51 C。

21 2

51 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在题中的横线上。)

11,13.在极坐标系中，以点为圆心，222为半径的圆的极坐标方程是

14.函数f(x)x15.已知

23ax2bxa2在x1处有极值

x24y10，则a ，b

F

M是抛物线

2上一点，为其焦点，点

A在圆

C:x1y51上，则MAMF的最小值是

学必求其心得，业必贵于专精

x216.若等轴双曲线C的左、右顶点A,B分别为椭圆a21y21a0的左、

右焦点，点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k,k，

12则kk

12三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

cos曲线C的极坐标方程为1，M,N分别为C与x轴、y轴的交点.

3（Ⅰ）写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标； （Ⅱ）设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程。

18.

（本小题满分12分）

2x2t2在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数)，以原

y2t2点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为42cos. 4(Ⅰ)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(Ⅱ）若直线l与圆C相交于A,B两点，点P的坐标为2,0,试求值。

11PAPB的

学必求其心得，业必贵于专精

19。（本小题满分12分） 设函数f(x)kx33x21(k0)．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ）若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围． 20.（本小题满分12分）

已知f(x)是二次函数,f(x)是它的导函数，且对任意的xR,f(x)f(x1)x恒成立．

(Ⅰ）求f(x)的解析表达式；

（Ⅱ）设t0，曲线C：yf(x)在点P(t,f(t))处的切线为l，l与坐标轴围成的三角形面积为S(t)．求S(t)的最小值． 21。（本小题满分12分）

已知椭圆C的两个焦点分别为F1,0,F1,0,短轴的两个端点分别为

122B1,B2。

（Ⅰ）若FBB为等边三角形，求椭圆C的方程；

112(Ⅱ）若椭圆C的短轴长为2,过点F的直线l与椭圆C相交于P,Q两点，

2且FPFQ，求直线l的方程。

1122。（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C:a2b21ab0的离心率为23，以原点为圆心，椭圆

C的

短半轴长为半径的圆与直线xy点,直线l过B点且与x轴垂直.

20相切.A、B是椭圆的左、右顶

学必求其心得，业必贵于专精

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ)设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作GHx轴于点H，延长HG到点Q使得AQ并延长交直线l于点M,NHGGQ，连接

为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为置关系，并证明你的结论。

O的位

直径的圆学必求其心得，业必贵于专精

齐齐哈尔市实验中学2017~2018学年度高二上学期期中考试

数学试题评分标准（文）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号 答案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D B B A C D C B D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13。

sin

14。 4,11 15. 5 16. 1

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分10分）

解析：(Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为x分

当0时,2，所以M2,0 ……4分 当2323N,时,，所以 32233y20 ……3

……5分

学必求其心得，业必贵于专精

(Ⅱ）

点

23点M,N的直角坐标分别为M2,0,N0,3

3的直角坐标为1,3 

P 则P

623点的极坐标为3,6

直线OP的极坐标方程为R ……10

分

18。（本小题满分12分）

解析:(Ⅰ）圆C的方程可化为4cos4sin，即圆

24cos4sin

C的直角坐标方程为x2y24x4y0 ……4

分

（Ⅱ）把直线l的参数方程与圆C的直角坐标方程联立， 可得：t分

设点A、B对应的参数分别为t,t，则tt12222t40 ……6

1222,t1t24 ……8分

tt111112PAPBt1t2t1t2

t1t224t1t2t1t262 ……12分

19.（本小题满分12分)

解析：（I）当k=0时,f（x)=﹣3x2+1

∴f(x）的单调增区间为(﹣∞,0]，单调减区间[0,+∞)．……2分 当k＞0时，f’（x）=3kx2﹣6x=3kx(x﹣）

学必求其心得，业必贵于专精

∴f（x)的单调增区间为（﹣∞,0]，[,+∞),单调减区间为[0，]．

……6分

（II）当k=0时，函数f(x)不存在最小值． ……7分 当k＞0时，依题意f(）=﹣+1＞0， ……9分 即k2＞4， ……11分

由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞) ……12分

20.（本小题满分12分)

解析：（I）设f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0），

则f'（x)=2ax+b，（fx+1)=a（x+1)2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c．

由已知，得2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c， ∴

，

解之，得a=﹣1，b=0，c=1，

∴f（x）=﹣x2+1． ……4分

（II）由（I）得，P（t，1﹣t2)，切线l的斜率k=f’（t）=﹣2t， ∴切线l的方程为y﹣（1﹣t2)=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+1．……6分

从而l与x轴的交点为∴∴

，l与y轴的交点为B（0,t2+1），

（其中t＞0)． ……8分

． ……10分

学必求其心得，业必贵于专精

当时，S’（t)＜0,S（t）是减函数； 当时，S’(t）＞0，S(t）是增函数．

∴

． ……12分

21。（本小题满分12分) 解析:（Ⅰ)设椭圆C

的方程为x2y2a2b21ab0

由题意知a2ba2b21

解得a24213,b3 故椭圆C的方程为x2y2411 33分

(II）由题意知椭圆C

的方程为x22y21

当直线l的斜率不存在时，其方程为x1,不符合题意； 分

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1

由ykx1x2y21得2k21x24k2x2k210 ……7分

2设Px,y则2x211,Qx2,y2,4kk211x2k21,x1x22k2

21F1Px11,y1,FQ1x21,y2 F1PFQ1F1PFQ10 即x22217k2111x21y1y2k1x1x2k1x1x2k2k210

解得：k217，即k77 4

5……

…… …… 学必求其心得，业必贵于专精

11分

故直线l的方程为x

7y10或x7y10 ……12分

22.（本小题满分12分)

解析：（Ⅰ）由题意：O到直线xye3a24 220的距离为b,则b1

椭圆C的标准方程为

x2y21 4 ……4分

0000(Ⅱ)设Gx,y，则Qx,2y

A2,0直线AQ的方程为y2y0x2 x02 ……6分

与x2联立得:M2,8y0 x02

4y0N2,

x204y02y0x2QN则直线的方程为y2y00xx0 2x0 ……8分

即2xyxx00204y8y00

2x02y01 4 方程可化为xx2yy40 ……10分

000,0到直线QN的距离为4x4y20202

故直线

QN与以AB为直径的圆O相

切。 ……12分

学必求其心得，业必贵于专精