求点到平面距离的基本方法

北京农大附中 闫小川

求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点。本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法。

例 （2005年福建高考题）如图1，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点,且BF平面ACE。

（Ⅰ)求证：AE平面BCE； (Ⅱ）求二面角BACE的大小; (Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。

DCFAEB

图1

（Ⅰ）、(Ⅱ)解略，（Ⅲ)解如下： 一、直接法

利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离。 如图2，

A,,l , AMl，则AM.AM为点A到平面的距离。

图2

解：如图3，过点A作AG

EC，连结DG,CG，则平面ADG∥平面BCE，

1

∵平面BCE平面ACE, ∴平面ADG平面ACE，

作DHAG,垂足为H，则DH平面ACE。 ∴DH是点D到平面ACE的距离。 在RtADG中，DHADDG2223. AG36GDHCFAEB

图3

二、平行线法

B为l上任意一点, AM,BN，l∥，如图4，Al，则AMBN。

点A到平面的距离转化为平行于平面的直线l到平面的距离，再转化为直线l上任意一点B到平面的距离.

图4

解：如图5,过点D作DMAE,连结CM，则DM∥平面ACE，

点D到平面ACE的距离转化为直线DM到平面ACE的距离,再转化为点

M到平面ACE的距离。

作MNCE,垂足为N, ∵平面CEM平面ACE， ∴MN平面ACE,

2

∴MN是点M到平面ACE的距离. 在RtCEM中,MNEMCM2223. CE36DMNFAEBC

图5

三、斜线法

利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7， lO，A,Bl， AM,BN，若

AOt，则AMtBN。BO点A到平面的距离转化为求直线l上的点B到平面的距离。

图6 图7

解：如图8,BD与AC的交点为Q，即BD平面ACEQ， ∵DQBQ，

∴点D到平面ACE的距离与点B到平面ACE的距离相等. ∵平面BCE平面ACE,BF平面ACE， ∴BF是点B到平面ACE的距离. 在RtBCE中，BF

BCBE2223. CE36 3

DQFAECB

图8

四、线面角法

如图9，OP为平面的一条斜线,AOP，OAl，OP与所成的角为

,A到平面的距离为d，则由斜线和平面所成的角的定义可知,有dlsin.

经过OP与垂直的平面与相交，交线与OP所成的锐角就是OP与所成的角，这里并不强求要作出A在上的射影B，连结OB得.

图9

解：如图10，∵BF平面ACE， ∴平面BDF平面ACE，

BQF为DQ与平面ACE所成的角为，则点D到平面ACE的距离dDQsin。

由(Ⅱ)知二面角BACE的正弦值为

66，得sin.

33∴D到平面ACE的距离d2623. 33 4

DQFCAEB

图10

五、二面角法

l，如图11，、所成二面角的大小为，A，ABl,ABa，点A到平面的距离AOd,则有dasin.也就是二面角的大小,而不强求作出经过AB的二面角的平面角.

图11

解：如图12，∵平面ACD平面ACEAC，DQ平面ACD，DQAC，设二面角DACE的大小为，则点D到平面ACE的距离dDQsin。

由（Ⅱ)知二面角BACE的正弦值为

66，得sin.

33∴D到平面ACE的距离d2623. 33 5

DQFCABE

图12

六、体积法

解：如图13，过点E作EOAB交AB于点O,OE1. ∵二面角DABE为直二面角， ∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,VDACEVEACD, ∴1SACEh133SACDEO. AE平面BCE，

∴AEEC。

1ADDCEO12221∴h21123.

2AEEC2263∴点D到平面ACE的距离为

233. DCAFOBE

图13

6



七、向量法

解：如图14，以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz,

AE平面BCE，BE平面BCE，

∴AEBE，

在RtAEB中,AB2,O为AB的中点， ∴OE1,

∴A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).

AE(1,1,0),AC(0,2,2).

设平面ACE的一个法向量为n(x,y,z)，

则AEn0,即xy0,n0,AC2y2z0. 解得yx,zx.

令x1,得n(1,1,1)是平面ACE的一个法向量。 ∵AD//z轴,AD2，∴AD(0,0,2), ∴点D到平面ACE的距离

d|AD||cosAD,n||ADn|2|n|3233。 zDCFAOByxE

图14

7

练习：

如图15，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，

GC垂直于ABCD所在平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离.(答

1111) GDCFAEB

8

案:

2