圆的性质与圆周角定理.知识精讲(2014-2015)-教师版

圆的性质与圆周角定理 中考考纲

中考内容 A 中考要求 B C 能运用圆的性质解决有关问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 圆的性质 能用弧、弦、圆心角的关系解决知道圆的对称性，了解弧、弦、简单问题；能用垂径定理解决相圆心角的关系 关问题 了解圆周角与圆心角的关系；会求圆周角的度数，能用圆周角知道直径所对的圆周角是直的知识解决与角有关的简单问角 题 圆周角 知识网络图

弦圆的性质弧圆心角圆的性质与圆周角定理

圆周角定理知识精讲

一、弧、弦、圆心角的关系

1. 弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各

组量分别相等．

【注意】因为一条弦对的弧有两条，所以由弦等得出弧等时，这里的弧等指的是弦对的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。

【补充】“圆心角、弧、弦和弦的弦心距”四组量中，有一组量对应相等，其他的三组量也对应相等，换言之为“四有一推三”，但当用到“弦心距”时，需要用全等先证明再用。

二 、圆周角定理

1. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

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【注意】在应用定理时，一定要保证“同弧或等弧”的前提。 【定理的证明】

在⊙O中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况，如图1。应分三种情况进行讨论。

AAAOOOCDB(3)BB(1)CD(2)图1C

如图1，已知：在⊙O中,BC所对的圆周角是BAC，圆心角是BOC。 求证：BAC1BOC 2证明：由圆周角在圆内的位置关系，分三种情况讨论。 （1） 圆心O在BAC的一条边上（如图1-（1））

OAOCCBAC1BACBOC

BOCBACC2（2） 圆心O在BAC的内部，（如图1-（2）），作直径AD，由（1）得出结论得：

1BOD112BADDAC(BODDOC)BACBOC 122DACDOC2BAD（3） 圆心O在BAC的外部，（如图1-（3）），作直径AD，由（1）得出结论得：

1DABDOB112DACDAB(DOCDOB)BACBOC 122DACDOC22. 圆周角定理的推论

（1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

【注意】不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况。一般情况下不相等，如图2

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A1BO2C图2D

（2）推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

【注意】“相等的圆周角所对的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这一前提条件，结论不成立。如图3

O

AB图3CD（3）推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．

【注意】一般情况下，当条件中有直径时，往往做出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形。

解题方法技巧

1. 有关弧的中点引辅助线的方法：

① 连过弧中点的半径； ② 连等弧对的弦； ③ 连等弧对的圆心角。

2. 有关弦中点的引辅助线的方法：连过弦中点的半径。 3. 求弧的度数：构造弧所对的圆心角。 4. 已知直径：构造直径所对的圆周角。

5. 比较弧的大小，可以转化成比较弦、圆心角的大小。

6. 有线段的倍分关系时，常利用“折半、加倍”的方法做辅助线。

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易错点辨析

1. 圆心角、 弧、弦三者之间的关系可以直接运用定理推得，但弦心距的关系要通过全等等其它方法来证明。2. 应用圆心角、弧、弦之间的关系以及圆心角定理时，不要忽略“同圆或等圆”的前提。 3. 弦所对的弧有优弧、劣弧两条，解题时要注意分类讨论。 4. 在应用定理时，一定要保证在“同弧或等弧”前提。

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