投资和干扰下的Erlang(2)模型的破产概率

第３２卷第５期　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．５　文章编号：１６７３—２１０３（２０１０）０５—００１４—０３　菏泽学院学报　２０１０年９月　Ｓｅｐ．　２０１０　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｚｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　投资和干扰下的Ｅｒｌａｎｇ（２）模型的破产概率　郭东林　（商丘师范学院数学系，河南商丘４７６０００）　摘要：讨论了投资和干扰下的Ｅｄａｎｇ（２）风险模型的破产概率．首先得到该模型的盈余过程具有平稳　’　增量性；其次，利用鞅方法获得了该模型破产概率的显式表达式以及它的一个上界估计．　关键词：Ｅｒｌａｎｇ（２）风险模型；投资；破产概率　中图分类号：０　２１１．６　文献标识码：Ａ　Ｅｒｌａｎｇ过程是一个在理论研究和工程实践中都非常重要的随机过程，它在金融风险建模以及控制论中　有着广泛的应用．文献［１］研究得到了无干扰下Ｅｒｌａｎｇ（２）风险模型破产概率，但在保险公司的实际经营过　程中风险模型的盈余过程经常受到不可抗拒因素的干扰．根据这一实际情况，文献［２—４］等考虑了干扰下　的风险模型的破产问题．同时，文献［５，６］从投资角度出发研究了投资下的风险模型．本文在此启发下研究　了投资和干扰下的Ｅｒｌａｎｇ（２）模型破产概率．　１投资和干扰下的Ｅｒｌａｎｇ（２）模型结构　考虑到保险公司用收取的保费进行投资和在实际经营过程中经常受到通货膨胀等不可抗拒因素的干　扰，本节讨论的风险模型结构如下：　Ｎ（１）　Ｒ（￡）＝（　一　）＋　（Ｉ＋ｔｊ）＋ｃｔ一∑Ｘ　＋　Ｂ　测赔款额大小而设定用于投资的资金，　表示单位时间的投资收益，ｃ表示单位时间的保费收入；　（１）　式中：１）Ｒ（ｔ）表示保险公司到时刻ｔ的盈余，ｕ表示初始资本，ｚ反映根据初始资金的大小及单位时间内预　２）点过程Ⅳ（￡）＝ｓｕｐ｛ｎ　１，Ｓ　＝∑　≤￡）表示（０，￡］内索赔个数，其中｛　，ｉ　ｌ｝表示索赔间隔时　问，是一列同分布的非负随机变量，且具有共同的密度函数ｋ（ｔ）＝　ｔｅｘｐ｛一　｝，ｓ　表示第ｎ次索赔的　时间；　３）｛　，　１｝是一列同分布的非负随机变量，表示每个索赔时刻的索赔额，具有相同的分布函数　Ｆ（　），且于｛　，ｎ≥１｝；　４）｛Ｂ　，￡　０｝是标准布朗运动，并且假定｛置｝　，，｛Ｎ（ｔ），￡　０｝，｛Ｂ　，￡　０｝是相互的．　２主要结论及证明　Ⅳ（‘）　定理１　盈利过程｛Ｓ（ｔ）＝　’＋Ｃｔ一∑Ｘ　＋　Ｂ　，Ｊ＿　ｔ　０｝具有平稳增量性．　证明　令０　ｔｏ＜ｔ１＜ｔ２＜…＜ｔ　，则：　』ｖ（Ｉ　）　Ⅳ（ｔ　一１）　ｓ（ｔ　）一Ｊｓ（ｆ　）＝￡　＋ｃｆ　一∑Ｘ　＋ｏ＇Ｂ　一（ｔｍ＿ｌｊｚ＋ｃ　一ｌ一∑Ｘ　＋ｏ＇Ｂ　。）＝　收稿日期：２０１０—０８—１７　基金项目：河南省自然科学基金资助项目（２０１０Ａ１１００１５）　作者简介：郭东林（１９８２一），男，河南商丘人，助教，硕士，研究方向：保险精算　１４　２０１０丘　郭东林：投资和干扰下的Ｅｒｌａｎｇ（２）模型的破产概率　第５期　（ｆ　一ｔ　）（ｃ＋　）一（∑Ｘ　一∑Ｘ　）＋　（　一Ｂ　），　（ｔ２）　（ｔ１）　（ｔ３）　』ｖ（ｔ２）　Ｎ（ｔ　）　Ⅳ（ｔｓ－Ｉ）　由于∑　一∑置，∑置一∑　…一，∑置一∑置和Ｂ　一ＢＩｌ，　【３一Ｂ　……Ｂ　一Ｂ　是相互的，　因此｛Ｓ（ｔ），ｔ≥０｝是增量过程．又因为　Ⅳ（ＨＪｒＩ）　Ⅳ（１）　ｓ（ｔ＋ｍ）一ｓ（￡）＝（　＋ｍ）ｊｚ￣＋ｃ（￡＋ｍ）一∑Ｘ　＋　一（咖＋ｃｔ一∑Ｘ　＋　）＝　Ⅳ（‘＋ｍ）　Ⅳ（Ｉ）　ｍ（　＋ｃ）一（∑Ｘｉ一∑Ｘｉ）＋　（　ｔ＋　一Ｂｔ），　对一切凡　０，　Ｘ　一　置，Ｂ　＋　一Ｂ　分别具有相同的分布，因而｛．ｓ（ｆ），　ｏ｝为平稳增量过程．综上所述，　盈利过程｛Ｓ（ｔ），ｔ　Ｏ｝具有平稳增量性．　引理１　设（Ｑ，Ｆ，Ｐ）为一完备的概率空间，Ｂ　为标准的布朗运动，对于一个几乎处处有限的停时序　列｛Ｓ　，ｎ　１｝，若｛Ｓ　一Ｓ　，ｎ　１｝同分布，则｛Ｂ　一Ｂ　，，ｎ　１｝同分布．　引理１证明可参看文献［４］．记ｇ（ｒ）　［ｅｘｐ｛ｒ（　一ｃ．ｓ　一ｓ　一　Ｂ　．）｝］，此时Ｌｕｎｄｂｅｒｇ指数　在投资　和干扰的Ｅｒｌａｎｇ（２）模型下满足方程：ｇ（ｒ）＝１．由引理１知　［ｅｘｐｌ—ｒｓ（ｓ　）｝］＝Ｅ【ｅｘｐ卜ｒ（　ｓ　＋ｃｓ　一∑Ｘ　＋　））］＝ｇ（ｒ）　．　定理２　对于盈利过程｛．ｓ（ｔ），ｔ　０｝，定义　一代数Ｆ　＝　｛．ｓ（ｋ），ｋ＝０，１，２，…，ｎ｝，则　（ｎ）＝　旦苎　二　是一个鞅．　ｇＬ　ｒ　证明　因为｛Ｓ（ｔ），ｔ　Ｏ｝有平稳增量，Ｓ（０）＝０，又由引理１知，对Ｖ　ｋ＜　，　Ｅ［Ｍ　（ｎ）］　二　！　±　ｉ墨！二　（生２±　！　ｇ（ｒ）　一　叫　］＝Ｍ　（Ｉｉ｝），　所以Ｍ　（ｎ）：　二　是一个鞅．　ｇ　，　令Ｎ　：ｍｉｎ｛ｎｌⅡ＋　ｓ　＋ｃＳ　一∑Ｘ　＋　Ｂ　＜０］．，则Ⅳ　表示导致保险公司盈余为负即破产的索赔　次数，此时破产概率可以由下面的定理得到．　定理３对于投资和干扰下的Ｅｒｌａｎｇ（２）模型，保险公司因索赔引起的破产概率为：　（２）　并且该模型的破产概率的一个上界为　（　）　ｅｘｐ｛一ｙｕ｝．　证明　由Ⅳ　的定义可知，它是｛Ｆ　，ｎ＝０，１，２，…｝的一个停时，而且对于Ｖ　ｎ。＜∞，　八　＝　ｍｉｎ（　，Ｎ　）也是停时，由鞅的停时定理可知　ｅｘｐ｛－ｒｕ｝＝Ｍ　（０）＝Ｅ［Ｍ　（凡。八　）ｌ　］＝Ｅ［Ｍ　（ｎ。＾Ⅳ　）］＝　Ｍ　（ｎ。八　）Ｉ　ｎｏ］Ｐ（　ｎｏ）＋Ｅ［　（凡０＾ⅣⅡ）ｌ　＞几ｏ］Ｐ（　＞ｎ。）：　Ｅ［Ｍ　（Ⅳ　）Ｉ　Ｎ　≤　］Ｐ（Ｎ　ｎ０）＋　［Ｍ　（ｎ０）Ｉ　Ｎ　＞ｎｏ］Ｐ（Ｎ　＞　），　对于　。＜Ｎ　，Ｒ（　）　Ｏ，所以当ｒ＝　时，　（ｎ。）　１，令　。一ｏ。，由控制收敛定理及鞅极限定理可得　ｅｘｐ｛一ｙｕ｝＝Ｅ［Ｍ　（Ｎ　）ＩⅣⅡ＜∞］Ｐ（Ｎ　＜∞）＋Ｅ［Ｍ　（凡０）Ｉ　Ｎ　＝∞］Ｐ（Ｎ　＝∞），　由大数定律可知当ｎ。一∞时，Ｒ（ｎ。）一∞，从而　ｅｘｐ｛一　｝＝Ｅ［Ｍｕ（　）ｌ　Ｎ　＜∞］Ｐ（Ｎ　＜∞），　（３）　而当ｒ＝ｙ时，ｇ（Ｙ）＝１，则式（３）可化为　１　Ｓ　２０１０血　菏泽学院学报　第５期　ｅｘｐ｛一ｙｕ｝＝Ｅ［ｅｘｐ｛一　（Ｎ　）｝Ｉ　Ｎ　＜∞］Ｐ（Ⅳ　＜∞），　所以风险模型的破产概率为　）＝币　又因为Ｒ（Ｎ　）＜Ｏ，所以Ｅ［ｅｘｐ｛一ｙＲ（Ｎ　）｝Ｉ　Ｎ　＜∞］　１，因此　（Ｍ）　ｅｘｐ｛一ｙｕ｝．　参考文献：　［１］Ｄｉｃｋｓｏｎ　Ｄ　Ｃ　Ｍ，Ｈｉｐｐ　Ｃ．Ｒｕｉｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｉｅｓ　ｆｏｒ　Ｅｒｌａｎｇ（２）ｒｉｓｋ　ｐｒｃｏｅｓｓ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，１９９８，２２　（３）：２５１—２６２．　［２］Ｄｕｆｒｅｓｎｅ　Ｆ，Ｇｅｒｂｅｒ　Ｈ　Ｕ．Ｒｉｓｋ　ｔｈｅｏｒｙ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｏｕｎｄ　ｐｏｉｓｓｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｔｈａｔ　ｉｓ　ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ　ｂｙ　ｄｉｆｕｓｉｏｎ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｔ・　ｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，１９９１，１０（１）：５１—５９．　［３］Ｚｈａｎｇ　Ｃ，Ｗａｎｇ　Ｇ．Ｔｈｅ　ｊｏｉｎｔ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｒｅｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｎ　ｊｕｍｐ　ｄｉｆｕｓｉｏｎ　ｒｉｓｋ　ｐｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，２００３，３２（３）：４４５—４５５．　［４］邹捷中，张振中．带随机扰动的Ｅｒｌａｎｇ（２）模型的破产概率［Ｊ］．株洲工学院学报，２００６，２０（４）：８一ｌ１．　［５］Ｐａｕｌｓｅｎ　Ｊ．Ｓｈａｒｐ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｒｕｉｎ　ｉｎ　ａ　ｒｉｓｋ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｗｉｔｈ　ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　ｒｅｔｕｍ　ｏｎ　ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ａｐｐｌ，　１９９８，７５（１）：１３５—１４８．　［６］黎锁平，刘琪．投资和干扰具有随机保费的离散风险模型［Ｊ］．高校应用数学学报，２００９，２４（１）：９—１４．　Ｒｕｉｎ　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｅｒｌａｎｇ（２）Ｒｉｓｋ　Ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ　ＧＵＯ　Ｄｏｎｇ—ｌｉｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ　Ｎｏｒｍａｌ　ＣｏＨｅｇｅ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ　Ｈｅｎａｎ　４７６０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｒｕｉｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｅｒｌａｎｇ（２）ｒｉｓｋ　ｍｏｄｅｌ　ｗｉｔｈ　ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｆｅｒｅｎｃｅ　ｉｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｐｒｏｆｉｔ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ａｎｄ　ａｎ　ｕｐｐｅｒ　ｂｏｕｎｄ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒｕｉｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｅｒｌａｎｇ（２）ｒｉｓｋ　ｍｏｄｅｌ；ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ；ｒｕｉｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｌ６