2021高考一轮复习 第七讲 二次函数与幂函数
一、单选题(共14题；共28分)
1
1．（2分）已知幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝑛 的图象过点 (8,) ，且 𝑓(𝑎+1)<𝑓(3) ，则a的取值范围是
4（ ） A．(−4,2) C．(−∞,−4)
2．（2分）已知函数 𝑓(𝑥)=(𝑚−1)2𝑥𝑚
2−4𝑚+2
B．(−∞,−4)∪(2,+∞) D．(2,+∞)
是在 (0,+∞) 上单调递增的幂函数，则 𝑚=
（ ） A．0或4
B．0或2
C．0
D．2
113．（2分）设 𝑎=()0.5 ， 𝑏=()0.5 ， 𝑐=log0.30.2 ，则a、b、c的大小关系是( )
23A．𝑎>𝑏>𝑐 B．𝑎<𝑏<𝑐 C．𝑏<𝑎<𝑐 D．𝑎<𝑐<𝑏
4．（2分）二次函数 𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑡𝑥 在 [1 , +∞) 上最大值为3，则实数 𝑡 ＝（ ）
A．±√3 B．√3 C．2 D．2或 √3
5．（2分）已知二次函数 𝑓(𝑥) 满足 𝑓(3+𝑥)=𝑓(3−𝑥) ，若 𝑓(𝑥) 在区间 [3,+∞) 上单调递减，
且 𝑓(𝑚)≥𝑓(0) 恒成立，则实数 𝑚 的取值范围是（ ） A．(−∞,0] C．[6,+∞)
B．[0,6]
D．(−∞,0]∪[6,+∞)
6．（2分）一次函数 𝑦＝𝑎𝑥＋𝑏 与二次函数 𝑦＝𝑎𝑥2＋𝑏𝑥＋𝑐 在同一坐标系中的图象大致是( )
A． B． C． D．
7．（2分）若二次函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑥+4 对任意的 𝑥1,𝑥2∈(−1,+∞) ，且 𝑥1≠𝑥2 ，都有 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)
<0 ，则实数 𝑎 的取值范围为（ ） 𝑥1−𝑥2
A．[−1,0) 2B．[−1,+∞)
2C．(−1,0)
2D．(−1,+∞)
28．（2分）如果二次函数y＝x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）
A．｛-2,6｝ C．[-2,6]
B．（-2,6）
D．(-∞，-2)∪(6，+∞)
9．（2分）已知二次函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑏∈𝑅,𝑐∈𝑅) ， 𝑀,𝑁 分别是函数 𝑓(𝑥) 在区间
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[−1,1] 上的最大值和最小值，则 𝑀−𝑁 的最小值（ ） A．
B．
C．
D．
10．（2分）二次函数 𝑓(𝑥) 的二次项系数为正数，且对任意项 𝑥∈𝑅 都有 𝑓(𝑥)=𝑓(4−𝑥) 成立，
若 𝑓(1−2𝑥2)<𝑓(1+2𝑥−𝑥2) ，则 𝑥 的取值范围是（ ） A．C．
B．
0
D．
或 或
11．（2分）二次函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+1 （ 𝑥∈[3，5] ）的值域为（ ）
A．[−2，6] B．[−3，+∞) C．[−3，6] D．[−3，−2]
12．（2分）二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 和 𝑦=𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎 ( 𝑎𝑐≠0 , 𝑎≠𝑐 )的值域分别为 𝑀
和 𝑁 ,命题 𝑝:𝑀 Ü 𝑁 ,命题 𝑞:𝑀∩𝑁≠∅ ,则下列命题中真命题的是（ ） A．𝑝∧𝑞 C．(¬𝑝)∧(¬𝑞)
B．𝑝∨(¬𝑞) D．(¬𝑝)∧𝑞
13．（2分）二次函数f（x）满足f（x＋2）＝f（-x＋2），且f（0）＝3，f（2）＝1，若在[0，m]上f
（x）的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是（ ） A．（0，＋∞）
B．[2，＋∞）
C．（0，2]
D．[2，4]
14．（2分）若二次函数 𝑓（𝑥）=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数 𝑓′
（𝑥） 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(共3题；共3分)
15．（1分）幂函数 𝑓(𝑥) 的图像经过点 𝑃(4,2) ，则 𝑓(9)= .
11116．（1分）已知集合 𝐴={−2,−1,−,,,1,2,3} ，任取 𝑘∈𝐴 ，则幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝑘 为偶函数
232
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的概率为 （结果用数值表示）
17．（1分）幂函数 𝑦=(𝑚2−𝑚−1)𝑥−5𝑚−3 在 𝑥∈(0,+∞) 时为减函数，则m= 。
三、解答题(共3题；共35分)
18．（15分）已知二次函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−3 ( 𝑎∈𝑅 ).
（1）（5分）若 𝑓(𝑥) 为偶函数，求 𝑎 的值；
（2）（5分）若 𝑓(𝑥)<0 的解集为 {𝑥|−3<𝑥<𝑏} ，求a,b的值; （3）（5分）若 𝑓(𝑥) 在区间 [−2,+∞) 上单调递增，求a的取值范围.
19．（10分）设二次函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑏 满足 𝑓(0)=1 ．
（1）（5分）已知对于任意的实数 𝑥 ，不等式 𝑓(𝑥)≥0 恒成立，求实数 𝑎 的取值范围； （2）（5分）若对于任意的 𝑎∈[−8,−7] ，不等式 𝑓(𝑥)+11≤0 恒成立，求实数 𝑥 的取值范围．
20．（10分）已知函数 𝑓(𝑥) 为二次函数，且 𝑓(𝑥−1)+𝑓(𝑥)=2𝑥2+4
（1）（5分）求 𝑓(𝑥) 的解析式
（2）（5分）若 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑘𝑥 在 [0,2] 的最小值为 1 ，求 𝑘 的值
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答案解析部分
1．【答案】B
112【解析】【解答】已知幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝑛 的图象过点 (8,) ，则 8𝑛=1 ，则 𝑛=log8=− ，
4443故幂函数 𝑓(𝑥) 的解析式为 𝑓(𝑥)=𝑥−3 ，若 𝑓(𝑎+1)<𝑓(3) ， 则 |𝑎+1|>3 ，解得 𝑎<−4 或 𝑎>2 . 故答案为：B.
【分析】求出幂函数解析式，根据函数单调性求解不等式.
2．【答案】C
【解析】【解答】∵f（x）是幂函数，
2
∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2， ∵f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴m2﹣4m+2＞0，
则当m＝0时，2＞0成立，
当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立， 故选C．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，结合幂函数的单调性进行求解即可．
3．【答案】C
111
【解析】【解答】 ∵𝑦=𝑥2 在 [0,+∞) 上单调递增， 1>>
231111
∴10.5>(2)0.5>(3)0.5 ，即 1>(2)0.5>(3)0.5
∵log0.30.2>log0.30.3=1
∴𝑐>𝑎>𝑏
故答案为：C
【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】对称轴 𝑥=𝑡 ,判断对称轴与区间的位置关系,
当 𝑡≤1 时, 𝑓(𝑥)=−𝑥2+2𝑡𝑥 在区间 [1 , +∞) 上单调递减, 𝑓max(𝑥)=𝑓(1)=2𝑡−1 , 此时 2𝑡−1=3,𝑡=2 ,不满足 𝑡≤1 ；
当 𝑡>1 时, 𝑓max(𝑥)=𝑓(𝑡)=−𝑡2+2𝑡2=𝑡2 ,此时 𝑡2=3⇒𝑡=±√3 ,又 𝑡>1 所以 𝑡=√3 . 故答案为：B.
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【分析】先求二次函数对称轴,分析对称轴与区间的位置关系来判定在哪点处取得最大值
5．【答案】B
【解析】【解答】解:设 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅,且𝑎≠0) ,
∵𝑓(3+𝑥)=𝑓(3−𝑥) ,∴𝑎(3+𝑥)2+𝑏(3+𝑥)+𝑐=𝑎(3−𝑥)2+𝑏(3−𝑥)+𝑐 , ∴𝑥(6𝑎+𝑏)=0 ,∴6𝑎+𝑏=0 ,∴𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−6𝑎𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−3)2−9𝑎+𝑐 . 又∵𝑓(𝑥) 在区间 [3,+∞) 上单调递减,∴𝑎<0 , ∴𝑓(𝑥) 是以 𝑥=3 为对称轴,开口向下的二次函数, ∴由 𝑓(𝑚)≥𝑓(0) 恒成立,得 0≤𝑚≤6 , ∴实数 𝑚 的取值范围[0,6]. 故答案为： 𝐵 .
【分析】设 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅,且𝑎≠0) ,根据 𝑓(3+𝑥)=𝑓(3−𝑥) 可得 6𝑎+𝑏=0 ,再根据 𝑓(𝑥) 在区间 [3,+∞) 上单调递减,可知 𝑎<0 ,进一步求出 𝑓(𝑚)≥𝑓(0) 恒成立时,m的取值范围.
6．【答案】C
【解析】【解答】若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故
可排除A；若a＜0，同理可排除D.对于B，由直线可知a>0，b>0，从而－ 𝑏 <0，而二次函数的对
2𝑎称轴在y轴的右侧，故应排除B. 故答案为：C.
【分析】由已知利用一次函数与二次函数的图象特征，分别判断各选项即可得结果.
7．【答案】A
【解析】【解答】∵二次函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑥+4 对任意的 𝑥1,𝑥2∈(−1,+∞) ，且 𝑥1≠𝑥2 ，都有 𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)
<0 ， 𝑥1−𝑥2
∴𝑓(𝑥) 在 (−1，+∞) 上单调递减，
1
∵对称轴 𝑥= ，
2𝑎𝑎<0
，解可得 −1≤𝑎<0 ， ∴{1
≤−122𝑎故答案为：A．
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【分析】由已知可知， 𝑓(𝑥) 在 (−1，+∞) 上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解．
8．【答案】D
【解析】【解答】因为二次函数y＝x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，所以x2+mx+（m+3）=0有两
个不同的根，因此𝛥=𝑚2−4(𝑚+3)>0∴𝑚>6或𝑚<−2 ， 故答案为：D.
【分析】根据二次函数零点与对应二次方程根的关系得判别式大于零，解不等式得结果.
9．【答案】B
【解析】【解答】当 −
𝑏
≤−1 ，即 𝑏≥2 时， 𝑀−𝑁=𝑓(1)−𝑓(−1)=2𝑏≥4 ； 2𝑏
当 −≥1 ，即 𝑏≤−2 时， 𝑀−𝑁=𝑓(−1)−𝑓(1)=−2𝑏≥4 ；
22𝑏𝑏𝑏当 −1<−≤0 ，即 0≤𝑏<2 时， 𝑀−𝑁=𝑓(1)−𝑓(−)=1+𝑏+≥1 ；
2242𝑏
当 0<−<1 ，即 −2<𝑏<0 时， 𝑀−𝑁=𝑓(−1)−𝑓(−𝑏)=1−𝑏+𝑏>1 ，
224综上所述， 𝑀−𝑁≥1 最小值为1， 故答案为：B.
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴，对对称轴的取值分类讨论，结合二次函数的图象确定f（x）的单调性，根据单调性求出函数的最值，即可确定 𝑀−𝑁 的最小值 .
10．【答案】C
【解析】【解答】因为 𝑓(𝑥)=𝑓(4−𝑥) ，所以二次函数的对称轴为 𝑥=2 ，且开口向上， 1−
2𝑥2≤1,1+2𝑥−𝑥2=−(𝑥−1)2+2≤2 ，所以 𝑓(1−2𝑥2)<𝑓(1+2𝑥−𝑥2) 等价于 1−2𝑥2>1+2𝑥−𝑥2 ，解得 −2<𝑥<0 . 故答案为：C
【分析】由题意得二次函数的对称轴为 𝑥=2，利用二次函数的单调性将原不等式等价于 1−2𝑥2>1+2𝑥−𝑥2，即可解得 𝑥 的取值范围 𝑥 的取值范围 .
11．【答案】A
【解析】【解答】∵对于函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+1 ，是开口向上的抛物线，对称轴为 𝑥=−
𝑏
=2𝑎2 ，
∴函数在区间 [3，5] 是递增的，
∴当 𝑥=3 时 𝑓(𝑥) 取最小值 −2 ，当 𝑥=5 时 𝑓(𝑥) 取最大值 6，
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∴值域为 [−2，6]。 故答案为：A
【分析】利用二次函数的图象和对称性和单调性，从而求出二次函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+1 （ 𝑥∈[3，5] ）的最值，进而求出二次函数 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+1 （ 𝑥∈[3，5] ）的值域。
12．【答案】D
【解析】【解答】 (1)当 𝑎>0 , 𝑐<0 时, 二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的值域为： 𝑀={𝑦|𝑦≥4𝑎𝑐−𝑏 ,
}4𝑎2
二次函数 𝑦=𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎 的值域为： 𝑁={𝑦|𝑦≤4𝑎𝑐−𝑏} ,此时显然
4𝑐𝑝:𝑀 Ü 𝑁 是假命题,而 4𝑎𝑐−𝑏 是负的, 4𝑎𝑐−𝑏 是正的,故命题 𝑝:𝑀 Ü 𝑁 是假命题, 命题 𝑞:𝑀∩
4𝑎4𝑐𝑁≠∅ 是真命题；(2)当 𝑎>0 , 𝑐>0 时, 二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的值域为： 𝑀={𝑦|𝑦≥
4𝑎𝑐−𝑏 ,
}4𝑎2
2
2
2
二次函数 𝑦=𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎 的值域为： 𝑁={𝑦|𝑦≥4𝑎𝑐−𝑏} ,此时
4𝑐4𝑎𝑐−𝑏 、 4𝑎𝑐−𝑏 是同号,故命题 𝑞:𝑀∩𝑁≠∅ 是真命题；(3)当 𝑎<0 , 𝑐<0 时, 二次函数 4𝑎4𝑐2
2
2
𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 的值域为： 𝑀={𝑦|𝑦≤4𝑎𝑐−𝑏} ,
4𝑎2
2
二次函数 𝑦=𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎 的值域为： 𝑁={𝑦|𝑦≤4𝑎𝑐−𝑏} ,此时
4𝑐4𝑎𝑐−𝑏 、 4𝑎𝑐−𝑏 是同号,故命题 𝑞:𝑀∩𝑁≠∅ 是真命题；(4)当 𝑎<0 , 𝑐>0 时, 二次函数 4𝑎4𝑐2
2
2
𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 的值域为： 𝑀={𝑦|𝑦≤4𝑎𝑐−𝑏} ,
4𝑎2
2
二次函数 𝑦=𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎 的值域为： 𝑁={𝑦|𝑦≥4𝑎𝑐−𝑏} ,此时
4𝑐4𝑎𝑐−𝑏 是正数、 4𝑎𝑐−𝑏 是负数,故命题 𝑞:𝑀∩𝑁≠∅ 是真命题； 4𝑎4𝑐2
2
2
综上所述： 𝑝 是假命题, 𝑞 是真命题.
A: 因为 𝑝 是假命题, 𝑞 是真命题, 𝑝∧𝑞 是假命题；
B: 因为 𝑝 是假命题, 𝑞 是真命题,所以 ¬𝑞 是假命题,因此 𝑝∨(¬𝑞) 是假命题；
C: 因为 𝑝 是假命题, 𝑞 是真命题,所以 ¬𝑝 是真命题, ¬𝑞 是假命题,因此 (¬𝑝)∧(¬𝑞) 是假命题； D: 因为 𝑝 是假命题, 𝑞 是真命题,所以 ¬𝑝 是真命题, (¬𝑝)∧𝑞 是真命题. 故答案为：D
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【分析】根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题 𝑝 的真假,
根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题 𝑞 的真假,最后根据且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.
13．【答案】D
【解析】【解答】因为二次函数 𝑓(𝑥) 满足 𝑓(2+𝑥)=𝑓(2−𝑥) ，所以 𝑓(𝑥) 图象的对称轴是 𝑥=
2 ．
设其解析式为 𝑦=𝑎(𝑥−2)2+𝑏 ，因为 𝑓(0)=3 ， 𝑓(2)=1 ，
4𝑎+𝑏=3,
解得 𝑎=1 ， 𝑏=1 ．所以函数 𝑓(𝑥) 的解析式 𝑦=1(𝑥−2)2+1 ． 所以 {
𝑏=1,22因为 𝑓(0)=3 ， 𝑓(2)=1 ，𝑓(𝑥) 在 [0,𝑚] 上的最大值为3，最小值为1， 所以 𝑚≥2 ．又 𝑓(4)=3 ，由二次函数的性质知， 𝑚≤4 ．综上， 2≤𝑚≤4 ． 故答案为：D
【分析】首先根据题意求出二次函数的对称轴,由此设出函数的解析式再把点的坐标代入到解析式求出a、b的值，进而得出函数的解析式然后再根据二次函数在指定区间上的最值情况求出最大值和最小值即可。
14．【答案】A
【解析】【解答】解：∵函数 𝑓（𝑥）=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 的图象开口向上且顶点在第四象限， ∴𝑎>𝑏
0，−2𝑎>0，∴𝑏<0，
∵𝑓′（𝑥）=2𝑎𝑥+𝑏，
∴函数 𝑓′（𝑥） 的图象经过一，三，四象限， ∴选项A符合， 故答案为：A．
【分析】结合f(x)函数图象和基本性质，判断a，b的符号，进而判断导函数的图象。
15．【答案】3
【解析】【解答】设幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝛼 ，
∵𝑓(𝑥) 图像经过点 𝑃(4,2) ，
1∴4𝛼=2 ， ∴𝛼= ，
2∴𝑓(𝑥)=∴𝑓(9)=
1𝑥2 192，
=3 .
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故答案为：3
【分析】设幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝛼 ，由条件求 𝛼 ，再求 𝑓(9) 的值.
116．【答案】 4【解析】【解答】解：要幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝑘 为偶函数，则 𝑘=−2,2 ，
故使幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝑘 为偶函数的概率为 2=1 ，
84故答案为： 1
4【分析】首先找到使幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝑘 为偶函数的所有 𝑘 ，然后利用概率公式求解即可.
17．【答案】2
【解析】【解答】因为 𝑦=(𝑚2−𝑚−1)𝑥−5𝑚−3 是幂函数，所以 𝑚2−𝑚−1 =1，故m=2或m=-
1，又幂函数 𝑦=(𝑚2−𝑚−1)𝑥−5𝑚−3 在 𝑥∈(0,+∞) 时为减函数，所以-5m-3<0，所以m=2． 【分析】由已知函数𝑦=(𝑚2−𝑚−1)𝑥−5𝑚−3 是幂函数列式，得到m=2或m=-1，结合函数的单调性，即可判断m的值.
18．【答案】（1）解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）．
即（﹣x）2﹣a（﹣x）﹣3＝x2﹣ax﹣3， ∴2ax＝0 从而解得a＝0
（2）解：∵f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜b} ∴﹣3和b是方程x2﹣ax﹣3＝0的两根， ∴由根与系数关系得：﹣3+b＝a，﹣3×b＝﹣3； ∴a＝﹣2，b＝1
𝑎
（3）解：∵f（x）的对称轴为x =2 且f（x）在区间[﹣2，+∞）上单调递增， 𝑎
∴2≤−2 ；
∴a≤﹣4
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定得a；（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，
求得a、b的值；（3）二次函数的单调性与对称轴相关，从而求得a的取值范围．
19．【答案】（1）解：由题意 𝑓(0)=𝑏=1 ，所以 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+1 ，
因为对于任意的实数 𝑥 ，不等式 𝑓(𝑥)≥0 恒成立， 所以 𝑥2+𝑎𝑥+1≥0 恒成立，
因此只需 𝛥=𝑎2−4≤0 ，解得 −2≤𝑎≤2 ；
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∴实数 𝑎 的取值范围是 [−2,2] ；
（2）解：令 𝑔(𝑎)=𝑓(𝑥)+11=𝑎𝑥+𝑥2+12 ，则 𝑔(𝑎)=𝑎𝑥+𝑥2+12 可看作关于 𝑎 的一次函数，
又对于任意的 𝑎∈[−8,−7] ，不等式 𝑓(𝑥)+11≤0 恒成立， 所以 𝑔(𝑎)=𝑎𝑥+𝑥2+12≤0 对于任意的 𝑎∈[−8,−7] 恒成立， 𝑔(−8)=𝑥2−8𝑥+12≤0
，解得： 3≤𝑥≤4 ． ∴{
𝑔(−7)=𝑥2−7𝑥+12≤0∴实数 𝑥 的取值范围是 [3,4] ．
【解析】【分析】先由 𝑓(0)=1 ，得到 𝑏=1 ；推出 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+1 ，（1）对于任意的实数
𝑥 ，不等式 𝑓(𝑥)≥0 恒成立，可转化为 𝑥2+𝑎𝑥+1≥0 恒成立，用判别式小于等于 0 ，即可得出结果；（2）令 𝑔(𝑎)=𝑓(𝑥)+11 ，则 𝑔(𝑎)=𝑎𝑥+𝑥2+𝑏+11 可看作关于 𝑎 的一次函数，根据题意，结合一次函数单调性，列出不等式组，即可求出结果.
20．【答案】（1）解：设 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)
∴𝑎(𝑥2−1)+𝑏(𝑥−1)+𝑐+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =2𝑎𝑥2+(2𝑏−2𝑎)𝑥+𝑎−𝑏+2𝑐=2𝑥2+4
2𝑎=2𝑎=1
∴{2𝑏−2𝑎=0 ，解得 {𝑏=1 ， ∴𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥+2
𝑐=2𝑎−𝑏+2𝑐=4
𝑘−1
（2）解： 𝑔(𝑥)=𝑥2+(1−𝑘)𝑥+2 的对称轴为 𝑥=
2（i）当 𝑘−1≥2 ，即 𝑘≥5 时， 𝑔(𝑥) 在 [0,2] 上单调递减，则
2𝑓min=𝑓(2)=8−2𝑘
7
由 8−2𝑘=1 得 𝑘= ，舍去
2（ii）当 𝑘−1≤0 ，即 𝑘≤1 时， 𝑔(𝑥) 在 [0,2] 上单调递增，则
2𝑓min=𝑓(0)=2 ，舍去 （iii）当 0<
𝑘−1
<2 ，即 1<𝑘<5 时 2𝑘−1−𝑘+2𝑘+7
𝑓min=𝑓()=
24由 −𝑘+2𝑥+7=1 得 𝑘=3 （ −1 舍去）
4综上： 𝑘 的值为 3
【解析】【分析】（1）设 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 ，由 𝑓(𝑥−1)+𝑓(𝑥)=2𝑥2+4 ，利用待定系数法，
10 / 11
2
2
列方程组求出a，b，c的值，从而求出函数的解析式；（2） 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑘𝑥=𝑥2+(1−𝑘)𝑥+2
𝑘−1
为对称轴的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，可的图象是开口朝上，且以直线 𝑥=2得不同情况下 𝑘 的方程，解方程即可．
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