2021年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的 1．（3分）（2021•北京）截止到2021年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 1。4×105 1。4×106 14×104 14×106 2．（3分）（2021•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A． a B． b C． c D． d 3．（3分）（2021•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ） A． B． C． D．
4．（3分）（2021•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A． B． C． D．
5．（3分）（2021•北京）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）
26° 36° 46° 56° A． B． C． D． 6．（3分）（2021•北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1。2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A． 0。5km B． 0。6km C． 0。9km D． 1。2km 7．（3分）（2021•北京）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A． 21，21 B． 21，21。5 C． 21，22 D． 22，22 8．（3分）（2021•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）
A． 景仁宫（4，2） B． 养心殿（﹣2，3） C． 保和殿（1，0） D． 武英殿（﹣3。5，﹣4） 9．（3分）（2021•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A 类 50 25
B 类 200 20 C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ） A． 购买A类会员年卡 B． 购买B类会员年卡 C． 购买C类会员年卡 D． 不购买会员年卡 10．（3分）（2021•北京）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A→O→B B→A→C B→O→C C→B→O A． B． C． D．
二、填填空题（本题共18分，每小题3分） 11．（3分）（2021•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x= ． 12．（3分）（2021•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= ．
13．（3分）（2021•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为 ．
14．（3分）（2021•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ． 15．（3分）（2021•北京）北京市2021﹣2021年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2021年北京市轨道交通日均客运量约 万人次，你的预估理由是 ．
16．（3分）（2021•北京）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．（5分）（2021•北京）计算：（）2﹣（π﹣
﹣
）0+|
﹣2|+4sin60°．
18．（5分）（2021•北京）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
19．（5分）（2021•北京）解不等式组
，并写出它的所有非负整数解．
20．（5分）（2021•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
21．（5分）（2021•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2021年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2021年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2021年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1。2倍．预计到2021年底，全市将有租赁点多少个？ 22．（5分）（2021•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
23．（5分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值． 24．（5分）（2021•北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且
=
，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
25．（5分）（2021•北京）阅读下列材料：
2021年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21。75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17。6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．
2021年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2021 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26。2万人次，2021 年清明小长假增加了4。6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．
2021年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14。9 万人次． 根据以上材料解答下列问题：
（1）2021年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为 万人次；
（2）选择统计表或统计图，将2021﹣2021年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．
26．（5分）（2021•北京）有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1
﹣ ﹣
1 2 3 …
y …
﹣ ﹣ ﹣
m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．
27．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
28．（7分）（2021•北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1． ①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
29．（8分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图． 特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0． （1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，
）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，
求其坐标；
②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣
x+2
与x轴、y轴分别交于点A，B，
若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．
2021年北京市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的 1．（3分）（2021•北京）截止到2021年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 1。4×105 1。4×106 14×104 14×106
考点：科 学记数法—表示较大的数． 专题：计 算题． 分析：将 140000用科学记数法表示即可． 解答： ：140000=1。4×105， 解
故选B． 点评：此 题考查了科学记数法﹣表示较大的数，较小的数，以及近似数与有效数字，科学记
数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（3分）（2021•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A． a B． b C． c D． d
考点：实 数大小比较． 分析：首 先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值
的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 解答：解 ：根据图示，可得
3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3， 所以这四个数中，绝对值最大的是a． 故选：A． 点评：此 题主要考查了实数大小的比较方法，以及绝对值的非负性质的应用，要熟练掌握，
解答此题的关键是判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围． 3．（3分）（2021•北京）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ） A． B． C． D．
考点：概 率公式． 专题：计 算题． 分析：直 接根据概率公式求解．
解答：
解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率=
=．
故选B． 点评：本 题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所
有可能出现的结果数． 4．（3分）（2021•北京）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A． B． C． D．
考点：轴 对称图形． 分析：根 据轴对称图形的概念求解． 解答：解 ：A、不是轴对称图形，
B、不是轴对称图形， C、不是轴对称图形， D、是轴对称图形， 故选：D． 点评：本 题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果
图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形． 5．（3分）（2021•北京）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）
26° 36° 46° 56° A． B． C． D．
考点：平 行线的性质． 分析：如 图，首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可
解决问题． 解答： ：如图，∵直线l4∥l1， 解
∴∠1+∠AOB=180°，而∠1=124°， ∴∠AOB=56°，
∴∠3=180°﹣∠2﹣∠AOB =180°﹣88°﹣56° =36°， 故选B．
点评：该 题主要考查了平行线的性质及其应用问题；应牢固掌握平行线的性质，这是灵活运
用、解题的基础和关键． 6．（3分）（2021•北京）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1。2km，则M，C两点间的距离为（ ）
A． 0。5km B． 0。6km C． 0。9km D． 1。2km
考点：直 角三角形斜边上的中线． 专题：应 用题． 分析：根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1。2km． 解答：解 ：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=AB=AM=1。2km．
故选D． 点评：本 题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜
边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 7．（3分）（2021•北京）某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）
A． 21，21 B． 21，21。5
考点：众 数；条形统计图；中位数． 专题：数 形结合．
C． 21，22 D． 22，22
分析：根 据条形统计图得到各数据的权，然后根据众数和中位数的定义求解． 解答：解 ：这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21，
第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22． 故选C． 点评：本 题考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了条形统
计图和中位数． 8．（3分）（2021•北京）如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是（ ）
A． 景仁宫（4，2） B． 养心殿（﹣2，3） C． 保和殿（1，0） D． 武英殿（﹣3。5，﹣4）
考点：坐 标确定位置． 分析：根 据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可． 解答：解 ：根据表示太和门的点的坐标为（0，﹣1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），
可得：原点是中和殿，
所以可得景仁宫（2，4），养心殿（﹣2，3），保和殿（0，1），武英殿（﹣3。5，﹣3），
故选B
点评：此 题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向． 9．（3分）（2021•北京）一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A 类 50 25 B 类 200 20 C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ） A． 购买A类会员年卡 B． 购买B类会员年卡 C． 购买C类会员年卡 D． 不购买会员年卡
考点：一 次函数的应用． 分析： 一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，设消费的钱数为y元，根据题意得：yA=50+25x，
yB=200+20x，yC=400+15x，当45≤x≤50时，确定y的范围，进行比较即可解答． 解答：解 ：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，
根据题意得： yA=50+25x， yB=200+20x， yC=400+15x， 当45≤x≤50时， 1175≤yA≤1300； 1100≤yB≤1200； 1075≤yC≤1150；
由此可见，C类会员年卡消费最低，所以最省钱的方式为购买C类会员年卡． 故选：C． 点评：本 题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，并确定
函数值的范围． 10．（3分）（2021•北京）一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A→O→B A．
B→A→C B．
B→O→C C．
C→B→O D．
考点：动 点问题的函数图象． 分析：根 据函数的增减性：不同的观察点获得的函数图象的增减性不同，可得答案． 解答：解 ：A、从A点到O点y随x增大一直减小到0，故A不符合题意；
B、从B到A点y随x的增大先减小再增大，从A到C点y随x的增大先减小再增大，但在A点距离最大，故B不符合题意；
C、从B到O点y随x的增大先减小再增大，从O到C点y随x的增大先减小再增大，在B、C点距离最大，故C符合题意；
D、从C到M点y随x的增大而减小，一直到y为0，从M点到B点y随x的增大而增大，明显与图象不符，故D不符合题意； 故选：C． 点评：本 题考查了动点问题的函数图象，利用观察点与动点P之间距离的变化关系得出函数
的增减性是解题关键．
二、填填空题（本题共18分，每小题3分） 11．（3分）（2021•北京）分解因式：5x3﹣10x2+5x= 5x（x﹣1）2 ．
考点：提 公因式法与公式法的综合运用． 分析：先 提取公因式5x，再根据完全平方公式进行二次分解． 解答： ：5x3﹣10x2+5x 解
=5x（x2﹣2x+1） =5x（x﹣1）2．
故答案为：5x（x﹣1）2． 点评：本 题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次
分解，注意分解要彻底． 12．（3分）（2021•北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360° ．
考点：多 边形内角与外角． 分析：首 先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，
∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可． 解答：解 ：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）
=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）
=900°﹣（5﹣2）×180° =900°﹣540° =360°．
故答案为：360°． 点评：此 题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n
边形的内角和=（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． 13．（3分）（2021•北京）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为
．
考点：由 实际问题抽象出二元一次方程组． 分析：根 据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关
系，即可列出方程组． 解答：
解：根据题意得：，
故答案为：．
点评：本 题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．
14．（3分）（2021•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= 4 ，b= 2 ．
考点：根 的判别式． 专题：开 放型． 分析：
由于关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，得到a=b2，找一组满
足条件的数据即可． 解答：
关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4×a=b2﹣a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4，
故b=2，a=4时满足条件． 故答案为：4，2． 点评：本 题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键． 15．（3分）（2021•北京）北京市2021﹣2021年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2021年北京市轨道交通日均客运量约 980 万人次，你的预估理由是 根据2021﹣2021年呈直线上升，故2021﹣2021年也呈直线上升 ．
考点：用 样本估计总体；折线统计图． 分析：根 据统计图进行用样本估计总体来预估即可． 解答：解 ：预估2021年北京市轨道交通日均客运量约980万人次，根据2021﹣2021年呈直
线上升，故2021﹣2021年也呈直线上升，
故答案为：980；根据2021﹣2021年呈直线上升，故2021﹣2021年也呈直线上升． 点评：此 题考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律． 16．（3分）（2021•北京）阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ．
考点：作 图—基本作图． 专题：作 图题． 分析：通 过作图得到CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为
线段AB的垂直平分线． 解答：解 ：∵CA=CB，DA=DB，
∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 点评：本 题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；
作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）（2021•北京）计算：（）2﹣（π﹣
﹣）0+|
﹣2|+4sin60°．
考点：实 数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 分析：原 式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用
绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答：
解：原式=4﹣1+2﹣+4×=5+．
点评：此 题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（5分）（2021•北京）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
考点：整 式的混合运算—化简求值． 专题：计 算题． 分析：原 式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合
并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 解答： ：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6， 解
∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7． 点评：此 题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（5分）（2021•北京）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
考点：解 一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 专题：计 算题． 分析：分 别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，
即可确定出所有非负整数解． 解答：
解：，
由①得：x≥﹣2； 由②得：x＜，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，
则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 点评：此 题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法
则是解本题的关键． 20．（5分）（2021•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
考点：等 腰三角形的性质． 专题：证 明题． 分析：根 据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：
∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD． 解答：证 明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD． 点评：考 查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高相互重合． 21．（5分）（2021•北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2021年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个．预计到2021年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2021年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1。2倍．预计到2021年底，全市将有租赁点多少个？
考点：分 式方程的应用． 分析：根 据租赁点的公租自行车数量变化表示出2021年和2021年平均每个租赁点的公租自
行车数量，进而得出等式求出即可． 解答：解 ：设到2021年底，全市将有租赁点x个，根据题意可得：
×1。2=，
解得：x=1000，
经检验得：x=1000是原方程的根，
答：到2021年底，全市将有租赁点1000个． 点评：此 题主要考查了分式的方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键． 22．（5分）（2021•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
考点：平 行四边形的性质；角平分线的性质；勾股定理的逆定理；矩形的判定． 专题：证 明题． 分析：（ 1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得
BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案． 解答：（ 1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB． 点评：本 题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形
的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
23．（5分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B． （1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
考点：反 比例函数与一次函数的交点问题． 分析：（ 1）将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可求得m的值；
（2）作PC⊥x轴于点C，设点A的坐标为（a，0），则AO=﹣a，AC=2﹣a，根据PA=2AB得到AB：AP=AO：AC=1：2，求得a值后代入求得k值即可． 解答：
解：∵y=经过P（2，m），
∴2m=8， 解得：m=4；
（2）点P（2，4）在y=kx+b上， ∴4=2k+b， ∴b=4﹣2k，
∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B， ∴A（2﹣，0），B（0，4﹣2k）， 如图，
∵PA=2AB，
∴AB=PB，则OA=OC， ∴
﹣2=2，
解得k=1；
点评：本 题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是表示出A的坐标，然后
利用线段之间的倍数关系确定k的值，难度不大． 24．（5分）（2021•北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且
=
，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．
（1）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE=2，求OE的长．
考点：切 线的性质；等边三角形的判定与性质． 分析：（ 1）由AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到
CD⊥AB，根据垂径定理得到，于是得到，问题即可得证；
（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为：r则ON=r，AN=DN=
r，由于得到EN=2+
，BE=AE=
，在Rt△DEF与Rt△BEO
中，由勾股定理列方程即可得到结论． 解答：（ 1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，
∴AB⊥BE， ∵CD∥BE， ∴CD⊥AB，
∴∵∴
=
， ，
，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等边三角形；
（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB， ∴∠DAB=30°，
∴BE=AE，ON=AO， 设⊙O的半径为：r， ∴ON=r，AN=DN=
r，
∴EN=2+，BE=AE=，
在Rt△NEO与Rt△BEO中， OE2=ON2+NE2=OB2+BE2， 即∴r=2∴OE2=∴OE=2
． ，
+25=28，
=r2+
，
点评：本 题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定
理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键． 25．（5分）（2021•北京）阅读下列材料：
2021年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21。75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17。6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．
2021年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2021 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26。2万人次，2021 年清明小长假增加了4。6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．
2021年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14。9 万人次． 根据以上材料解答下列问题：
（1）2021年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为 40 万人次；
（2）选择统计表或统计图，将2021﹣2021年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．
考点：条 形统计图；统计表． 分析：（ 1）2021年的人数乘以（1+25%）即可求解；
（2）求出2021年颐和园的游客接待量，然后利用统计表即可表示． 解答：解 ：（1）2021年，玉渊潭公园的游客接待量是：32×（1+25%）=40（万人）．
故答案是：40；
（2）2021年颐和园的游客接待量是：26。4﹣4。6=21。8（万元）．
玉渊潭公园 颐和园 北京动物园 2021年 32 21。8 14。9 2021年 40 26。2 22 2021年 38 26 18 点评：本 题考查了数据的分析与整理，正确读懂题意，从所列的数据中整理出2021﹣2021
年三年中，三个公园的游客数是关键．
26．（5分）（2021•北京）有这样一个问题：探究函数y=x2+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数y=x2+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2+的自变量x的取值范围是 x≠0 ； （2）下表是y与x的几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1
﹣ ﹣ y
…
﹣ ﹣
﹣
1
2
3 …
m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 ．
考点：二 次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质． 分析：（ 1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x=3时的函数值为m，把x=3代入解析式即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可； （4）观察图象即可得出该函数的其他性质． 解答：解 ：（1）x≠0，
（2）令x=3，
∴y=×32+ =+=∴m=
； ；
（3）如图
（4）该函数的其它性质： ①该函数没有最大值； ②该函数在x=0处断开； ③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限． 故答案为该函数没有最大值． 点评：本 题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的
图象是解题的关键． 27．（7分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
考点：二 次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 分析：（ 1）当y=2时，则2=x﹣1，解得x=3，确定A（3，2），根据AB关于x=1对称，所
以B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得的值，即可解答；
（3）画出函数图象，把A，B代入y=ax2，求出a的值，即可解答． 解答：解 ：（1）当y=2时，则2=x﹣1，
解得：x=3， ∴A（3，2），
∵点A关于直线x=1的对称点为B， ∴B（﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：
，求出b，c
解得：
∴y=x2﹣2x﹣1．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a=2， 解得：a=，
代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2， 解得：a=2， ∴
点评：本 题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图形
解决问题．
28．（7分）（2021•北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1． ①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）
考点：四 边形综合题． 分析：（ 1）①根据题意画出图形即可；
②连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SSS定理得出△HDP≌△HQC，故PH=CH，∠HPC=∠HCP，由正方形的性质即可得出结论； （2）根据四边形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出PD=CQ．作HR⊥PC于点R，由∠AHQ=152°，可得出∠AHB及∠DAH的度数，设DP=x，则DR=HR=RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论． 解答：解 ：（1）①如图1；
②如图1，连接CH，
∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD， ∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形． ∵DP=CQ，
在△HDP与△HQC中．
∵，
∴△HDP≌△HQC（SSS）， ∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．
∵BD是正方形ABCD的对称轴， ∴AH=CH，∠DAH=∠HCP， ∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°， ∴AH=PH，AH⊥PH．
（2）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，
∴∠HDQ=45°，
∴△DHQ是等腰直角三角形． ∵△BCQ由△ADP平移而成， ∴PD=CQ．
作HR⊥PC于点R， ∵∠AHQ=152°， ∴∠AHB=62°， ∴∠DAH=17°．
设DP=x，则DR=HR=RQ=
．
∵tan17°=，即tan17°=，
∴x=．
点评：本 题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的
判定与性质等知识，难度适中． 29．（8分）（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图． 特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0． （1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，
）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，
求其坐标；
②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，
若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．
考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）①根据反称点的定义，可得当⊙O的半径为1时，点M（2，1）关于⊙O的反
称点不存在；N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）；T（1，）
关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②由OP≤2r=2，得出OP2≤4，设P（x，﹣x+2），由勾股定理得出OP2=x2+（﹣x+2）2
=2x2﹣4x+4≤4，解不等式得出0≤x≤2．再分别将x=2与0代入检验即可； （2）先由y=﹣
x+2
，求出A（6，0），B（0，2
），则
=
，∠OBA=60°，
∠OAB=30°．再设C（x，0），分两种情况进行讨论：①C在OA上；②C在A点右
侧． 解答：解 ：（1）当⊙O的半径为1时．
①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在；
N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）； T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）；
②∵OP≤2r=2，OP2≤4，设P（x，﹣x+2）， ∴OP2=x2+（﹣x+2）2=2x2﹣4x+4≤4， ∴2x2﹣4x≤0， x（x﹣2）≤0， ∴0≤x≤2．
当x=2时，P（2，0），P′（0，0）不符合题意； 当x=0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意； ∴0＜x＜2；
（2）∵直线y=﹣
x+2
与x轴、y轴分别交于点A，B， ），
∴A（6，0），B（0，2
∴=，
∴∠OBA=60°，∠OAB=30°． 设C（x，0）．
①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r=2， 所以AC≤4，
C点横坐标x≥2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；
②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2， 所以C点横坐标x≤8．
综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8．
点评：本 题是圆的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值，
勾股定理，一元二次不等式的解法，利用数形结合、正确理解反称点的意义是解决本题的关键．
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