方程、旋转、二次函数专项

1.如图9，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE.我们探究下列图中线段BG、DE的长度关系及所在直线的位置关系： (1)①猜想如图9中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图9中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到图10、图11的情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图10证明你的判断. (2)在第(1)题图11中，连接DG、BE，且AB＝3，EF＝2，求BE+DG的值.

2

2

2.已知：正方形ABCD中，MAN（或它们的延长线）于点

45．当

，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC旋转到

M，NMAN绕点ABMDN时（如图

1），易证

BMDNMN．

（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图

关系？写出猜想，并加以证明． （2）当MAN绕点直接写出你的猜想．

2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量

A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请

D N

N

A

D

A

D

A

B

M 图1

C

B

M 图2

C

M B

C

图3

N

3.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接

EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）

将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？

D A A G E F E F D

A D

B E G F 图①

C B 图②

C B 图③

C 4．已知：如图（1），在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.

（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围； （2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（3）如图（2），现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

方程、函数类综合应用题 专项训练

1.为了实现“畅通重庆”的目标，重庆地铁一号线某标段工程已进行招标，招标路段长300米，经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：①甲公司施工单价y1（万米/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.8-0.09x； ②乙公司施工单价y2（万米/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.8-0.05x； （注：工程款=施工单价施×施工长度） （1） 如果不考虑其它因素，单独由甲公司施工，那么完成此项工程款多少万元？

（2） 考虑到设备和技术等因素，甲公司必须邀请乙公司联合施工，共同完成该工程，因设备共享，两公司联合施工时市可节省工程款140万元（从工程款中扣除）。

①如果设甲公司施工a米（02.十二五期间，重庆将继续建设“五个重庆”，并以“民生”作为工作的首要目标，为尽快缩短城乡差距，在“两翼”地区实施万元增收计划，学农的大学毕业生小王自主创业，在的帮助下，引进一种种苗，这种种苗既可以用来观赏，同时还能很好吸收二氧化碳，用来改变空气质量，因此有很好的市场前景．去年销售的这种种苗每棵的售价y（元）与月份x之间满足一次函数关系y=-x+62（1≤x≤12且为整数），而去年的月销量p（棵）与月份x之间成某种函数关系，其中四个月的销售情况如下表：

月份x

月销量p（单位：棵）

（1）

1月 500

2月 600

3月 700

6月 1000

判断p与x满足我们学过的哪种函数关系？求出函数关系式并验证你的判断．

（2）求该种苗在去年哪个月的销售额最大？最大为多少元？

（3）由于气候等条件的影响，今年1月该种苗的销量比去年12月下降25%．若将今年1月售出的种苗全部进行移栽，则移栽当年的存活率为（1-n%），且平均每株已成活的种苗可吸碳1.6千克，随着该种苗对环境的适应和生长，预计今年成活的种苗明年的成活率为（1-0.2n%），每株已成活种苗的吸碳能力增加

0.5n%，未成活种苗在其成活期间吸碳量忽略不计的情况下，预计明年的吸碳量比今年提高2%，求n的整数值．（参考数据：（20314.248，20514.318,20614.353）

25．今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每

周的平均销售价格变化如下表：

周数x 价格y（元/千克） 1 2 2 2.2 3 2.4 4 2.6 进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千

1 2

克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y＝－ x＋bx＋c.

20 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数关系式，并求出5月份y与x的函数关系式；

1

（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝ x＋1.2，5月份此种蔬

4

1

菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m＝ x＋2．试问4月份与5月份分别在哪一

5

周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？ （3）若5月份的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月份的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可

供销量将在第2周销量的基础上每周减少a %，为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第2周仅上涨0.8 a %．若在这一举措下，此种蔬菜在第3周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．（此小题可只列方程）

二次函数 专项训练

1.如图，抛物线y=ax2+ bx+c的对称轴为直线x = -1，与x轴交于A、 B两点，交y轴于点C，且OB = OC．则下列结论不正确的是( )。 A. a>1 B. c2．抛物线yax2bxc与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0), 且与y轴交于C(0,-3),此抛物线的顶点

y 为D，如图所示。

（1）求抛物线的解析式。

（2）求以A、C、D为顶点的三角形的面积。 （3）根据图象直接写出当函数值

y0时，自变量x的取值范围。

A O E B x

C D 3．在平面直角坐标系中，二次函数yax2bx2的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

4.如图，抛物线

，直线l与抛物线交于A、C两yx22x3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧）

点，其中C点的横坐标为2。 （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

5.如图，矩形A′BC′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，O′点在x轴的正半轴上，B点的坐标为（1，3）。

（1）如果二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过O，O′两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式； （2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得△POM为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标和△POM的面积；若不存在，请说明理由；

2

（3）求边C′O′所在直线的解析式。

6.在平面直角坐标系中，二次函数

y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；

的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（4）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

7．已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（－3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C（0，

）时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于

点K，如图所示．

（1）求出抛物线的函数解析式；

（2）抛物线的对称轴被直线l1、抛物线、直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：