小学数学 1-6 年级所有知识点、计算公式、简便运算知识总 汇
小学奥数 2018-08-25
第一部分 数与代数
（一）数的认识
1 整数【正数、 0、负数】
一 、 一 个 物 体 也 没 有 ， 用 0 表 示 。 0 和 1、 2、 3⋯ ⋯ 都 是 自 然 数 。 自 然 数 是 整 数 。 二 、 最 小 的 一 位 数 是 1， 最 小 的 自 然 数 是 0。
三 、 零 上 4摄氏 度记作 +4 ℃ ； 零 下 4摄氏 度记作 -4 ℃ 。“ +4”读作 正 四 。“ -4 ”读作 负 四 。 +4 也 可 以 写 成 4。
四 、 像 +4、 19 、 +8844这 数 都 是 正 数 。 像 -4 、 -11 、 -7 、 -155这的样 数 都 是 负 数 。 的样五 、 0 既 不 是 正 数 ， 也 不 是 负 数 。 正 数 都 大 于 0， 负 数 都 小 于 0。 六 、 通 常 情 况 下 ， 比 海 平 面 高 用 正 数 表 示 ， 比 海 平 面 低 用 负 数 表 示 。 七 、 通 常 情 况 下 ， 盈 利 用 正 数 表 示 ，亏 负 数 表 示 。 用损
八 、 通 常 情 况 下 ， 上车人 数 用 正 数 表 示 ， 下车人 数 用 负 数 表 示 。 九 、 通 常 情 况 下 ， 收 入 用 正 数 表 示 ， 支 出 用 负 数 表 示 。 十 、 通 常 情 况 下 ， 上 升 用 正 数 表 示 ， 下 降 用 负 数 表 示 。
2 小数【有限小数、无限小数】
一 、 分 母 是 10 、 100 、 1000 ⋯ ⋯ 的 分 数 都 可 以 用 小 数 表 示 。 一 位 小 数 表 示 十 分 之 几 ， 两 位 小 数 表 示 百 分 之 几 ， 三 位 小 数 表 示 千 分 之 几 ⋯ ⋯
二 、整 数 和 小 数 都 是 按 照 十进制 计 数 法 写 出 的 数 ，个 、十 、百 ⋯ ⋯ 以 及 十 分 之 一 、百 分 之 一 ⋯ ⋯ 都 是 计 数单位 。 每 相邻两 个 计 数单位间的进率 都 是 10 。
三 、 每 个 计 数单位 所 占 的 位 置 ， 叫 做 数 位 。 数 位 是 按 照 一 定 的顺序 排 列 的 。 四 、 小 数 的 性质： 小 数 的 末 尾 添 上 “ 0” 或 去 掉 “ 0” ， 小 数 的 大 小 不变。 五 、 根 据 小 数 的 性质， 通 常 可 以 去 掉 小 数 末 尾 的 “ 0” ， 把 小 数 化 简 。
六 、比较小 数 大 小 的 一 般 方 法 ：先 比较整 数 部 分 的 数 ，再 依 次 比较小 数 部 分 十 分 位 上 的 数 ，百 分 位 上 的 数 ， 千 分 位 上 的 数 ， 从 左 往 右 ， 如 果 哪 个 数 位 上 的 数 大 ，这个 小 数 就 大 。
七 、把 一 个 数 改 写 成 用“ 万 ”或“亿”作单位 的 数 ，在 万 位 或亿位 右边点 上 小 数 点 ，再 在 数 的 后 面 添 写 “ 万 ” 字 或 “亿” 字 。
八 、求 小 数 近 似 数 的 一 般 方 法 ： 1 先 要 弄 清 保 留 几 位 小 数 ； 2 根 据 需 要 确 定 看 哪 一 位 上 的 数 ； 3 用“ 四 舍 五 入 ” 的 方 法 求 得结果 。
九 、 整 数 和 小 数 的 数 位顺序 表 ：
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3 分数【真分数、假分数】
一 、 把单位 “ 1” 平 均 分 成 若 干 份 ， 表 示这 一 份 或 几 份 的 数 叫 做 分 数 。 表 示 其 中 一 份 的 数 ， 是这的样个 分 数 的 分 数单位 。
二 、 两 个 数 相 除 ， 它们的 商 可 以 用 分 数 表 示 。 即 ： a÷ b=a/b （ b≠ 0）
三 、 小 数 和 分 数 的 意义可 以 看 出 ， 小 数 实际上 就 是 分 母 是 10 、 100 、 1000 ⋯ 的 分 数 。 四 、 分 数 可 以 分为真 分 数 和 假 分 数 。
五 、 分 子 小 于 分 母 的 分 数 叫 做 真 分 数 。 真 分 数 小 于 1。
六 、 分 子 大 于 或 等 于 分 母 的 分 数 叫 做 假 分 数 。 假 分 数 大 于 或 等 于 1。 七 、 分 子 和 分 母 只 有 公 因 数 1 的 分 数 叫 做 最 简 分 数 。
八 、 分 数 的 基 本 性质： 分 数 的 分 子 和 分 母 同 时 乘 或 除 以 相 同 的 数 （ 零 除 外 ） ， 分 数 的 大 小 不变。 九 、 小 数 的 性质和 分 数 的 基 本 性质一 致 的 ， 应 用 分 数 的 基 本 性质， 可 以 通 分 和 约 分 。
4 百分数【税率、利息、折扣、成数】
一 、表 示 一 个 数 是 另 一 个 数 的 百 分 之 几 的 数 叫 做 百 分 数 。百 分 数 也 叫 百 分 率 或 百 分 比 ，百 分 数 通 常 用“ %” 表 示 。
二 、 分 数 与 百 分 数 比较：
不 同 点
可 以 表 示 具 体 数 量 ，可 以 有 单
位 名 称
相 同 点
分 数
表 示 两 个 数 之间的 关
系
不 可 以 表 示 具 体 数 量 ，不 可 以 百 分 数
有单位 名 称 三 、 分 数 、 小 数 、 百 分 数 的 互 化 。 （ 1）把分数化成小数，用分数的分子除以分母。 （ 2）把小数化成分数，先改写成分母是
10 、100、1000 ⋯ ⋯ 的分数，再约分。
（ 3）把小数化成百分数，先把小数点向右移动两位，然后添上百分号。 （ 4）把百分数化成小数，先去掉百分号，然后把小数点向左移动两位。
（ 5）把分数化成百分数，先把分数化成小数（除不尽时通常保留三位小数），再把小数化成百分数。 （ 6）把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 四、熟记常用三数的互化。 五、
1、出勤率表示出勤人数占总人数的百分之几。 2、合格率表示合格件数占总件数的百分之几。 3、成活率表示成活棵数占总棵数的百分之几。
六、求一个数比另一个数多百分之几，就是求一个数比另一个数多的占另一个数的百分之几。 七、 1、 多的÷“ 1” =多百分之几
2 、 少的÷“ 1” = 少百分之几
八、应得利息是税前利息，实得利息是税后利息。 九、 利息 = 本金 × 利率 × 时间 十、 应得利息 十二、 1、原价×折扣 2、现价÷原价 3、现价÷折扣
=现价 =折扣 =原价
－利息税 = 实得利息
十一、几折表示十分之几，表示百分之几十；几几折表示十分之几点几，表示百分之几十几。
十三、几成表示十分之几表示百分之几十；几成几表示十分之几点几，表示百分之几十几。
5 因数与倍数【素数、合数、奇数、偶数】
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一 、 4 × 3 = 12 ， 12 是 4 的 倍 数 ， 12 也 是 3 的 倍 数 ， 4 和 3 都 是 12 的 因 数 。 二 、 一 个 数 最 小 的 倍 数 是 它 本 身 ， 没 有 最 大 的 倍 数 。 一 个 数 倍 数 的 个 数 是 无 限 的 。 三 、 一 个 数 最 小 的 因 数 是 1， 最 大 的 因 数 是 它 本 身 。 一 个 数 因 数 的 个 数 是 有 限 的 。 四 、 5 的 倍 数 ： 个 位 上 的 数 是 5 或 0。
2 的 倍 数 ： 个 位 上 的 数 是 2、 4、 6、 8 或 0。 2 的 倍 数 都 是 双 数 。 3 的 倍 数 ： 各 位 上 数 的 和 一 定 是 3 的 倍 数 。
五 、 是 2 的 倍 数 的 数 叫 做 偶 数 。 不 是 2 的 倍 数 的 数 叫 做 奇 数 。
六 、 一 个 数 ， 如 果 只 有 1 和 它 本 身 两 个 因 数 ，这 数 就 叫 做 素 数 （ 或质的样数 ） 。 七 、 一 个 数 ， 如 果 除 了 1 和 它 本 身还有别的 因 数 ，这样的 数 就 叫 做 合 数 。 八 、 在 1— 20这些 数 中 ： （ 1 既 不 是 素 数 ， 也 不 是 合 数 ） 奇 数 ： 1、 3、 5、 7、 9、 11 、 13 、 15 、 17 、 19。 偶 数 ： 2、 4、 6、 8、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 、 20 。
素 数 ： 2、 3、 5、 7、 11 、 13 、 17 、 19 。 （ 共 8 个 ， 和为77 。 ）
合 数 ： 4、 6、 8、 9、 10 、 12 、 14 、 15 、 16 、 18 、 20 。 （ 共 11 个 ， 和为132 。 ） 九 、 最 小 的 奇 数 是 1， 最 小 的 偶 数 是 0， 最 小 的 素 数 是 2， 最 小 的 合 数 是 4。 十 、 如 果 两 个 数 是 倍 数 关 系 ， 则 大 数 是 最 小 公 倍 数 ， 小 数 是 最 大 公 因 数 。 十 一 、 如 果 两 个 数 只 有 公 因 数 1， 则 最 大 公 因 数 是 1， 最 小 公 倍 数 是 它们的 乘积。
（二）数的运算
1 计算法则【整数、小数、分数】
一 、 计 算 整 数 加 、 减 法 要 把 相 同 数 位 对齐， 从 低 位 算 起 。 二 、 计 算 小 数 加 、 减 法 要 把 小 数 点 对齐， 从 低 位 算 起 。 三 、 小 数 乘 法 ：
1、 先 按 整 数 乘 法 算 出积是 多 少 ， 看 因 数 中 一 共 有 几 位 小 数 ， 就 从积的 右边起 数 出 几 位 ， 点 上 小 数 点 。 2、 注 意 ： 在积里 点 小 数 点 时 ， 位 数 不 够 的 ， 要 在 前 面 用 0 补 足 。 四 、 小 数 除 法 ：
1、商的小数点要和被除数的小数点对齐； 2、有余数时，要在后面添0，继续往下除； 3、个位不够商
1 时，要在商的整数部分写0，点上小数点，再继续除。
0 补足。
4、把除数转化成整数时，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位。 5、当被除数的小数位数少于除数的小数位数时，要在被除数的末尾用
五 、 一 个 小 数 乘 10 、 100 、 1000 ⋯ ⋯ 只 要 把这个 小 数 的 小 数 点 向 右 移 动 一 位 、 两 位 、 三 位 ⋯ ⋯ 六 、 一 个 小 数 除 以 10 、 100 、 1000 ⋯ ⋯ 只 要 把这个 小 数 的 小 数 点 向 左 移 动 一 位 、 两 位 、 三 位 ⋯ ⋯ 七 、 分 数 加 、 减 法 ： 1 同 分 母 分 数 相 加 减 ， 把 分 子 相 加 减 ， 分 母 不变。 2 异 分 母 分 数 相 加 减 ， 要 先 通 分 化 成 同 分 母 分 数 ， 然 后 再 相 加 减 。
八 、 分 数 大 小 的 比较： 1 同 分 母 分 数 相 比较， 分 子 大 的 大 ， 分 子 小 的 小 。 2 异 分 母 的 分 数 相 比较， 先 通 分 然 后 再 比较； 若 分 子 相 同 ， 分 母 大 的 反 而 小 。 更 多 学习关 注 ABC 微课请料资堂 九 、 分 数 乘 分 数 ， 用 分 子 相 乘 的积作 分 子 ， 分 母 相 乘 的积作 分 母 。 十 、 甲 数 除 以 乙 数 （ 0 除 外 ） ， 等 于 甲 数 乘 乙 数 的 倒 数 。
2 四则运算关系
加法
一个加数 = 和－另一个加数
被减数 = 差 + 减数 减法
减数 = 被减数 － 差
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乘法 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数
被除数 = 商 × 除数 除法
除数 = 被除数 ÷ 商
3 两个规律
一、除法的商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（
0 除外），商不变。
二、乘法的积不变规律：如果一个因数乘几，另一个因数则除以几，那么它们的积不变。
4 简便计算
一 、运算 定律： 运算定律 加法交换律 加法结合律
用字母表示 a＋b=b＋a
（a＋b）＋c=a＋(b ＋c)
乘法交换律 a× b=b× a
乘法结合律 （a× b）× c=a× (b × c)
乘法分配律 （a＋b）× c=a× c＋b× c
减法运算规律 a－b－c=a－（b＋c）
除法运算规律 a÷ b÷ c=a÷ （b× c）
二 、乘、 除法的互 化。（ 小 技巧：符 号是相反 的 ；两个 数相乘得“ 1” 。） （1）A÷ 0.1=A× 10
（7）A÷ 0.01=A × 100；
（2）A× 0.1=A÷ 10
（8）A× 0.01=A ÷ 100
（3）A÷ 0.2=A× 5
（4）A× 0.2=A÷ 5
（9）A÷ 0.25=A × 4 （10）A× 0.25=A ÷ 4
（5）A÷ 0.5=A× 2
（11）A÷ 0.125=A × 8
（6）A× 0.5=A÷ 2
（12）A× 0.125=A ÷ 8
三 、求近 似数的方 法。
① 四舍五 入法。 ②进 一法。 ③ 去尾法。 四 、积与 因数、商 与被除 数 的大小比 较： 第 2 个因数 >1, 积>第 1 个因数； 第 2 个因数 =1, 积=第 1 个因数； 第 2 个因数 <1, 积<第 1 个因数。
除数>1，商<被除数； 除数=1，商=被除数； 除数<1，商>被除数；
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5 数量关系
单价× 数量 =总价 总价÷ 数量 =单价 总价÷ 单价 =数量 速度× 时间 =路程 路程÷ 时间 =速度 路程÷ 速度 =时间
工作效率× 工作时间 =工作总量 工作总量÷ 工作时间 =工作效率 工作总量÷ 工作效率 =工作时间
速度和× 相遇时间 =路程 路程÷ 相遇时间 =速度和 路程÷ 速度和 =相遇时间
（三）式与方程
1 用字母表示数
一 、在一 个含 有字 母的式 子 里，数字 和字母、 字 母和字 母相 乘时 ，中间 的 乘号可以 记作“· ” ，也可 以 省略不 写。在省 略数字 与 字母之间 的乘号时 ， 要把数 字写在字母 的前 面 。
二 、2a 与 a2 意义不 同：2a 表示两个 a 相 加， a2 表示 两个 a 相 乘。即： 2a=a ＋a，a2= a × a。 三 、用字 母表示数 ：
① 用字母 表示任意 数：如 X=4
a=6
② 用字母 表示常见 的数量 关 系：如 s=vt ③ 用字母 表示运算 定律： 如 a＋b=b ＋ a ④ 用字母 表示计算 公式： S=ah
2 方程与等式
一、含有未知数的等式叫做方程。
二、 使方 程左右两 边相等 的 未知数的值 ，叫做方 程的解。 三 、求方 程的解的 过程， 叫 做解方程 。 四 、方程 和等式的 联系与 区 别：
方
程
等
式
联 系 方程一定是等式，等式不一定是方程
区 别 含有未知数 不一定含有未知数
五 、等式 的基本性 质（一 ） ： 等式 两边同时 加上（ 或 减去）一 个相同的 数 ，所得 结果仍然 是等式 。 六 、等式 的基本性 质（二 ） ： 等式 两边同时 乘（或 除 以）一个 不等于零 的 数，所 得结果仍 然是等 式 。 七 、列方 程解应用 题的一 般 步骤： ① 弄清题 意，找出 未知数 并 用 X 表示 。
② 找出应 用题中数 量间的 相 等关系， 并列出方 程。 ③ 求出方 程的解。 更多学 习 资料请关 注 ABC 微 课堂 ④ 检验或 验算，写 出答案 。
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（四）正比例与反比例
1 比和比例
一 、比和 比例的 联 系与区别 ：
两个数相除又叫做两个数的比。
比的意义
1、意义不同
表示两个比相等的式子叫做比例。
比例的意义
两点读作比， 比号前面的数叫做比的前项，
比的名称
2、名称不同
后项。
比号后面的数叫做比的
组成比例的四个数叫做比例的项，两端的两项叫做比例的的外项， 比例的名称
中间的两项叫做比例的内项。
比 与 比 例 的 区 别
求比值。 应用比的意义
3、性质不同
比例的性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
比的性质
比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（
0 除外），比值不变。
化简比。
应用比的性质
4、应用不同
应用比例的意 义
应用比例的性 质
不但可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例。 判断两个不能否组成比例。
二 、比同 分数、 除 法的联系 与区 别：
比
分数
除法
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前项 分子 被除数
比号
联 后项
比值
分数线 除号
分母
分数值
除数 系
商
比的基本性质
区 别
比表示两个数之间的关 系。
分数的基本性质 除法的商不变性质
分数表示一个数。
除法表示一种运算。
三 、求比 值与化 简 比的区别 ：
一 般 方 法
根据比值的意义， 用前项除以 后项。
根据比的基本性质， 把比的前
化简比
项和后项都乘或除以相同的 数（零除外）。
四、化简比：
①整数比的化简方法是：用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 ②小数比的化简方法是：先把小数比化成整数比，再按整数比化简方法化简。 ③分数比的化简方法是：用比的前项和后项同时乘以分母的最小公倍数。 五、比例尺：我们把图上距离和实际距离的比叫做这幅图的比例尺。 六、比例尺 =图上距离︰实际距离
比例尺 = 图上距离 / 实际距离
结
果
求比值
是一个数。可以是整数、小数或分数。
是一个比。它的前项和后项都是整数，并且是 互质数。
2 正比例、反比例
一 、正比 例：两种 相关联的量 ，一 种量 变化，另 一种量也 随着变化 ，如 果这两 种 量中相 对应的两 个数的 比 值（也 就是商） 一定， 这 两种量就 叫做成正 比 例的量 ，它们的关 系就 叫 做正比例关 系。
二 、反比 例：两种 相关联的量 ，一 种量 变化，另 一种量也 随着变化 ，如 果这两 种量中相 对应的 两 个数的 积 一定， 这两种量 就叫做 成 反比例的 量，它们 的 关系就 叫做反比例 关系 。 三 、正比 例与反 比 例的区别 ：
正 比 例
反 比 例
相 同 点 都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
不 同 点
商一定
y/x= k （一定）
积一定
x× y=k （一定）
二第二部分
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空间与图形
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1（一）图形的认识、测量
1 量的计量
一、 长度单位是 用来测量 物 体的长 度的。常 用的长 度 单位有： 千米、米 、 分米、 厘米、毫 米。 二、 长度单位：
1 千米 =1000 米
1 米=10 分米
1 分米 =10 厘米 1 米=100 厘米
1 厘米=10 毫米 1 米=1000 毫米
三 、面积 单位是用 来测量 物 体的表面 或平面图 形 的大小 的。常用面 积 单位 ：平方千米 、公顷 、 平方米、 平 方分米 、平方厘 米。
四 、测量 和计算土 地面积 ， 通常用公 顷作单位 。 边长 100 米的正 方形土地 ，面积是 1 公 顷。
五 、测量 和计算大 面积的 土 地，通常 用平方千 米 作单位 。边长 1000 米的正 方 形土地，面 积是 1 平方千 米 。
六 、面积 单位： （ 100 ）
1 平方千米 =100 公顷
1 公顷=10000 平方米
1 平方米 =100 平方分米 1 平方分米 =100 平方厘米
七 、体 积 单位 是用 来测量物 体所占空 间的大小 的。常用的 体积单位 有：立 方 米、立 方 分米（ 升 ）、立 方 厘 米（毫 升）。
八 、体积 单位： （ 1000 ）
1 立方米 =1000 立方分米
1 立方分米 =1000 立方厘米
1 升=1000 毫升
九 、常用 的质量单 位有： 吨 、千克、 克。 十 、质量 单位：
1 吨=1000 千克
十 一、常 用的时间 单位有 ：
世 纪、 年、季度、 月、旬、 日 、时、 分、秒。 十 二、时 间单位 ： （60 ）
1 世纪=100 年
1 年=12 个月 1 千克=1000 克
1 年=4 个季度 1 个季度 =3 个月
1 个月 =3 旬 小月=30 天
大月=31 天 平年二月 =28 天
闰年二月 =29 天 1 天=24 小时
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1 小时=60 分 1 分=60 秒
十 三、高 级 单位的名 数改写 成 低级单位 的名数应 该乘 以进 率；低 级单 位的名 数 改写成高 级单位的 名数 应 该 除以进 率。
十 四、常 用计量 单 位用字母 表示 ： 千米： km
米：m
分米： dm
厘米： cm
毫米： mm
吨：t 千克： kg 克： g 升： l 毫升： ml
2 平面图形【认识、周长、面积】
一 、用 直 尺把两点 连接起 来 ，就 得到一 条线段；把 线段的 一端无限 延长 ，可 以 得到一条 射线；把 线段的 两 端无限 延长，可 以 得到一条 直线。线 段 、射 线都是 直线上 的一部分。线 段有两个 端点，长 度是有限的 ； 射 线只有 一个端点 ，直线 没 有端点， 射线和直 线 都是无 限长的。
二 、从 一 点引出两 条射线 ，就 组成了一 个角。角 的大小与 两边叉开 的大小有 关，与 边的 长 短无关 。角 的 大 小的计 量单位是 （° ） 。 更多学习资 料请关注 ABC 微课 堂
三 、角的 分类：小 于 90 度的角 是锐角； 等于 90 度的角 是直角 ； 大于 90 度小 于 180 度 的角是钝 角；等 于 180 度 的角是平 角 ；等 于 360 度的 角是周 角。
四 、相交 成直角的 两条直 线 互相垂直 ；在同一 平 面不相 交的两条直 线互 相 平行。
五 、三 角形 是 由三 条线段围成 的图形。围 成 三角 形的每条 线段叫做 三角形的 边，每 两条 线段的交 点 叫做 三 角形的 顶点。
六 、三角 形按角分 ，可以分 为锐角三 角形、直 角三角形 和钝角三角 形。 按 边分， 可以分 为 等边三角 形、等腰 三角形和 任意三角 形。 七 、三角 形的内角 和等于 180 度。
八 、在一 个三角形 中，任 意 两边之和 大于第三 边 。
九 、在一 个三角形 中，最 多 只有一个 直角或最 多 只有一 个钝角。
十 、四边 形是由四 条边围 成 的图形。 常见的特 殊 四边形 有：平行四 边形 、 长方形、正 方形、梯 形。 十 一、圆 是一种曲 线图形。圆 上 的任意 一点到圆 心的距离 都相等，这 个距离就 是圆的 半 径的长。通 过圆 心 并且两 端都在圆 的线段 叫 做圆的直 径。
十 二、有 一些图形 ，把 它沿 着 一条直线 对折，直 线两侧 的 图形能够 完全重合，这 样 的图 形就是轴 对称图 形 。这条 直线叫做 对称轴 。
十 三、围 成一个图 形的所 有 边长的总 和就是这 个 图形的 周长。 十 四、物 体的表面 或围成 的 平面图形 的大小， 叫 做它们 的面积。 十 五、平 面图形的 面积计 算 公式推导 ：
【1】平行四边形面积公式的推导过程？
①把 平 行四边形 通过剪切 、平 移可 以转化成 一个长方 形 。
②长 方形的长 等于平行 四边形的底 ，长 方形 的宽等于平 行四边形 的 高，长 方 形的面积 等于 平行 四边形 的 面积。
③因 为：长方 形面积=长× 宽 ，所以 ： 平行四边形 面积 =底× 高 。 即 ：S=ah 。 【2】三角形面积公式的推导过程？
① 用两个完 全一样 的 三角形可 以拼成一 个平 行四 边形。
②平 行四边形 的底等于 三角形的底 ，平 行四 边形的高等 于三角形 的 高，三 角 形面积等 于和 它等 底等高 的 平行四 边形面积 的一半
③因 为：平行 四边形面 积=底 × 高 ，所 以：三角形 面积 =底× 高 ÷ 2。 即 ：S=ah ÷ 2。 【3】梯形面积公式的推导过程？
① 用两个 完全一样 的梯形 可 以拼成一 个平行四 边 形。
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② 平行四 边形的底 等于梯 形 的上底和 下底的和 ，平 行四边 形的高等 于梯 形的 高，梯 形面 积等于 平 行四边 形 面积的 一半。
③ 因为： 平行四边 形面积 =底× 高 ， 所以： 梯形面积 =（上 底＋下底 ）× 高 ÷ 2。 即 ：S=（a+b ） h÷ 2。 【4】画图说明圆面积公式的推导过程
① 把圆分 成若干等 份，剪 开 后，拼成 了一个近 似 的长方 形。 ② 长方形 的长相当 于圆周 长 的一半， 宽相当于 圆 的半径 。
③ 因为： 长方形面 积=长 × 宽 ，所 以： 圆面 积=πr × r= πr2 。 即：S=πr2 。
十 六、平 面图形的 周长和 面 积计算公 式： 长方形周长 = （长+宽）× 2
圆周长 C = πd
C = 2 πr
S=π（d/2 ）2
正方形周长 = 边长 × 4
r= d ÷ 2
圆面积 S = πr2
S = π（d/2 ） 2 长方形面积 = 长 × 宽
正方形面积 = 边长 × 边长 r=C ÷ 2π
平行四边形面积 = 底 × 高 d=2r
三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2 d=c ÷ π
十 七、常 用数据： 常用 π值
常用平方数
2π=6.28 12π=37.68 12= 1
3π=9.42 15π=47.1 22=4
4π=12.56 5π=15.70 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12
16π=50.24 18π=56.52 20π=62.8 25π= 78.5 32π=100.48
32=9 42=16 52=25 62=36 72=49
9π=28.26 2.25 π=7.065 82=
10π=31.4 6.25 π=19.625 92=81
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3 立体图形【认识、表面积、体积】
一 、长方 体、正方 体都有 6 个面，12 条棱， 8 个顶点。 正方体是特 殊 的长 方体。 二 、圆柱 的特征： 一个侧 面 、两个底 面、无数 条高。
三 、圆锥 的特征： 一个侧 面 、一个底 面、一个 顶 点、一 条高。
四 、表面 积：立体 图形所 有 面的面积 的和，叫 做 这个立 体图形的表 面积 。
五 、体积 ：物体所 占空间 的 大小叫做 物体的体 积 。容器 所能容纳其 它物 体 的体积叫做 容器的容 积。 六 、圆柱 和圆锥三 种关系 ： ①等 底等高： 体积 1︰3 ③等 高等体积 ：底面积 1︰ 3 七 、等底 等高的圆 柱和圆 锥 ： ① 圆锥体 积是圆柱 的 1/3 ， ③圆 锥体积比 圆柱少 2/3 ，
②圆柱体 积是圆锥 的 3 倍， ④圆柱体 积比圆锥 多 2 倍。 ②等 底等体积 ：高 1︰ 3
八 、等底 等高的圆 柱和圆 锥 ：锥 1、差 2、 柱 3、和 4。 九 、立体 图形公式 推导：
【 1】 圆柱的 侧面展 开 后得到一 个什 么图 形？这 个 图形的各 部分与圆 柱 有何关 系？ （圆 柱侧 面积 公 式的 推 导过程 ）
① 圆柱的 侧面展开 后一般 得 到一个长 方形。
② 长方形 的长相当 于圆柱 的 底面周长 ，长方形 的 宽相当 于圆柱的高 。 ③ 因为： 长方形面 积=长 × 宽 ，所 以： 圆柱 侧面积=底面周 长× 高 。 ④ 圆柱的 侧面展开 后还可 能 得到一个 正方形。 正方 形的边长=圆柱 的底面周 长 =圆 柱的高 。
【 2】 我们在 学习 圆柱 体积的 计 算公式时 ，是把圆 柱 转化成 以前 学过 的一种 立 体图形（ 近似的） 进 行推 导 的，请 你说出这 种立体 图 形的名称 以及它与 圆 柱体有 关部分之间 的关 系 ？ ① 把圆柱 分成若干 等份， 切 开后拼成 了一个近 似 的长方 体。 ② 长方体 的底面积 等于圆 柱 的底面积 ，长方体 的 高等于 圆柱的高。
③ 因为： 长方体体 积=底 面积× 高 ，所 以： 圆柱体积 =底面 积× 高 。 即 ：V=Sh 。
【3】 请画图说明圆锥体积公式的推导过程？
① 找来等 底等高的 空圆锥 和 空圆柱各 一只。
② 将圆锥 装满沙子 ，倒 入圆柱 中，发 现三 次正好装 满，将 圆柱 里 的沙子 倒入圆锥中 ，发 现 三 次正好倒完 。
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③ 通过实 验发现：圆 锥的 体积 等于和它 等底等高 的圆柱体 积的三分 之一 ；圆 柱 的体积等 于和它 等 底等高 的 圆锥体 积的三倍 。即： V=1/3Sh 。
十 、立体 图形的棱 长总和 、 表面积、 体积计算 公 式： 名称
计算公式
长方体棱长总和 长方体棱长总和 = （长+宽+高）× 4
长方体表面积 长方体表面积 =（长× 宽 +长× 高 +宽× 高）× 2
长方体体积 长方体体积 =长× 宽× 高
正方体棱长总和 正方体棱长总和 =棱长× 12
正方体表面积 正方体表面积 =棱长× 棱长× 6
正方体体积 正方体体积 =棱长× 棱长× 棱长
圆柱体侧面积 圆柱体侧面积 =底面周长× 高
圆柱体表面积 圆柱体表面积 =侧面积 +底面积× 2
圆柱体体积 圆柱体体积 =底面积× 高
圆锥体体积
圆锥体体积 =1/3( Sh)
2（二）图形与变换
一 、变 换 图形位置 的 方法有 平移、旋 转 等，在 变 换位置时 ，每 个图 形的相应 顶点、线 段 、曲 线应 同步平 移 ，旋转 相同的角 度。
二 、不 改 变图形的 形状，只 改 变它的大 小时，通 常要使每 个图形的 要素，如 长 方形的长 与 宽，三 角形的 底 与高等 同时按相 同比例 放 大或缩小 。
三 、对称 图形是对 称轴两 边 的图形经 对折后能 够 完全重 合，而不是 完全 相 同。
3（三）图形与位置
一 、当我 们处在实 际生活 及 情景中， 面对教短 距 离时， 通常用上、 下、 前 、后来描述 具体位置 。
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二 、当 我们面对地 图 、方 位 图时，通 常 用 东 、西 、南 、北 ，南 偏 东 、北 偏 东 ⋯ ⋯ 来 描 述 方 向 。再结合 所 示 比 例 尺 计 算 出 具 体 距 离 ， 把 方 向 与 距 离结合 起 来 确 定 位 置 。
三 第三部分 统计与可能性
计
1（一）统
一 、 我们通 常 都 是 通过打 勾 、 画 圆 、 划 “ 正 ” 字 的 方 法进行 数 据 的 收 集 和 整 理 。 二 、 常见的 统 计 图 有 条 形 统 计 图 、 折线统 计 图 和 扇 形 统 计 图 三 种 。
三 、 条 形 统 计 图 的 特 点 ： 从 图 中 能 清 楚 地 看 出 各 种 数 量 的 多 少 ， 便 于 比较。
四 、 折线统 计 图 的 特 点 ： 不 但 能 看 出 各 种 数 量 的 多 少 ， 而 且还能够清 楚 地 表 示 出 数 量 增 减变化 的 情 况 。 五 、 扇 形 统 计 图 的 特 点 ： 表 示 各 部 分 和 总 数 之 间 ， 以 及 部 分 与 部 分 之 间 的 关 系 。 六 、 中 位 数 、 众 数 、 平 均 数 名称
意义计算方法
一组数中间的一个数或中间两个数的平 均数。
一组数中出现次数最多的数。
中间的一个数或中间两个数的和÷
中位数 2
众数 出现次数最多的数
平均数 反映一组数的总体水平的数据。 平均数 =总数÷份数
2（二）可能性
一、
事件状态生活情景 一定会发生 一定不会发生
数学情景
太阳从东方升起 鸭子会讲话
从 5 个红球中摸出一个红球 从 5 个红球中摸出一个白球
可能发生 今天会下雨 从 5 个红球， 1 个白球中摸出一个白球
二 、 在 可 能 性 相 同 的 情 况 下 ， 比赛游戏规则是 公 平 的 。
【第二大类】 一到六年级所有公式
小学数学图形计算公式
平面图形的周长 1. 长方形的周长 2. 正方形的周长
=（长 +宽）× 2， C=（ a+b）× 2 =边长× 4， C=4a
=圆周率×半径×
2， c= π d=2π r
3. 直径 =半径× 2， d=2r ；半径 =直径÷ 2， r=d ÷2 4. 圆的周长 =圆周率×直径
平面图形的面积
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5. 长方形的面积 =长× 宽， S=ab
6. 正方形的面积 =边长× 边长， S=a× a= a 2 7. 三角形的面积 =底× 高÷ 2，S=ah÷ 2 8. 平行四边形的面积
=底× 高， S=ah
9. 梯形的面积 =（上底 +下底）× 高÷ 2，S=（a+b ）h÷ 2 10. 圆的面积 =圆周率× 半径× 半径， S=πr 2
11. 长方体的表面积 =（长× 宽 +长× 高 +宽× 高）×
2=（ab+ah+bh ）× 2
12. 正方体的表面积
=棱长× 棱长×
6，S=6 a 2
13. 圆柱的侧面积 =底面圆的周长× 高，
S=ch
14. 圆柱的表面积 =上下底面面积 +侧面积， S=2πr 2 +2 πrh 立体图形的体积 1. 长方体的体积
= 长× 宽× 高， V =abh
2. 正方体的体积 =棱长× 棱长× 棱长， V=a× a× a= a 3
3. 圆柱的体积 =底面积× 高， V=Sh，V=πr 2h
4. 圆锥的体积 =底面积× 高÷
3，V=Sh÷ 3=πr 2h÷ 3
具体情景问题
和、差、倍问题
（和 +差）÷ 2=大数，（和 - 差）÷ 2=小数 和÷ （倍数 +1）=小数，小数× 倍数 =大数（或者 和- 小数 =大数） 差÷ （倍数 -1 ）=小数，小数× 倍数
=大数（或
小数 +差=大数）
植树问题
（1 ）非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形： a. 如果在非封闭线路的两端都要植树，那么： 株数 =段数 +1=全长÷ 株距 +1 全长 =株距× （株数 -1 ） 株距 =全长÷ （株数 -1 ）
b. 如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么： 株数 =段数 =全长÷ 株距 全长 =株距× 株数 株距 =全长÷ 株数
c. 如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么： 株数 =段数 -1= 全长÷ 株距 -1 全长 =株距× （株数 +1） 株距 =全长÷ （株数 +1）
（2） 封闭线路上的植树问题的数量关系如下： 株数 =段数 =全长÷ 株距 全长 =株距× 株数 株距 =全长÷ 株数
盈亏问题
（盈 +亏）÷ 两次分配量之差
=参加分配的份数
（大盈 - 小盈）÷ 两次分配量之差 =参加分配的份数 （大亏 - 小亏）÷ 两次分配量之差
=参加分配的份数
相遇问题
相遇路程 =速度和× 相遇时间 相遇时间 =相遇路程÷ 速度和
.
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速度和 =相遇路程÷ 相遇时间
追及问题
追及距离 =速度差× 追及时间 追及时间 =追及距离÷ 速度差 速度差 =追及距离÷ 追及时间
流水问题
顺流速度 =静水速度 +水流速度 逆流速度 =静水速度 - 水流速度 静水速度 =（顺流速度 +逆流速度）÷
2
水流速度 =（顺流速度 - 逆流速度）÷
2
浓度问题
溶质的重量 +溶剂的重量 =溶液的重量 溶质的重量÷ 溶液的重量× 100%=浓度
溶液的重量× 浓度 =溶质的重量 溶质的重量÷ 浓度 =溶液的重量
利润与折扣问题 利润 =售出价 - 成本 利润率 =利润÷ 成本×
100%=（售出价÷ 成本
-1 ）× 100%
涨跌金额 =本金× 涨跌百分比 折扣 =实际售价÷ 原售价× 100%（折扣 <1）
利息 =本金× 利率× 时间
税后利息 =本金× 利率× 时间× （
1-20%）
时间单位换算
1 世纪 =100 年， 1 年=12 月；
大月（ 31 天）有： 1、3、5、7、8、10、12 月，小月（ 30 天）的有： 4、6、9、11 月； 平年 2 月 28 天，闰年 2 月 29 天，平年全年
365 天，闰年全年
366 天；
1 日=24 小时， 1 时=60 分， 1 分=60 秒， 1 时=3600 秒
【第三大类】 简便运算
提取公因式
这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如：
15. × 1.41 ＋0.92 × 8.59 =0.92 × （ 1.41+8.59 ）
借来借去法
看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦 , 有借有还，再借不难。考试中，看到有类似
998、999 或者 1.98 等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。
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例如：
9999+999+99+9
=9999+1+999+1+99+1+9+1 —4
拆 分 法
顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如： 16. ，4 和 2.5 ，8 和 1.25 等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 2 和 5，4 和 5，2 和
例如： 5. × 12.5 × 25 =8× 0.4 × 12.5 × 25 =8× 12.5 × 0.4 × 25
加法结合律
注意对加法结合律 (a ＋b) ＋c=a＋(b ＋c)
的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76 ＋13.67 ＋4.24 ＋6.33 =（5.76 ＋4.24 ）＋ (13.67 ＋6.33)
拆分法和乘法分配律结
这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到 例如：
34× 9.9 = 34× (10 －0.1) 案例再现： 57 × 101=？
利用基准数
在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。
例如： 2072+2052+2062+2042+2083 =（2062x5 ）+10-10-20+21
利用公式法
(1) 加法： 交换律， a+b=b+a, 结合律， (a+b)+c=a+(b+c). (2) 减法运算性质：
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99、101、9.8 等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。
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a-(b+c)=a-b-c, a-(b-c)=a-b+c, a-b-c=a-c-b,
(a+b)-c=a-c+b=b-c+a.
(3): 乘法（与加法类似） ：
交换律， a*b=b*a,
结合律，（ a*b ）*c=a*(b*c), 分配率，（ a+b）xc=ac+bc, (a-b)*c=ac-bc.
(4) 除法运算性质（与减法类似）： a÷ (b*c)=a ÷ b÷ c, a÷ （b÷ c)=a ÷ bxc, a÷ b÷ c=a ÷ c÷ b, (a+b) ÷ c=a÷ c+b÷ c, (a-b) ÷ c=a÷ c-b ÷ c.
前边的运算定律、性质公式很多是由于去掉或加上括号而发生变化的。其规律是同级运算中，加号或乘号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号不变。
例 题
例 1：
283+52+117+148
=（283+117）+（52+48） （运用加法交换律和结合律）。
减号或除号后面加上或去掉括号，后面数值的运算符号要改变。 例 2： 657-263-257 =657-257-263 =400-263
（运用减法性质，相当加法交换律。） 例 3：
195- （95+24） =195-95-24 =100-24
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（运用减法性质） 例 4： 150-(100-42) =150-100+42 ( 同上) 例 5：
（0.75+125 ）*8 =0.75*8+125*8=6+1000 . ( 运用乘法分配律 )) 例 6：
（ 125-0.25 ）*8 =125*8-0.25*8 =1000-2 ( 同上 ) 例 7：
（1.125-0.75 ）÷ 0.25 =1.125 ÷ 0.25-0.75 ÷ 0.25 =4.5-3=1.5 。 （ 运用除法性质） 例 8： (450+81) ÷ 9 =450÷ 9+81÷ 9 =50+9=59.
( 同上，相当乘法分配律 )
例 9：
375÷ （125÷ 0.5 ） =375÷ 125*0.5=3*0.5=1.5. ( 运用除法性质 )
例 10：
4.2 ÷ （0.6*0.35 ） =4.2 ÷ 0.6 ÷ 0.35 =7÷ 0.35=20. ( 同上)
例 11：
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12*125*0.25*8 =(125*8)*(12*0.25) =1000*3=3000.
( 运用乘法交换律和结合律
)
例 12：
(175+45+55+27)-75 =175-75+(45+55)+27 =100+100+27=227. ( 运用加法性质和结合律） 例 13：
（48*25*3 ）÷ 8 =48÷ 8*25*3 =6*25*3=450.
( 运用除法性质 , 相当加法性质 ) 裂 项 法
分数裂项是指将分数算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法
.
常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和 分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分 消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 分数裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是
x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将可转化为分子都是
1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。 公式：
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x 提取出来即
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