2020中考数学专题突破训练：填空压轴题（含解析）
1.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为 ．
解：如图作A′H⊥BC于H．
∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=∴CH=3﹣
．
=
，∴
=，∴DF=6﹣2
．
A′H=
，
∵△CDF∽△A′HC，∴
故答案为：6﹣2．
2.数学课上，老师提出如下问题：△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D.
AOBDC
请借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线.
晓龙同学的画图步骤如下：
»于点M； （1）延长OD交BC（2）连接AM交BC于点N.
所以线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线.
请回答：晓龙同学画图的依据是 . 【答案】垂径定理，等弧所对的圆周角相等．
3.如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=
．
【分析】分别过点P1.P2.P3作x轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案． 【解答】解：如图，分别过点P1.P2.P3作x轴的垂线段，垂足分别为点C.D.E，
∵P1（3，3），且△P1OA1是等腰直角三角形， ∴OC=CA1=P1C=3， 设A1D=a，则P2D=a， ∴OD=6+a，
∴点P2坐标为（6+a，a），
将点P2坐标代入y=﹣x+4，得：﹣（6+a）+4=a，
解得：a=，
∴A1A2=2a=3，P2D=，
同理求得P3E=、A2A3=，
∵S1=×6×3=9.S2=×3×=、S3=××=、……
∴S2018=，
故答案为：．
4．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小亮的作法如下：
AB 尺规作图：作一条线段等于已知线段. 已知：线段AB. 求作：线段CD，使CD=AB. AB 如图： （1） 作射线CE； （2） 以C为圆心，AB长为 半径作弧交CE于D. 则线段CD就是所求作的线段. CDE
老师说：“小亮的作法正确”
请回答：小亮的作图依据是_________________________________________________． 【答案】两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等；
5.如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ； 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；
（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）BC=DC+EC， 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD， 故答案为：BC=DC+EC； （2）BD+CD=2AD， 理由如下：连接CE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，∠ACE=∠B， ∴∠DCE=90°， ∴CE+CD=ED，
在Rt△ADE中，AD+AE=ED，又AD=AE， ∴BD+CD=2AD；
（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAE中，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°， ∴DE=
∵∠DAE=90°，
=6
，
∴AD=AE=DE=6．
6.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左
至右第5个数是
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为答案．
【解答】解：由图形可知，第n行最后一个数为
=
，
=
，据此可得
∴第8行最后一个数为==6，
则第9行从左至右第5个数是
故答案是
=，
7．已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90º， M、N分别是CD和BC上的点． 求作：点M、N，使△AMN的周长最小．
BA
DC
作法：如图，
BADA'MNCA''
（1）延长AD，在AD的延长线上截取DA´=DA； （2）延长AB，在AB的延长线上截取B A″=BA； （3）连接A′A″，分别交CD、BC于点M、N． 则点M、N即为所求作的点．
请回答：这种作法的依据是_____________．
【答案】①线段垂直平分线的定义（或线段垂直平分线的判定，或轴对称的性质即对称点的 连线段被对称轴垂直平分）
②线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）；
③两点之间线段最短.
8.如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2.A2，以A2B2
为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3.A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△AnBn+1Cn的面积为 （）
2n﹣2
× ．（用含正整数n的代数式表示）
【解答】解：由题意△A1A2C1是等边三角形，边长为×
，△A3A4C3是等边三角形，边长为××
=（）×
n﹣1
3
，△A2A3C2是等边三角形，边长为=（）×
2
，△A4A5C4是等边三
n﹣1
角形，边长为×××∴△AnBn+1Cn的面积为
，…，△AnBn+1Cn的边长为（）×]=（）
2
2n﹣2
，
×[（）××．
9.如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C′处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为 23 °．
解∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=46°，
由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC=∠DBC=23°，
故答案为23．
10. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A(3,0)，B(4,0)，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D），相应地，点C的对应点C的坐标为 . 【答案】(7,4)
11.如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为 （2
1010
﹣2，2
1009
） ．
【分析】由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2O2018的纵坐标为2
1009
，下标为偶数的点在直线y=x+1上，点
1010
，可得2
1009
=x+1，同侧x=2﹣2，可得点O2018的坐标为（2
1010
﹣2，2
1009
）．
【解答】解：由题意Q1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）…
观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，
下标为偶数的点在直线y=x+1上，
∵点O2018的纵坐标为2∴2
1009
1009
，
=x+1，
∴x=2
1010
﹣2，
1010
∴点O2018的坐标为（2故答案为（2
1010
﹣2，2）．
1009
）．
﹣2，2
1009
12．在平面直角坐标系xOy中，点A(2,m)绕坐标原点O顺时针旋转90后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 .
yO1x
【答案】
5m3 213.为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是 1024 ．
【解答】解：∵将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，
∴剩余的数字都是偶数，是2的倍数，；
∵他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号，
又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋， ∴剩余的数字为4的倍数，
以此类推：2018→1009→504→252→126→63→31→15→7→3→1 共经历10次重新编号，故最后剩余的数字为：2=1024． 故答案为：1024．
14．下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段AB． AB10
AB PCO求作：以AB为斜边的一个等腰直角三角形ABC． 作法：如图， AOBQ（1）分别以点A和点B为圆心，大于1AB的长为 2Q半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA的长为半径作圆，交直线PQ于点C； （4）连接AC，BC． 则△ABC即为所求作的三角形．
请回答：在上面的作图过程中，①△ABC是直角三角形的依据是 ；②△ABC是等腰三角形的依据是 ． 【答案】①直径所对的圆周角为直角
②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
15.按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为_____．
【答案】
【解析】【分析】根据数列得出第n个数为，据此可得前2018个数的和为，再用裂项求和计算可得．
【详解】由数列知第n个数为，
则前2018个数的和为
=
=
=1﹣=，故答案为：．
16.下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.
已知：△ABC.
求作：△ABC的边BC上的高AD.
作法：如图，
（1）分别以点B和点C为圆心，BA,CA为半径
作弧,两弧相交于点E；
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义 .
17.下面是按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，…则第8个代数式是 15a ． 【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案． 【解答】解：∵a，3a，5a，7a，…
∴单项式的次数是连续的偶数，系数是连续的奇数， ∴第8个代数式是：（2×8﹣1）a故答案为：15a．
16
2×8
2
4
6
8
2
4
6
8
16
=15a．
16