广东省湛江市中学2022年高二数学理期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 椭圆

的焦距等于2，则m的值为（ ）

A. 5或3 B. 8 C. 5 D. 16

参：

C 略 2. 函数的定义域为，

对任意

则

的解集为（ ）

A. (－1,1)

B. (1,+∞)

C. (－∞,－1)

D. (－∞,+∞)

参：

B 【分析】 先构造

，对

求导，根据题中条件，判断

单调性，再由

求出

进而可结合函数单调性解不等式.

【详解】令，则，

因为对任意 所以对任意恒成立； 因此，函数在

上单调递增； 又所以

，

因此不等式可化为，

所以. 故选B

【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，熟记函数单调性即可，属于常考题型. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ）

A．- B．

C．

D．

参：

C 当，如2>-1, 不成立；

如-3>-4，

不成立；|c|=0时，

不成立，故选C

4. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是 （ ）

A．“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数,则它是负

数”

C．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

参：

C

5. 用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x－8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=－4的值时，v4的值为（ ）

A．－57 B． －845 C． 220 D .3392 参：

C

6. 已知命题：“

”，命题：“

”．

若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A． 或

B．

或

C．

D．

参：

A

7. 执行如图的程序框图，若输入a=10011，k=2，n=5，则输出的b的值是（ ）

A．38 B．39 C．18 D．19

参：

D

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的t，b，i的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出b的值为19．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=10011，k=2，n=5， b=0，i=1 t=1，b=1，i=2

不满足条件i＞5，t=1，b=3，i=3 不满足条件i＞5，t=0，b=3，i=4 不满足条件i＞5，t=0，b=3，i=5 不满足条件i＞5，t=1，b=19，i=6

满足条件i＞5，退出循环，输出b的值为19． 故选：D．

8. 命题“?x∈R，x3

﹣3x＞0”的否定为（ ）

A．?x∈R，x3﹣3x≤0 B．?x∈R，x3﹣3x＜0 C．?x∈R，x3﹣3x≤0 D．?x∈R，x3﹣3x＞0

参：

C

【考点】命题的否定．

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即?x∈R，x3﹣3x≤0， 故选：C

9. 在下列四个正方体中，能得出的是（ ）

参： A

10. 下列说法正确的是（ ）

A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1” B．命题“若

”的否定是“?x∈R，x2

＜1”

C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题 D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题

参：

D

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．

【解答】解：命题“若x2

＞1，则x＞1”的否命题为“若x2

≤1，则x≤1”，故A错误； 命题“若

”的否定是“?x∈R，x2

≤1”，故B错误；

命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；

命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确； 故选：D

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 从1,3,5,7,9中任取3 个数字,从2,4,6,8中任取2个,一共可以组成 (用数字作答)多少个没有重复的五位数字。 参： 7200

12. 数列{an}的前n项和Sn，若，则_________.

参：

13. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ▲ ．

参：

48 略

14. 在平面直角坐标系内有两个定点

和动点P，

坐标分别为

、

，动点

满足

，动点的轨迹为曲线，曲线关于直线的对称曲线为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线与曲线

交于A、B两点，D的坐标为（0，-3），△ABD的面积为

，

求

的值。

参：

解：（1）设P点坐标为，则

，化简得，

所以曲线C的方程为；………（4分）

曲线C是以

为圆心，为半径的圆 ，曲线也应该是一个半径为的圆，点关于

直线的对称点的坐标为

，所以曲线

的方程为

，………（7分）

（2）该圆的圆心为D

到直线的距离为

，………（9分）

………（11分）

，或

，所以，

，或

。………（13分）

略

15. 已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为________.

参：

16. 已知

，则

的值为 _________．

参：

17.

中，，则等于 。

参：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为

时，该车耗油的费

用为/h,其他费用为12元/h.；甲乙两地的公路里程为160km，在不考虑其他因素的前提下，为了使该车开往乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？ 参：

设这辆出租车得车速为

，耗油的费用为A元/h

由甲地开往乙地需要得时间为th,总费用为B元

依题意，得 时，

由此可得 6分

即

令即

得

11分

答：为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低，

该车得速度应确定为 12分

略

19. 已知数列{an}满足，

.

（1）计算

，

，

；

（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法证明.

参：

（1）

；（2）

，证明见解析.

【分析】

（1）由数列的递推公式及，代入即可求解，，的值；

（2）猜想，利用数学归纳法，即可作出证明，得到结论.

【详解】（1）由及，得，进而，.

（2）证明：猜想

，再用数学归纳法证明之. 当时，

，而已知

，

所以

时，猜想正确.

假设当时，猜想正确，即，

则

时，

.

所以当

时，猜想也成立.

综上所述可知，对一切，猜想都正确.

【点睛】本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证时成立；（2）假设当时成立，证得

也成立；（3）得到证明的结

论．其中在

到

的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力．

20. 已知点P（1+cosα，sinα），参数为α，点Q在曲线C：ρ=上．

（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求点P与点Q之间距离的最小值．

参：

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）由点P（1+cosα，sinα），知

，参数为α，由此能求出点P的轨迹方

程；由点Q在曲线C：ρ=上，知ρsinθ+ρcosθ=9，由此能求出曲线C的直角坐

标方程．

（2）圆心（1，0），半径r=1，圆心（1，0）到直线x+y﹣9=0的距离d=4，由此能求出点P与点

Q之间距离的最小值．

【解答】解：（1）∵点P（1+cosα，sinα），

∴，参数为α，

由sin2θ+cos2θ=1，得点P的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．

∵点Q在曲线C：ρ=上．

∴

=9，

即ρsinθ+ρcosθ=9，

∴曲线C的直角坐标方程为x+y﹣9=0． （2）圆心（1，0），半径r=1，

圆心（1，0）到直线x+y﹣9=0的距离d==4，

∴点P与点Q之间距离的最小值为4

﹣1．

21. 设计算法求的值。要求画出程序框图，写出用基本语句编

写的程序。 参：

这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。 程序框图如图所示：

程序如下：

22. 已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2

+3x+2的图象相切，记F（x）=f（x）g（x）． （1）求实数b的值及函数F（x）的极值；

（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围．

参：

【考点】57：函数与方程的综合运用；6D：利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）令f′（x）=g′（x），进而求得x，进而可知函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的切点，把切点代入f（x）求得b，进而求得函数F（x）的解析式，进而对函数进行求导，使其为0求得x，进而推断出函数F（x）的极大值和极小值．

（2）首先根据（1）中函数F（x）的单调性画出函数的草图，作函数y=k的图象，进而根据当y=F

（x）的图象与函数y=k的图象有三个交点时，关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根．最后根据图象确定k的范围．

【解答】解：（1）依题意，令f′（x）=g′（x），得1=2x+3，故x=﹣1 函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的切点为（﹣1，0） 将切点坐标代入函数f（x）=x+b可得b=1 （或：依题意得f（x））=g（x）， 即x2+2x+2﹣b=0有唯一实数解 故△=22﹣4（2﹣b）=0，即b=1

∴F（x）=（x+1）（x2+2x+2）=x3+4x2+5x+2 故F′（x）=0，解得x=﹣1或x=﹣． 列表如下：

从上表可知

（2）由（1）可知涵数y=F（x）大致图象如图所示．

作函数y=k的图象，当y=F（x）的图象与函数y=k的图象有三个交点时， 关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根．结合图形可知

．

处取得极小值0．