巩固练习_直线与抛物线的位置关系(理)_基础

1．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( ) A．相交 C．相离

B．相切

D．以上答案都有可能 B．y2＝－12x D．x2＝－12y

2．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A．y2＝12x C．x2＝12y

3．（2015 柳州校级一模）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是（ ）

2A.y2x B. y4x C. y2x D. y4x或y36x

22224．(2015 新课标Ⅰ文)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为

1，E的右焦点与抛物线C：y2=8x2的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（ ）。

A. 3 B.6 C. 9 D. 12

5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为3，那么|PF|＝( )

A．43 B．8 C．83 D．16

6．（2016 渭南一模）若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（ ）

A．2 B．18 C．2或18 D．4或16

二、填空题

7．如果直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________． 8．（2016 兴安盟一模）已知抛物线y2=2x的焦点为F，过F点作斜率为3的直线交抛物线于A，B两点，其中第一象限内的交点A，则

AF________。 FB

9．抛物线y

12x上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________． 210．已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：

(1)△FOP为正三角形． (2)△FOP为等腰直角三角形．

(3)△FOP为直角三角形． (4)△FOP为等腰三角形．

其中一定不正确的命题序是________． ．．．三、解答题

11.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有几条.

12.已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．

13．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求抛物线的方程．

14. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程． 15. (2014 安徽)如图，已知两条抛物线E1：y＝2p1x(p1＞0)和E2：y＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点． (Ⅰ)证明：A1B1∥A2B2；

(Ⅱ)过O作直线l(异于l1，l2)与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求

2

2

S1的值． S2

答案与解析 1.【答案】 B

【解析】 特值法：取AB垂直于抛物线对称轴这一情况研究． 2. 【答案】 C

【解析】由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．

3.【答案】 B

【解析】设抛物线方程为y2px(p0)

抛物线上一点(-5,m)到焦点距离是6，

2p56, 2 p1

 抛物线方程为y4x，故选：B。 4. 【答案】B

【解析】∵y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=－2 ∴椭圆E中 c=2

2c1，a=4，∴b2=12 a2x2y21 ∴椭圆E的方程为

1612设A（－2，y0）

24y01，∴y02=9，∴|y0|=3 1612∴|AB|=2y0=6 故选B

5. 【答案】 B

【解析】 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|， 又由直线AF的斜率为3，可知∠PAF＝60°. △PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝6. 【答案】 C

【解析】∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到的对称轴的距离6， ∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±6）

4＝8. 0cos60p,0)的距离为10 2p∴由抛物线的定义，得x010 （1）

2∵P到抛物线的焦点F(∵点P是抛物线上的点，∴2px0=36 （2） （1）（2）联解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1 故选C。

7．【答案】 x＝1或y＝4x－2

【解析】 当过M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得2x2－k(x－1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x－2.故x＝1或y＝4x－2.

8．【答案】 3

【解析】 设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵抛物线y2=2x的焦点为F(,0)，直线AB经过点F且斜率k∴直线AB的方程为y3(x)， 将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x， 可得y2123，

1223y10， 3∵点A是第一象限内的交点， ∴解方程得y13,y23。 3因此

yyAF|1|13。 FBy2y2故答案为3。

9. 【答案】 0【解析】 设抛物线上一点P(x，y)， 则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋y2－2ay＋a2 ＝y2－2(a－1)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋2a－1. ∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|2有最小值， 而|PA|有最小值，此时y＝0，故0【解析】∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴①错误． 若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故②错误． 11. 【答案】当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意． 因为焦点坐标为(1,0)， 设直线方程为y＝k(x－1)，

由方程联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

2k24∴x1＋x2＝＝5，

k2234，即k＝k

33因而这样的直线有且仅有两条．

12.【解析】

∴k2＝

由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则|OF|＝

2|OM|. 33|OF|＝3. 2∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，

∵F(2,0)，∴|OM|＝

∴m＝26或m＝26. ∴A(3, 26)．∴|OA|＝|OB|＝33. ∴△OAB的周长为23346

13.【解析】过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|， 又2|BF|＝|BC|，

∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又|AF|＝3，∴|AA′|＝3，∴|AC|＝6， ∴|AF|＋|FC|＝|AF|＋3|BF|＝6，

2p＝4， 2sin2p＝4sin260°＝3，抛物线方程为y2＝3x.

∴|BF|＝1，|AB|＝答案：y2＝3x

14. 【解析】 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，

p， 2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

其准线方程为x＝因为|AF|＋|BF|＝8，

pp＋x2＋＝8， 22即x1＋x2＝8－p.

所以x1＋

因为Q(6,0)在线段AB的中垂线上， 所以QA＝QB，

2即(x1－6)2＋y12＝(x2－6)2＋y2， 2又y12＝2px1，y2＝2px2，

所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0， ∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p 故8－p＝12－2p ∴p＝4

∴所求抛物线方程是y2＝8x

15. (Ⅰ)证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0， 设l1：y＝k1x，l2：y＝k2x．

yk1x2p12p1,)． 联立2，解得A1(2kk11y2p1x联立yk1x2y2p2x，解得A2(2p22p2,)． 2k1k1yk2x2p12p1,)． 联立2，解得B1(2kk22y2p1xyk2x2p22p2,)． 联立2，解得B2(2kky2px222∴A1B12p1(1111－,－)， 22k2k1k2k1A2B22p2(1111－,－)． 22kkk2k121p1A1B1A2B2，

p2∴A1B1∥A2B2；

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知A1B1∥A2B2，

同(Ⅰ)可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2． ∴△A1B1C1∽△A2B2C2， 因此

S1|A1B1|2()， S2|A2B2|p1A2B2， 又A1B1p2P∴()12．

P2|A2B2|2|A1B1|2Sp故112． S2p2

2