8字模型与飞镖模型 模型1：角的8字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
ADOB
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．
【模型实例】
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
C
AEBFC图①
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．
AABAEBEC
CBC
F12GED1O2DD图图③图④D
AEFE图②
【练习】
BCD
AOFE123P图⑤BAOBQCD
F1E图⑥2DC
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；
ABOEBCAOECD图①图D
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝ ．
ABCD图②
2．如图，求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝ ．
EFDEO
GCHAB
模型2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
AAAD312DBC
BD4CB12图②34图①C
（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 【模型实例】
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
ADBMA1B342CDMC
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .
AE115°CB
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .
DF
D105°CD2105°143C115°115°A
模型3 边的“8”字模型
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．
BAB
ADO
【模型实例】
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。 求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；
(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.
BC
ADOB
模型4 边的飞镖模型
如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.
C
AADDEB
【模型实例】
如图，点O为三角形内部一点．
求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC；
(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.
CBC
AOAEOB
【练习】观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
CBC
(1)如图①，△ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
(2)如图②，将(1)中的点P移至△ABC内，请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
(3)图③将(2)中的点P变为两个点P1、P2，请比较四边形BPP12C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.
AAAPP1P2B
PCBCBC
三角形的折角模型
一、三角形的折角模型：三角形某角折叠后在三角形内所产生的角度等量关系 条件：
二、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关
系 条件：
ABC沿
DE折叠使
A在三角形内
ABC沿
DE折叠使
A在三角形外
三、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系 条件：
ABC沿
DE折叠使
A在三角形外
1．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将△ABC纸片沿DE折叠，点
A落到点F的位置．如果DF∥BC，∠B＝60°，∠CEF＝40°，则∠F＝ ．
2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 度．
3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；
（2）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外部点A′的位置，如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出 ．
（3）如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置，如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系 ．
三角形的角平分线模型
一、三条内角角平分线的交点与两个顶点连线的夹角=90条件：BP、CP是任意△ABC中∠B、∠C的角平分线
01剩余角 2
结论：
二、外角平分线所成夹角=
1剩余角 2条件：BD是∠ABC的角平分线,CD是△ABC的外角平分线
结论：
三、两个角的外角平分线的交点与这两个角的顶点连线的夹角=90条件：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D
01剩余角 2
结论： 【练习】
1．如图,在三角形ABC中,∠A=42°,∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于D、E, 求∠BDC的度数
2．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014，得∠A2014CD，则∠A2014＝ ．
4．如图，BP、CP是任意△ABC中∠B、∠C的角平分线，可知∠BPC＝90°+
∠A，把图中的△ABC变成图中的四边形ABCD，
BP，CP仍然是∠B，∠C的平分线，猜想∠BPC与∠A、∠D的数量关系是 ．
平行倒角
【模型实战】阅读材料：如图1，若理由：如图，过点E作EF则BBEF．
AB//CD，则BDBED．
//AB，
AB//CD， 所以EF//CD，
因为
所以DDEF，
所以∠BED∠BEF∠DEF∠B∠D．
AB//CD，此时B、D、E之间有什么关系？请说明理由．
探究：（2）在图3中，AB//CD，∠E∠G、∠B∠F∠D又有何关系？
交流：（1）若将点E移至图2所示的位置，应用：（3）在图4中，若
AB//CD，又得到什么结论？请直接写出该结论．
由简单图形到复杂图形的演变
1．已知：如左图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如右图，在左图的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和
CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在左图中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ； （2）在右图中，若∠D＝50°，∠B＝40°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果右图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论）
2．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．
3．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
4．（2019春•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°．
（1）如图1，若∠ADC和∠ABC的平分线交于点O，求∠BOD的度数；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与四边形ABCD的外角∠EDC的平分线交于点P，求∠BPD的度数；
（3）如图3，若DG、BH分别是四边形ABCD的外角∠CDE、∠CBF的平分线，判断DG与BH是否平行，并说明理由．
5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F．试说明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．
6．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．
（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝ °；∠E＝ °； （2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为 ．