概率论与数理统计(二)

第一章 随机事件及其概率

1． 事件的关系与运算

必然事件：—随机试验全部结果构成的集合。

不可能事件： 一般事件A：A

若A、B为两事件 若AB，则其蕴含：“A发生导致B发生”。

若ABAB，这表示A发生时，B必不发生，反之亦然。 若 A-B=A，则AB=φ； 若 AB=A，则AB； 若A∪B＝A，则BA。

若A1,A2,An为n个事件，由它们的运算可产生诸多新事件，如

A,A,AA等等。

iiiii1i1i1i1nnn例1 事件

。 A发生等于“A,A,A至少有1个发生”

in12ni12．常用概率公式

（1）OP(A)1，P()1，P()0 （2）若AB，则P(A)P(B)

（3）P(AB)P(A)P(B)P(AB)；当AB，则P(AB)P(A)P(B)

P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)

（4）P(A)1P(A)

（5）P(AB)P(A)P(AB)

（6）若A1,A2,An两两互不相容，则P(（7）若A1,A2,An相互，则

A)P(A)

iii1i1nnP(Ai)P(A1)P(A2)P(An)

i1nnP(Ai)P(A1)P(A2)P(An)

i1

例2 设P(A)0.2,P(B)0.4,P(AB)0.1

则P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)0.5

P(AB)P(AB)P(A)P(AB)0.1

3．古典概型

古典概型：当随机试验的结果为有限个且诸结果等可能发生时，任一事件A的概率为

P(A)

rA的样本点个数 n的样本点个数例3 从五个球（其中两个白球、三个红球）中任取两球，设A：取到两个白球；B：一白一红球，求P(A),P(B) （1）无放回抽样：

P(A)C2C52211 103 5P(B)C2C3C521（2）有放回抽样：每次有放回的取一球，连取两次

2P(A)()2

523P(B)C21()()

55［注］：若设X为两次有放回取球中取到白球数，则X～B(2,)，从而P(A)P(X2)C2()(1)

2522512521

4．条件概率

（1）若P(B)0，则P(AB)P(AB)，其中A为任一事件。 P(B)（2）乘法公式：P(AB)P(A)P(BA) P(B)P(AB)

P(ABC)P(A)P(BA)P(CAB) （其中P(AB)0）

例4 箱中有两白球、三红球，Ai表第i次取到白球，则

P（“前两次取到白球”）P(A1A2)P(A1)P(A2A1)211 5410233 5410P（“第一次取到白球，第二次取到红球”）P(A1A2)P(A1)P(A2A1)

（3）全概率公式：设B1,B2,Bn是一完备事件组（或的一个划分），即：BiBj，ij,i,j1,2,,n（即诸Bi互不相容）且

Bi1ni，则对任一事件A有P(A)P(ABi)P(Bi)

i1n（4）Bayes公式 P(BKA)P(BK)P(ABK)P(B)P(AB)iii1n

例5 某工厂生产的产品以100个为一批，在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的，设每批产品中的次品最多不超过4个，并且恰有i(i1,2,3,4)个次品的概率如下

（1）求各批产品通过的概率；（2）求通过检查的各批产品中恰有i个次品的概率。(i1,2,3,4)

解：（1）设事件Bi是恰有i个次品的一批产品(i1,2,3,4)，则由题设

P(B0)0.1,P(B1)0.2,P(B2)0.4,P(B3)0.2,P(B4)0.1

设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则我们有P(AB0)1

10C99P(AB1)100.900

C1001010P(AB2)C98/C1000.809 1010P(AB3)C97/C1000.727 1010P(AB4)C96/C1000.652

4由全概率公式，即得P(A)P(B)P(AB)0.8142

iii0（2）由Bayes公式，所求概率分别为

0.110.123

0.81420.20.9P(B1A)0.221

0.81420.40.809P(B2A)0.397

0.81420.20.727P(B3A)0.179

0.81420.10.652P(B4A)0.080

0.8142P(B0A)

5．事件的性

（1）定义：A、B相互等价于P(AB)P(A)P(B)

（2）若A1,A2,,An相互，则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)

（3）有放回抽样中的诸事件是相互的。

例6 袋中有3白球，2个红球，今有放回的抽取3次，求先后抽到（白、红、白）的概率 解：设Ai表第i次抽到的白球，则所求为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)

（4）在n重贝努利（Bernoulli）试验中，若每次试验事件A发生的概率为，即P(A)p(0p1)，则事件A发生K次的概率为Pn(k)Cnpk(1p)nk,k0,1,2,,n

例7 一射手对同一目标射击4次，每次射击的命中率为0.8，求：（1）恰好命中两次的概率；（2）至少命中一次的概率。

解：由于每次射击相互，故本题可视为n4的贝努利试验，其中p0.8

k32327 555125（1）设A2：“4次射击恰命中两次”，则P(A2)P4(2)C4(0.8)2(0.2)20.1536 （2）设B：“4次射击中至少命中一次”，A0表“4次皆未命中”，则

2P(B)P(A0)1P(A0)1P4(0)1C4(0.8)0(0.2)40.9984

0第二章 随机变量及其概率分布

1． 离散型随机变量

P(Xxk)pK0 p1KK例1 设 ，则c10.50.20.3

2．常见离散型随机变量

（1）0—1分布：设X～B(1,p)，则

应用背景：一次抽样中，某事件A发生的次数X～B(1,p)，其中pP(A)P(X1)EX

例2 设某射手的命中率为p，X为其一次射击中击中目标的次数，则X～B(1,p)

（2）二项分布：设X～B(n,p)，则P(Xk)Cnkpk(1p)nk,k0,1,2,,n

应用背景：n次重复抽样中某事件A发生的次数X～B(n,p)，其中pP(A)为事件A在一次抽样中发生的概率。

例３ 某射手的命中率为0.8，X为其5次射击中命中目标的次数，则X取的可能值为0,1,,5，

P(Xk)C2k0.8k0.25k，即X～B(5,0.8)

记住：若X～B(n,p)，则EXnp,DXnp(1p)

（3）泊松（Poisson）分布 若P(Xk)Kk!e,k0,1,2,则称X服从参数的泊松分布，且EXDX，记X～B()，0

应用背景：偶然性事件发生的次数X一般服从某个参数的泊松分布，如某地的降雨的次数，车祸发生的次数等等。 另外，当Y～B(n,p)，且n很大，P很小时，令np，则P(Yk)

例4 一个工厂生产的产品中的次品率0.005，任取1000件，计算

解：设X表任取的1000件产品中的次品数，则X～B(100,0.005)，由于n很大，p很小，令np5

kk!e

505515ee1e55e516e5 则（1）P(X2)1P(X0)P(X1)10!1!5k5（2）P(X5)e

k0k!5

3．随机变量的分布函数：X的分布函数为

F(X)P(Xx)，x F(x)的性质：①0F(x)1

②若x1x2，则F(x2)F(x1)0 ③F()0,F()1

④P(Xb)F(b)，P(aXb)F(b)f(a),P(Xb)1F(b)

abex,x0例5 设X的分布函数F(x)，其中0，则a______b=______.

x00,x解：由F()1知a1（因为F()lim(abe)a）

xxF(x)(abe)(1b)0 由F()0，及题设x0时F(x)0，故limx01ex,x0综上有F(x)，即a1,b1

x00,

x10,例6 设X的分布函数F(x)lnx,1xe

1,xe求 P(X2),P(0X3),P(2X2.5) 解：P(X2)F(2)ln2

P(0X3)F(3)F(0)101

P(2X2.5)F(2.5)F(2)ln2.5ln2ln1.25

4． 连续型随机变量

若P(X(a,b))此时，F(x)baf(x)dx，其中ab任意，则称X为连续型随机变量。

xf(u)du；f(x)F(x)

PK0f(x)0其中 f(x)为X的概率密度，满足（注意与分布律的性质：相对照）

P1Kf(x)dx1K

c,x1例7 设X的概率密度为f(x)，则c=________

0,x111解：由f(x)dx1知cdx2c1，故c

12

5．常见连续型随机变量

xa0,1xa,axb（1）均匀分布：设X～U(a,b)，则f(x)ba，F(x),axb

ba0,其他xb1,ab(ba)2EX，DX

212

例8 设X～U(a,a)，且P(X1)1，则a=______ 3解：易知a1且

a1a111f(x)dx，即dx 解得a3

12a33ex,x01ex,x0（2）指数分布E()设X～E()，则f(x)，F(x)

x0x00,0,EX1，DX12

应用背景：描述电子元件，某类动物的寿命，或服务时间等。

例9设X为某类电子元件的寿命，求这类元件已经使用t时，仍能正常工作的概率（设X～E()） 解：由题意所求为P(Xt)

（3）正态分布N(,2)，设X～N(,2)，则

texdxet

1(x)2/22f(x)e，x

2F(x)f(u)du，EX,DX2

x特别，当X～N(0,1)时，称X服从标准正态分布，其密度函数记为(x)x**12ex2/2分布函数记为

(x)(u)du

常用公式：①若X～N(0,1)，则(x)1(x)，(x)(x)

*P(X*0)P(X*0)(0)P(X*a)2(1(a)) P(X*a)2(a)1

1 2P(X*1.96)0.975，P(X*uα)α *

2②若X～N(,)，则P(aXb)(b)(a)

F(x)(

x)

6.简单随机变量函娄的概率分布

例10 设

，求YX的概率分布。

22解：由题设，X的可能值为1,0,1，故X的可能值为0,1

而P(Y0)P(X20)P(X0)1 3P(Y1)P(X21)P((X1)(X1))P(X1)P(X1)故

例11 设X～N(0,1)，求YX的分布密度函数

解：先求Y的分布函数：FY(y)0，当y0；当y0时

22 3FY(y)P(X2y)P(yXy)(y)(y)

再求Y的分布密度函数

fY(Y)FY(y)((y)(y))

(y)12y(y)12y12y

1y(y)ey/2(y0)

0,y0故fY(y)1

ey/2,y02y

第三章 随机变量及其概率分布

1． 二维随机变量(X,Y)

(X,Y)的分布函数F(x,y)P(Xx,Yy)

X的分布函数F1(x)limF(x,y)F(x,)

yY的分布函数F2(y)limF(x,y)F(,y)

xxlimF(x,y)0limF(x,y)

y

2． 离散型(X,Y)的分布律Pij

PijP(Xxi,Yyi)0PK0 （与比较） P1P1ijKKijPiP(Xxi)Pij

jPjP(Yyi)Pij

i

例１ 设(X,Y)的分布律为

求（1）a? （2）P(X0) （3）P(Y2) （4）P(X1,Y2) （5）P(XY)

解：（1）由

Pijij1知Pij(P01P02P03P11P12P13)0.10.10.30.25a0.251

i0j113解得a0 （2）P(X0)Pj130jP01P02P030.10.10.30.5

（3）P(Y2)P(Y1)P(Y2)P1P2PPi1i0i011i2(0.10.25)(0.10)0.45

（4）P(X1,Y2)P(X0,Y2)P(X0,Y1)P(X0,Y2)P01P020.10.10.2 （5）P(XY)P110.25

3． 连续型(X,Y)的分布密度

f(x,y)0设D为平面上的区域，f(x,y)为(X,Y)的分布密度，则其满足：

f(x,y)dxdy1P((X,Y)D)f(x,y)dxdy

D特别，F(x,y)P(Xx,Yy)xyf(u,v)dudv

2F(x,y)f(x,y)

xy若X，Y相互，则有F(x,y)F1(x)F2(y)，f(x,y)f1(x)f2(y)，其中F1(x),f1(x)分别为X的边缘分布函数和分布密度，F2(y),f2(y)分别为Y的边缘分布函数和分布密度。

4．常见二维连续型分布

（1）平面区域D上的均匀分布：设D的面积为SD，(X,Y)服从D的均匀分布，则(X,Y)的分布密度为

1,(x,y)D f(x,y)SD0,其他

例2 设D(x,y):xy1，即D为xy平面上的单位园域，则SD，设(X,Y)服从D上的均匀分布，

22122,xy1则其f(x,y)π *

0,其他解：设(X,Y)具有D上的均匀分布，A为平面上的某一区域，则P((X,Y)A)公共部分的面积。

例3 （续例2）求P(X0,Y0)

SAD，其中SAD表示A与DSD1解：P(X0,Y0)4

4（2）二维正态分布N(1,2,1,2,ρ) *，设(X,Y)具有该分布，则其概率密度为

22f(x,y)*

1212(x1)2(x1)(y2)(y2)21exp2ρ 22221222(1ρ)11ρx,y,10,20,P1,i,i1,2

此时X的边缘密度f1(x)121ee(x1)2/212，即X～N(1,1) 故EX1,DX1

22Y的边缘密度f2(y)122(y2)2/222，即Y～N(2,2)，故EYM2，DY2

22P为X，Y的相关系数，可知当P0时，f(x,y)f1(x)f2(y)，即X，Y相互，这是一个重要结论： 在正态分布的场合：不相关等价于相互。

另外，可知Cov(X,Y)ρDXDYρ

例4 设X～N(0,4)，Y～N(1,1)，两者相互，求(X,Y)的分布密度f(x,y) 解：由X,Y相互知(X,Y)～f(x,y)f1(x)f2(y) 12 *

121ex2/(24)12e(y1)2/2

1x212exp(y1) 424

第四章 随机变量的数字特征

1． 单个随机变量的期望

xiP(Xxi),X为离散型EXi

xf(x)dx,X为连续型

例1 设 ，则EX1

111103 2444112x,0x1x32例2 设X的分布密度为f(x)，则EXxf(x)dxx(2x)dx2xdx20030,其他102 3

2． 单个随机变量函数的期望

设X为随机变量，yg(x)是普通函数，则Yg(X)是随机变量，且

g(xi)p(Xxi),当X为离散型Eg(X)i *

g(x)f(x)dx,当X为连续型，且X具有密度f(x)

例3 设X的分布如例1，求g(X)X3的期望 解：EX

例4 设X的分布密度f(x)如例2，求g(X)3(1)3111250333 2444X的期望

1解：E(X)xf(x)dx105/21x4x2xdx2x3/2dx2

05132022当g(x)(x)（其中EX）时，Eg(X)E(X)DX，即为X的方差

(xi)2P(Xxi)DXE(X)2EX22i

(x)2f(x)dx

例4 设

则 EX(1)111110，EY10100 222211DXEX2(EX)2EX2(1)2121

2211DY(10)2(10)2100（方差大者，取值分散）

2222［注］：DXEX(EX)是重要常用公式

1x,1x0例5 设随机变量X具有概率密度f(x)1x,0x1，求DX

0,其他解：因f(x)是分段函数，故求EX,EX2时也要随之分段积分

EXxf(x)dxx(1x)dxx(1x)dx0

1001EX2x2f(x)dxx2(1x)dxx2(1x)dx10011 6于是DXE(X)(EX)

221 63．(X,Y)函数的期望

设Zg(x,y)是普通函数，则Zg(X,Y)是随机变量，其数学期望EZ等于

g(xi,yi)P(Xxi,Yyj)g(xi,yj)Pij,当(X,Y)为离散型ijijEZEg(x,y)

g(x,y)f(x,y)dxdy,当(X,Y)为连续型，且具有分布密度f(x,y)

例6 设(X,Y)分布律为 ，Zg(X,Y)XY

则E(XY)(00)P00(01)P01(10)P10(11)P11(11)P111

例７ 设(X,Y)的分布密度f(x,y)11 662,0x1,0yx，则

0,其他Eg(X,Y)E(XY)1xyf(x,y)dxdy

1x00xxy2dxdy2x(010y2ydy)dx2x()dx

0201xx43 xdx04101 4当g(x,y)(x1)(y2)时，其中1EX,2EY，则

E(g(X,Y))E(X1)(Y2)是X，Y的协方差，即

Cov(X,Y)E(X1)(Y2)

E(XY)EXEY （重点）

当g(x,y)(x1)(y2)12时，其中EX1,EY2,DX1,DY2

22(X1)(Y2)E(X1)(Y2)Cov(X,Y)Eg(X,Y)E1212期望E()的重要性质 （1）ECc （常数） （2）E(CX)CEX

（3）E(XY)E(X)E(Y)

推广：E(aXbYc)aEXbEYc （4）若X，Y相互，则E(XY)EXEY 方差D()的重要性质 （1）D(c)0

D(Xc)DX，其中c为常数

（2）D(cX)c2DX 特别D(X)D(X)

（3）若X，Y相互，则D(XY)DXDY D(XY)DXDY D(aXbY)a2DXb2DY（4）D(XY)DXDY2Cov(X,Y)

例８ 设X，Y相互，且DX3,DY4，则

D(XY)DXDY7

ρ *为X，Y的相关系数 12

D(3X4Y)32DX(4)2DY91

协方差Cov(,)的运算性质： （1）Cov(X,Y)Cov(Y,X)

（2）Cov(aX,bY)abCov(X,Y)，其中a，b为常数 （3）Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)

（4）若X，Y相互，则Cov(X,Y)0，从而P0，即X与Y不相关

［注］：一般地，若X，Y，则X，Y必不相关（即Cov(X,Y)0）；反之不真，即X，Y不相关推不出X，Y。

重要特例是：若(X,Y)为正态分布，则X，Y等价于X，Y不相关（即P0）

例９ 设(X,Y)的分布律为 ，求EX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),Pxy 解：易知

故EX(1)1313111,EY(1)1，EX2111, EY2111 4424421313DXEX2(EX)21()2，DY1()2

2424

11111Cov(X,Y)E(XY)EXEY(1)1()()

22224ρXY

例１０ 设(X,Y)～N(1,1,4,9,

例１１ 设(X,Y)为连续型，则X与Y不相关的充分必要条件是_______（选择题）

（A）X，Y （B）E(XY)EXEY （C）E(XY)EXEY （D）(X,Y)～N(1,2,1,2,0)

22Cov(X,Y)0.251 *

DXDY0.750.75311)，则Cov(X,Y)ρ12233 * 22解法1（排除法）：排除（A），因X，YX,Y不相关（故非充要条件）；排除（B），这一等式成立不需任何条件；排除（D），由(X,Y)服从正态分布及P0知X，Y，从而不相关，但并非正态场合才有这一结论故选（C）

解法2（直接证明）：当E(XY)EXEY时，Cov(X,Y)E(XY)-EXEY0，故X，Y不相关；反之亦然。

第五章 大数定律与中心极限定理

1． 贝努利大数定律

贝努利大数定律：设P(A)P，

nAn为A在n次观测中发生的频率，则对任给的正数有limP(AP)1

nnn2． 中心极限定理

设X1,X2,相互，同分布，从而它们有相同的期望和相同的方差

2nXinlimPi1x(x)，其中(x)为标准正态分布函数

nn［注］：中心极限定理的含义是：大量随机变量的和近似正态分布，即当n很大时

Xi1ni近似某正态分布N(,)，

2为了便于查表近似计算，将

Xi1ni1ni标准化（从而标准化后其近似分布N(0,1)）

nXEXiii1i1nDXii1nXin

nnXinx(x) 故上述随机变量的分布函数Fn(x)(x)，即Pi1n在应用中心极限定理，大多用上式的形式

更进一步的特别场合为：若X1,X2,相互同B(1,P)分布时，上式化为

nXinpPi1npqx(x)(q1p)

这一式子在应用也较为常用

例1 计算机进行加法计算时，设所取整误差是相互的随机变量X1,X2,，且都服从(0.5,0.5)，求300个数相加的误差总和的绝对值小于10的概率。

解：易知第

i

个加数的误差Xi满足：Xi～(0.5,0.5)，EXi0,DXi1，故121300300n0DXiDXi30025

12i1i1300X0i300故所PXi10Pi122(2)10.9544 1i130012

第六章 统计量及其抽样分布

1．设总体X～F(x),f(x)

则其样本x1,x2,,xn相互，同分布F(x)，n为样本容量 从而(x1,x2,,xn)～F(x1,x2,,xn)F(x)F(x)F(xi1i1nnn)

～f(x1,x2,,xn)

例1 设总体X～N(,)，则f(x)2f(x)f(x)f(xi1i1n)

12e(x)2/22从而其样本的联合密度函数为

21(x1,,xn)～f(x1,,xn)2n1exp22(x) ii1n

2．常见统计量

常见统计量：设总体为X，x1,x2,,xn为其样本，EX,DX2 不含任何未知参数的样本(x1,,xn)的函数称为统计量

21n（1）样本均值xxi，Ex，DX，这结论对任何总体都成立。

nni1进一步的，若总体X～N(,)，则X～N(,22n)，从而U2x/n～N(0,1)

1n1n22（2）样本方差S(xix)，Sn(xix) n1i1ni12ES22，ESnn12 n2（3）若总体X～N(,2)，则有x与s相互，且

x2(n1)s2212(xi1n2ix)～x2(n1)

txs/n～t(n1) *

22（4）若总体X与总体Y相互，x1,,xn与Y1,,Ym分别为其样本，X～N(1,1)，Y～N(2,2)

S121n1m1n1m22(yiy)，其中xxi，yyi，则 (xix),S2m1ni1mi1n1i1i12U(xy)(12)2221n22~N(0,1)

mFS1/122S2/2～F(n1,m1)

22进一步的，若12，则有

t(xy)(12)Sw11nm～t(mn2)

其中Sw

2(n1)S1(m1)S2 nm2223.关于x2,t,F分布的密度曲线及分位数

（1）x分布

2

若x～x2(n)，则Ex2n,Dx22n，P(x2x(n))

22从而P(x2x(n))1 而F分布的密度曲线与上图相似。 （2）t分布

2

若t～t(n)，则Et0

P(tt(n))

t分布的密度曲线f(x)关于y轴对称，故有t(n)t1(n)

例２ 设总体X～U(1,1)，x是容量n的样本均值，求E(x),D(x)

1221，0,2 解：由总体X～U(1,1)，知EX0，DX3123故 Ex0，DX

2n1/31 n3nn例３ 设总体X～N(,)，x1,x2,,xn为其样本，则E(xix)2(n1)2

i12证明：∵

12(xi1nnix)2～x2(n1)

21∴E2(xix)(n1) i12n2即 E(xix)(n1)

i1

第七章 参数估计

1．矩法估计：矩估计的实质是用样本矩作为总体相应矩的估计量

设X为总体，EX，DX，x1,x2,,xn为其样本

2ˆx 则的矩估计 ˆ2Sn2的矩估计 

例1 设总体X～N(,)，其中,皆未知，x1,x2,,xn为其样本，求,的矩估计

22221n(xix) ni12ˆx 解：因为EX，故ˆ2Sn DX，故

例2 设总体X～U(0,)，0未知，求的矩估计 解：因为EX

例3 设总体X～B(1,P)，其中0P1，未知x1,x2,,xn为其样本，求P的矩估计

222，故

2ˆ2x，即为的矩估计 x（矩法方程），由此解得ˆx 解：由EXP，故P的矩估计P

2．极大似然估计

设总体X，具有概率密度函数f(x;)，○H 其中为未知参数，其变化范围为○H，x1,x2,,xn为其样本，则似然函数为

nL()f(xi;)

i1若存在ˆL使L(ˆL)max｛L(),○H｝，则称ˆL为的极大似然估计 n一般求法：①由题设，求出L()f(xi;)的表达式

i1n②取对数：lnL()lnf(xi;) *

i1③求导并令其等于0，建立似然方程

ddlnL()0 * ④解之即得的极大似然估计ˆ2

4 设xxx(1)例,x11,2,,xn是总体X的样本，总体概率密度为f(x;),0,其他求 的矩估计ˆ1和极大似然估计ˆ2 (1)解：（1）由EX1xxdxxˆx 解得ˆ11x1为之矩估计 nn(1)（2）似然函数L()f(x(1)i;)inni1xi1xi

i1nlnL()nln(1)lnxi *

i1dlnL()ndnnlnxiˆ0 解得的极大似然估计ˆ2n

i1lnxii1

例5 设总体X～U(0,)，0，x1,x2,,xn为其样本，求的极大似然估计ˆ(1)

解： 由于按常规方法建立的似然方程无解，故用极大似然估计的定之

设x(n)maxx1,x2,,xn 欲使似然函数L()

f(xi;)i1n1nˆx(n)即可 达最大，取1,0x1,x2,,xn［注］L()n

0,其他

3．估计量的评价标准

ˆ，则ˆ为的无偏估计 （1）无偏性：若Eˆ、ˆ皆为之无偏估计，且Dˆ有效 ˆDˆ，则称ˆ较（2）有效性：若121212ˆ，limDˆ0，则称ˆˆ(x,,x)满足limEˆ为之相合估计 （3）相合性：若的估计量nnn1nnnn

4．参数的区间估计

设总体X～N(,)，x1,x2,,xn为其样本 则的置信度(1)的区间估计为

22（1）已知时；xnu/2,xu/2 nsst(n1),xt(n1) （2）未知时；xn2n22（见书中P.162表）

例6 设总体X～N(,)，且4,x12,n122，则的0.95置信区间为

24xu121.9611.347,12.653 12n2

［注］请查看教材中正态总体参数的区间估计一览表

第八章 假设检验

1． 假设检验的基本思想：小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的

例1 设总体X～N(,1)，其中未知，x1,x2,,xn为其样本

试在显著性水平下检验假设

H0:0；H1:0

这里，即为小概率事件的概率，当H0:0真时，u则 P(uu/2)

即事件(uu/2)即为小概率事件，当它发生时，即认为原假设H0不真，从而接受对立假设H1:0

x0/nx01/n～N(0,1)

2． 两类错误

以例1为例，上述u错误：

第一类错误：P（拒H0H0真），也即检验的显著性水平 第二类错误：P（接受H0H0不真）P（接受H0H1真）

在样本容量n固定时，,相互制约，当减小时，的值会增大，反之亦然。

x01/n的取值完全由样本x1,,xn所决定，由于样本的随机性，假设检验可能犯以下两类

3．正态总体N(,2)参数的假设检验

（1）首先要会判断所讨论问题是否为假设检验问题

例2 从一批灯泡中随机抽取50个，分别测得其寿命，算得其平均值x1900（小时），样本标准差s490（小时），问可否认为这批灯泡的平均寿命（）为2000小时。

分析：本题中虽然没说总体（寿命）服从什么分布，但由于样本容量n50，可按正态总体处理，“可否认为平均寿命为2000小时”等价于作检验H0:2000

（2）检验问题主要是对提出的假设检验确定出检验的拒绝域，这可参考指定教材第八章正态总体检验一览表。