高中数学专题系列--三角函数讲义

SCE金牌数学专题系列

】

专题：三角函数

§1.1.1、任意角

1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合：§1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 2k,kZ.

l. rnRnR21R. 4、扇形面积公式：S3、弧长公式：llR. 1803602§1.2.1、任意角的三角函数

1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y，那么：siny,cosx,tan—

y x

（设r为角终边上任意一点，那么：

2、 设点Ax,y sinx2y2）

yxyx，cos，tan，cot

rxry3、 sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.

yT正弦线：MP; P余弦线：OM; 正切线：AT OMAx

—

5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.

， 3   23 34  0 2 223 、 sin ！ @ cos

tan \"

：

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

1、 平方关系：sincos1 2、 商数关系：tan§1.3、三角函数的诱导公式

（概括为“奇变偶不变，符号看象限”kZ） ； 1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： sin2ksin,22sin. 3、 倒数关系：tancot1 coscos2kcos,（其中：kZ） tan2ktan.3、诱导公式三： sinsin, coscos, tantan.4、诱导公式四： sinsin, coscos, tantan.5、诱导公式五： sinsin, coscos, tantan.【 sincos,2cossin.26、诱导公式六： sincos,2 cossin.2

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 yy=sinx 37-5-1 2222o4-2-3-253 -4-7-3，

y=cosxx-4-72-5-32--2-32-2y1-1o232252732422-1x22

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. ；

3、会用五点法作图.

0，ysinx在x[0,2]上的五个关键点为：（0）（，，1）（，，0）（，23，-1）（，2，0）. 2

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 { ysinx ycosx ytanx 图象 定义域 值域 R [-1,1] x2k… R [-1,1] 2. {x|x2k,kZ} R 无 】,kZ时，ymax1 最值 x2k2 ,kZ时，ymin1x2k,kZ时，ymax1x2k,kZ时，ymin1周期性 T2 T2 偶 22 T 奇 在[2k,2k]上单调递增 奇偶性 奇 单调性 在(k,k)上单调递增 , 22kZ 在上单调递减 [2k,2k]在[2k,2k3]上单调递减 22[在[2k,2k]上单调递增 对称性 对称轴方程：xk 2kZ 对称中心(k,0) 对称轴方程：xk对称中心(k无对称轴 对称中心(2k2,0) ,0)

§1.4.3、正切函数的图象与性质 y）

yy=cotxy=tanx 33xo--3-xo-2-2222222

1、记住正切函数的图象 2、记住余切函数的图象： 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

?

§1.5、函数yAsinx的图象 1、对于函数：

振幅A，周期TyAsinxBA0,0有：2、能够讲出函数ysinx的图象与

2，初相，相位x，频率f1T2.

yAsinxB的图象之间的平移伸缩变换关系.

① 先平移后伸缩： ~② 先伸缩后平移： 个单位 ysinx 平移||ysinx yAsinx ysinx 横坐标不变 yAsinx 纵坐标变为原来的A倍 （左加右减） 纵坐标不变 横坐标变为原来的|yAsinx 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 1|倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的|平移|B|个单位 （上加下减） , yAsinx :平移个单位 yAsinx 1|倍 （左加右减） 平移|B|个单位 （上加下减） yAsinxB yAsinxB

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期T2；||函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0)的周期T. ||对于yAsin(x)和yAcos(x)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数yAsin(x)图像的对称轴与对称中心，只需令xk2(kZ)与

xk(kZ)

-

解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.

4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：A

ymaxyminyymin，Bmax. 22

要根据周期来求,要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用 （要求熟悉课本例题.）

§3.1.1、两角差的余弦公式 ·

记住15°的三角函数值：

 cos sin 12tan （ 624 624 23 §3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sinsincoscossin 2、sinsincoscossin 3、coscoscossinsin 4、coscoscossinsin 5、tan6、tan、

tantan1tantan. tantan1tantan.

22§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、sin22sincos， 2、cos2cossin

22cos1 变形： sincos1. sin222 12sin.

21cos22cos 升幂公式：

21cos22sincos21(1cos2)2降幂公式：

21sin(1cos2)23、tan2\\

sin21cos22tan. 4、tan

21cos2sin21tan

§3.2、简单的三角恒等变换

1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式 yasinxbcosxa2b2sin(x) （其中辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

定,tanb ). a

解三角形

1、正弦定理： ：

abc2R.

sinAsinBsinC（其中R为ABC外接圆的半径） a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;

sinAabc,sinB,sinC; 2R2R2Ra:b:csinA:sinB:sinC.

用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；

⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

：

2、余弦定理： a2b2c22bccosA,222bac2accosB, c2a2b22abcosC.b2c2a2,cosA2bca2c2b2, cosB2aca2b2c2.cosC2ab用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵已知三角形三边，求其它元素。 .

做题中两个定理经常结合使用.

3、三角形面积公式： SABC111absinCbcsinAacsinB 2224、三角形内角和定理：

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB). 2225、一个常用结论： 在ABC中，absinAsinBAB;

！

若sin2Asin2B,则AB或AB2.特别注意，在三角函数中，sinAsinBAB不成立。

链接高考

一、选择题

1.【2012高考安徽文7】要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos2x的图象 （A） 向左平移1个单位 （B） 向右平移1个单位 （C） 向左平移

2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，0，直线x条相邻的对称轴，则φ=

·

πππ3π（A） （B） （C） （D）

4324

x(0x9)的最大值与最小值之和为 3.【2012高考山东文8】函数y2sin6311个单位 （D） 向右平移个单位 224和x5是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两4 (A)23 (B)0 (C)－1 (D)13

x([0,2])是偶函数，则 3235（A） （B） （C） （D）

22334.【2012高考全国文3】若函数f(x)sin

\\

3，则sin2 512242412（A） （B） （C） （D）

252525255.【2012高考全国文4】已知为第二象限角，sin

—

6.【2012高考重庆文5】

sin47sin17cos30cos17

（A）1133（B）（C） （D）

2222

7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是

8.【2012高考上海文17】在△ABC中，若sinAsinBsinC，则△ABC的形状是（ ）

￥

222

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC、ED则sinCED（ ）

D（1）

10.【2012高考辽宁文6】已知sincos3101055 B、 C、 D、 10101015C2，(0，π)，则sin2=

EAB(A) 1 (B) ！

22 (C) (D) 1 22

11.【2012高考江西文4】若

sincos1，则tan2α=

sincos2

A. -

3344 B. C. - D. 4433212.【2012高考江西文9】已知f(x)sin(x1)若a=f（lg5），bf(lg)则 45A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1

&

13.【2012高考湖南文8】 在△ABC中，AC=7 ，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于

A．

33336339 B. C. D. 2224

14.【2012高考湖北文8】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为

A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 ！

15.【2012高考广东文6】在△ABC中，若A60，B45，BC32，则AC

A. 43 B. 23 C.

3 D.

3 2)的图像的一条对称轴是 4 A.x= B.x= C.x=- D.x=-

424216.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-

：

17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sinx（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经

4过点（

34，0），则的最小值是

5（A） （B）1 C） （D）2

331

~

二、填空题

418.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若cos，则sin(2a)的值为 ．

6512

19.【2102高考北京文11】在△ABC中，若a=3，b=3，∠A=

20.【2102高考福建文13】在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC3，则

，则∠C的大小为_________。 3AC=_______.

21.【2012高考全国文15】当函数ysinx3cosx(0x2)取得最大值时，x___________.

;

cosC，22.【2012高考重庆文13】设△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且a=1，b=2，则sinB

23.【2012高考上海文3】函数f(x)

24.【2012高考陕西文13】在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别为a，b，c，若a=2 ，B=则b= .

》

14sinx2的最小正周期是

1cosx，c=23，6

25.【2012高考江西文15】下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是_________。

%

三、解答题

26.【2012高考浙江文18】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

bsinA=3acosB。

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.

*

·

27.【2012高考安徽文16】（本小题满分12分）

设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,，且有

2sinBcosAsinAcosCcosAsinC。

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ) 若b2，c1，D为BC的中点，求AD的长。

,

￥

，

28.【2012高考山东文17】(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinB(tanAtanC)tanAtanC. (Ⅰ)求证：a,b,c成等比数列；

(Ⅱ)若a1,c2，求△ABC的面积S.

]

《

:

29.【2012高考湖南文18】（本小题满分12分） 已知函数f(x)Asin(x)(xR,0,02的部分图像如图5所示.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式； ~

（Ⅱ）求函数g(x)f(x12)f(x12)的单调递增区间.

—

30【2012高考四川文18】(本小题满分12分) 已知函数f(x)cos（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域； （Ⅱ）若f()

~

2xxx1sincos。 222232，求sin2的值。 10

。

）

31.【2012高考广东文16】（本小题满分12分） (

已知函数f(x)Acos（1）求A的值； （2）设0,

：

x，xR，且46f2 3430f4，，317228f4，求cos()的值.

35

&

32.【2012高考辽宁文17】(本小题满分12分)

在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。 (Ⅰ)求cosB的值；

(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值。

（

[

33.【2012高考重庆文19】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数f(x)Asin(x) （其中A0,0, ）在x（I）求f(x)的解析式；

>

6处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为

。 2

（II）求函数g(x)6cos4xsin2x1f(x)6的值域。

.

34.【2012高考新课标文17】（本小题满分12分） ;

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = 3asinC－ccosA (1) 求A；

(2) 若a=2，△ABC的面积为3，求b,c。

[

'

35.【2102高考北京文15】（本小题共13分） 已知函数f(x)(sinxcosx)sin2x。

sinx（1）求f(x)的定义域及最小正周期； （2）求f(x)的单调递减区间。

)

~

<

36.【2012高考陕西文17】（本小题满分12分） 函数f(x)Asin(x6)1（A0,0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

， 2（1）求函数f(x)的解析式； （2）设(0,

>

)，则f()2，求的值。 22

^

37.【2012高考江苏15】（14分）在ABC中，已知ABAC3BABC． （1）求证：tanB3tanA； （2）若cosC

5，求A的值． 5

38.【2012高考天津文科16】（本小题满分13分）

在△ABC 中，内角A，B，C所对的分别是a,b，c。已知a=2.c=2,cosA=-（I）求sinC和b的值； （II）求cos（2A+

39.【2012高考湖北文18】（本小题满分12分） 设函数f（x）=

的图像关于直线x=π对称，其中

2. 4д）的值。 3

为常数，且

1.求函数f（x）的最小正周期； 2.若y=f（x）的图像经过点

，求函数f（x）的值域。

40.【2012高考全国文17】(本小题满分10分)

ABC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足2b3ac，求A。

2