COMSOLMultiphysics⼏何建模指南
第⼀章 基本说明1.1 ⼏何体的表现形式
COMSOL Multiphysics中有两种⼏何体，组合⼏何体（缺省）和装配体。所谓的组合⼏何体指重叠的⼏何对象⾃动分解为多个求解域（与⼏何⽆关），其内部界⾯上，⼏何结构、⽹格以及物理量等⾃动相互“粘合”。装配体则表⽰重叠的⼏何对象之间没有构成关系，因此从本质上⽽⾔，不存在内部界⾯。
这两种⼏何体各有优缺点，组合⼏何体是COMSOL Multiphysics的缺省设定，优点在于：z在材料⾮连续处，物理量⾃动连续z在材料界⾯处，⾃动得到⾼精度解z在材料界⾯处，⾃动确认⽹格单元和节点其缺点在于：
z⽹格越细，内存开销越⼤
z对⼤的CAD模型⽹格剖分⽐较困难反过来，装配体的优点则在于：
z在材料界⾯处可有意定义物理量不连续，例如接触阻抗z对⼤的CAD模型⽹格剖分⽐较容易z⽹格越粗，计算越快（但精度越低）装配体的缺点：z需要更多的⼿⼯操作
z为了保证⾜够的⾼精度，需要注意边界上的⽹格密度1.2 ⼏何框架
在COMSOL Multiphysics中，所有的⼏何对象都存在于某个⼏何框架，例如1D、2D或3D⼏何等，以Geom1、Geom2依次序命名。每个框架保持独⽴，其中的⼏何对象、求解域、边界条件等完全封装。每个⼏何框架不能直接访问其他⼏何框架中的变量、因变量等，必须通过耦合变量－积分耦合变量、拉伸耦合变量和投影耦合变量等，在不同的框架中定义可相互访问的中间变量。
图 1 ⼏何框架
此外，当⽤户定义表达式的时候，也必须注意这种不同⼏何框架之间的。只有选项>全局表达式可以直接在所有的⼏何框架中被引⽤。⽽选项>标量表达式等则只能在定义该标量表达式的⼏何框架中被引⽤。
⽤户可以在模型导航窗⼝对话框中，⾸先确认已按下多物理场按钮，然后点击右侧中部的新增⼏何按钮，然后在跳出的新增⼏何对话框中，给定⼏何名称，选择所需的空间维度，独⽴变量的名称，框架名称以及单位系统等参数。
图 2 增加⼏何框架
⽤户还可以在建模的时候，在绘图平⾯设定的底部点击新增来增加⼀个2D的⼏何框架。或者在由⽹格建⽴⼏何的对话框中，直接将创建的⼏何结构放在新增的⼀个⼏何框架中。
图 3 增加⼏何框架，左：绘图平⾯，右：⽹格创建⼏何1.3 ⼏何对象
在COMSOL Multiphysics中，每个⼏何对象都有⼀个独⼀⽆⼆的标识，例如，CO1表⽰⼏何实体1，B2表⽰边2，PT5表⽰点5，还有R1、E1等。这些编号是按照各⾃的属性进⾏⾃动编号，程序会从对应属性的最⼩序号开始，查找可供编号的数字，然后⽣成编号。例如，当CO1+CO2时可能⽣成CO3，如果将CO1删除，当⽣成⼀个新的CO对象时，其名称将被定义为CO1。
在建模时，每个定义对象的对话框中，⽤户可以⾃⾏定义对象名称，但是请注意不要⽣成重名，否则会产⽣错误。1.4 如何选⽤表现形式
通常，COMSOL Multiphysics缺省使⽤组合⼏何体，因为这种情况下内部边界可以采⽤缺省的连续边界。
有时候，⼏何结构⽐较复杂，采⽤组合⼏何体时容易出现内部⼏何结构错误，或⼏何结构的各个部分有较⼤的差异（如薄壳与厚板等），或采⽤简化的⽅法模拟膜、壳等结构时需要设定该简化边界为阻抗型边界条件，或不同的求解域需要剖分成不同的⽹格，或采⽤ALE框架模拟旋转运动等的情况下，可采⽤装配体。
⽤户可以在菜单绘图>使⽤装配体，选中为装配体，缺省为不选中，即组合⼏何体。
值得注意的是，当在不同表现形式间切换时，COMSOL Multiphysics将⾃动调整求解域、边界等的编号，从⽽影响到相关的设定，⽤户需要检查所有的设定是否条例设计条件。
第⼆章 菜单及快捷键2.1 画图菜单Draw
§2.1.1 绘图对象Draw Objects
图 4 绘图对象菜单项
矩形/⽅形Rectangle/Square：在画图区域选定矩形的起始⾓点坐标，按住⿏标左键，拖动⿏标绘制⼀个矩形。按住⿏标右键，拖动⿏标，可以从起始⾓点作⼀个正⽅形。
矩形/⽅形(中⼼)Rectangle/Square(Centered)：在画图区域选定矩形中⼼的位置，按住⿏标左键，拖动⿏标可以从中⼼绘制⼀个矩形。按住⿏标右键，拖动⿏标，可以从中⼼作⼀个正⽅形。
椭圆/圆Ellipse/Circle：在画图区域选定椭圆的外切矩形⾓点的坐标，按住⿏标左键，拖
动⿏标可以从椭圆的外切矩形的⾓点绘制椭圆。按住⿏标右键，拖动⿏标，可以从圆的外切正⽅形的⾓点做圆。
椭圆/圆(中⼼)Ellipse/Circle(Centered)：在画图区域选定椭圆中⼼的坐标，按住⿏标左键，拖动⿏标可以从椭圆中⼼绘制椭圆。按住⿏标右键，拖动⿏标，可以从圆的中⼼做圆。
点Point：在坐标平⾯内，找到点的坐标位置，点击⿏标左键，可绘⼀个点。线Line：点击起点、终点，再点击右键，可以得到⼀条直线。
⼆次贝塞尔曲线2nd Degree Bezier Curve：点击起点、中间点、终点，得到⼀条⼆次贝⽒样条曲线。三次贝塞尔曲线3rd Degree Bezier Curve：点击起点、中间点、终点，得到⼀条三次贝⽒样条曲线。§2.1.2 指定对象Specify Objects⼀、2D⼏何图形
图 5 指定对象菜单项
矩形Rectangle：弹出⼀个设定矩形参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个矩形。⽤户需要指定宽度、⾼度，旋转的⾓度，基准点（左下⾓顶点或中⼼点）的类型及坐标，以及样式（实体或线）和名称。如下图是⼀个中⼼点位于原点（0,0），宽2m，⾼1m的旋转45o的实体矩形，该对象的名称为R2。
图 6 矩形参数设定对话框
正⽅形Square：弹出⼀个设定正⽅形参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个正⽅形。⽤户需要指定边长、旋转⾓、基准点类型（⾓点或中⼼点）和坐标，以及样式（实体或线）和名称。
图 7 正⽅形参数设定对话框
椭圆Ellipse：弹出⼀个设定椭圆形参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个椭圆形。⽤户需要指定长短轴半径、旋转⾓、基准点类型（⾓点或中⼼）、样式（实体或线）及名称。其中的⾓点指的是覆盖该椭圆形的最⼩矩形的左下⾓的顶点。
图 8 椭圆参数设定对话框
圆Circle：弹出⼀个设定圆形参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个圆形。其中⽤户需要指定半径、旋转⾓（⽆太⼤意义）、基准点类型（⾓点或中⼼点），以及样式（实体或线）和名称。其中⾓点的定义同椭圆的定义。
图 9 圆形参数设定对话框
点Point：弹出⼀个设定点参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个点。⽤户需要指定点的坐标和名称。⽤户可以同时在x和y编辑框中输⼊相同数量的值表⽰多个点，例如下图中x=0 1，y=0 1，表⽰在（0,0）和（1，1）各画⼀个点，共两个点。
图 10 点参数设定对话框
线Line：弹出⼀个设定线参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个线。⽤户需要指定线的坐标点（各坐标轴的数量要⼀致）、样式（区隔、多段线、关闭聚合线或关闭聚合线实体）和名称。其中区隔只允许输⼊两个点的坐标；多段线则为两个或两个以上，绘制多条曲线；关闭聚合线则是将多条线段的⾸尾连起来形成闭合的线圈；关闭聚合线（实体）则将闭合线圈组合成实体。下图为通过三个坐标点定义了两个线段，并将⾸尾相连后得到⼀个闭合的平⾯实体对象。
图 11 线参数设定对话框⼆、 3D⼏何对象
⽅块Block：弹出⼀个设定⽅块参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个⽅块。其中需要在样式
（Style）中指定绘制实体或⾯，在基准点（Base）中指定以⾓还是以中⼼为起点，然后指定基准点坐标、⽅块的边长，主轴的⽅向⽮量（迪卡尔坐标或球坐标定义⽅式），⽅块沿主轴的旋转⾓度（以度为单位）等。下图是⼀个1×2×1的长⽅体，绕着主轴为Y轴⽅向，旋转135度的⼏何实体。
图 12 ⽅块参数设定对话框
圆锥体Cone：弹出⼀个设定圆锥参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个圆锥。其中需要指定样式、基准点、锥台的底⾯半径和⾼度、主轴⽅向⽮量和圆锥的旋转⾓等。
图 13 圆锥参数设定对话框
圆柱体Cylinder：弹出⼀个设定圆柱体参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个圆柱体。其中需要指定样式、基准点、圆柱底⾯半径和⾼度、主轴⽅向⽮量和圆柱的旋转⾓度。
图 14 圆柱体参数设定对话框
椭球Ellipsoid：弹出⼀个设定椭球参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个椭球。其中需要指定样式、基准点、椭球的三个半轴长、第三半轴的⽅向和椭球的旋转⾓度。
图 15 椭球参数设定对话框
球Sphere：弹出⼀个设定球参数的对话框，⽤户在对话框中指定参数，点击确定后，根据指定的参数绘制⼀个球。其中需要指定样式、基准点、球半径等。
图 16 球参数设定对话框§2.1.3 对象属性Object properties
对象属性：选定⼀个⼏何对象，点击对象属性或双击，通常会弹出⼀个对象属性对话框，修改其参数后，⼏何对象会得到更新。§2.1.4 ⼏何属性Geometric properties
⼏何属性：选定⼀个⼏何对象，选中该菜单项后，会在⼏何属性对话框中显⽰该⼏何对象的⼏何属性，如⾯积、边长、点坐标等。⽤户通过选择不同的标签（求解域、边界、边、点等），然后选择不同的对象，得到其对应的⼏何属性。
图 17 ⼏何属性设定对话框
§2.1.5 建⽴复合对象Create Composite Object
建⽴复合对象：在Create Composite Object对话框中可以对不同的物体进⾏布尔操作，创建复合⼏何对象；也可以通过输⼊公式实现布尔操作，＋，－，和×分别表⽰合并，差集和交集。
对象类型中，⽤户可以指定经过复合运算后得到的对象是实体、线、还是点等。对象选择中，⽤户可以选择进⾏复合运算的对象。快捷键中的合并相当于＋，差集相当于－，交集相当于×。
如果⽤户需要在复合操作时保留内部边界，则需要勾上保留内部边界；如果需要修补，则需要勾上修补并设定⼀个修补公差。
图 18 创建复合对象对话框§2.1.6 分离对象Split Object
分离对象：可以把⼀个包含⼏个⼦域的实体分离，也可以分离由⼏个⾯、曲线和点构成的⾯、曲线和点。在组合⼏何体中，这个操作并不影响⼏何结构的形状和属性等，只是将⼀个⼤的组合对象分离定义成多个对象。⽽在装配⼏何体中，其内部的边界就会转变成为成对的外部边界。下图中左图只有⼀个对象CO1，经过分离对象操作后，得到三个实体对象：CO2、CO3和CO4。
图 19 分离对象
§2.1.7 删除内部边界Delete Interior Boundaries
删除内部边界：利⽤这个功能可以删除⼀个由不同⼦域组成的⼏何对象的内部边界或边。 §2.1.8 倒圆⾓/倒⾓Fillet/Chamfer倒圆⾓/倒⾓：在两个边的交点上可产⽣圆⾓/倒⾓。⽤户需要指定进⾏圆⾓/倒⾓的点，圆⾓的半径或倒⾓的长度等。下图中，左图是在CO2的第⼀个点做了⼀个半径为0.1的圆⾓，⽽右图则为在CO3的第⼀个点做了⼀个长为0.1的倒⾓。
图 20 倒圆⾓/倒⾓
§2.1.9 切线Tangent
切线：在两条曲线之间，或曲线和点之间做切线。⽤户需要指定起始端和结束端的边、端点或坐标。
图 21 切线对话框
§2.1.10 强制变化Coerce to
实体Solid：把封闭的曲线强迫成⼀个⾯。曲线Curve：把⾯强迫成曲线。点Point：把曲线强迫成点。§2.1.11 修改Modify
阵列Array：对选定的对象⽣成周期性排列的阵列，位移指定x和y⽅向的偏移量，阵列尺⼨指定x和y⽅向的阵列数⽬。下图是对⼀个正⽅形作的2×2的阵列，每⾏和每列正⽅形之间的位移均为3。
图 22 阵列对话框
镜像Mirror：选定要镜像的对象，在镜像对话框中的Point on line中输⼊对称轴的基准点，在Normal vector中输⼊对称操作的法向向量，在对称轴的另⼀侧⽣成⼀个选定对象相同的⼏何对象。注意，对称轴将与对称法向向量垂直。下图是将左侧（灰⾊）的图以Y坐标轴作了⼀个镜像得到⼀个对称的⼏何结构。
图 23 镜像对话框
移动Move：输⼊要平移的位移，平移选定的⼏何对象。⽤户需要在对话框中指定平移的坐标轴⽅向的位移。
图 24 移动对话框
旋转Rotate：输⼊旋转⾓度和中⼼点坐标，旋转选定的⼏何对象。⽤户需要指定旋转的
⾓度，旋转的中⼼点等参数。
图 25 旋转对话框
⽐例放⼤Scale：以某⼀点为中⼼对⼏何对象进⾏⽐例放缩。⽤户需要在⽐例因⼦编辑框中指定沿各个坐标轴的⽐例系数，在⽐例基准点编辑框中指定缩放时的基准点。被选中的对象将以指定的基准点，将各点与基准点的距离以指定的⽐例系数进⾏缩放。例如，在SI单位制中，以⽶为单位作图，然后⽐例缩⼩1E-3倍得到毫⽶级的⼏何对象。
图 26 ⽐例缩放对话框
§2.1.12 绘图平⾯设定Work Plane Settings
绘图平⾯设定：⼯作平⾯是⼀个放在3D空间中的2D的平⾯，利⽤⼯作平⾯可以⽅便的通过拉伸、旋转在指定坐标构建3D⼏何对象。其中有多种构建⼯作平⾯的⽅式，例如快速、平⾏⾯、边⾓、端点以及⾼级等，⽤户可以在⼀个新的2D⼏何框架或现成的2D⼏何框架上构建⼯作平⾯（在对话框下⽅的列表中选择或点击新增添加新⼏何框架）。
快速标签中，⽤户只需要指定平⾏于哪个坐标平⾯，且在另⼀个坐标轴上的坐标即可指定⼀个⼯作平⾯。
平⾏⾯标签中，⽤户可以从已经构建好的3D对象中，选择⼀个平⾯，然后指定向该平⾯的上⽅或下⽅，偏移指定的距离构建⼯作平⾯。边⾓标签中，⽤户⾸先需要选择已经存在的某些边或某些⾯，然后指定选中的⾯与⼯作平⾯之间的夹⾓，并指定向上或向下偏移，构建⼀个⼯作平⾯。
端点标签中，⽤户需要选择已经存在的三个点，通过点击“>>”按钮添加到选中的端点，或点击“<<”取消选中，然后指定⼯作平⾯的向上或向下偏移，以及偏移量，构建⼀个⼯作平⾯。
⾼级标签中，⽤户需要指定三个坐标点，然后程序按照这三个点构建⼀个⼯作平⾯。
图 27 绘图平⾯对话框
§2.1.13 嵌⼊Embed
嵌⼊：⼀个2D⼏何对象可以被插⼊到3D⼏何模型中，插⼊的2D⼏何对象在3D⼏何模型中仍然保持它的2D属性。也可以插⼊点对象、曲线对象和实体。下图的右图中，通过嵌⼊功能，向圆柱中嵌⼊了⼀个正⽅形平⾯。
图 28 嵌⼊设定对话框§2.1.14 拉伸Extrude
拉伸：2D的⼏何对象可以通过拉伸得到3D的实体，点也可以通过拉伸变成线，线可以拉伸成⾯。⽤户需要⾸先选中被拉伸的对象，然后指定拉伸后得到的⼏何对象所处的⼏何框架及名称。
在拉伸的参数中，⽤户需要指定拉伸的距离，在x和y轴⽅向的缩放⽐例，在x和y⽅向的偏移量，扭转的⾓度（以度为单位），是否需要保留截⾯上的边界等。下图是将⼀个单位正⽅形拉伸5⽶⾼，其中在x⽅向缩⼩0.5倍，并偏移0.5⽶，整个结构扭转45度。
图 29 拉伸设定对话框§2.1.15 旋转Revolve
旋转：2D⾯绕着某个对称轴可以旋转成3D实体，也可以旋转点、线。⽤户需要选择被旋转的对象，旋转后的⼏何结构的名称及所处⼏何框架，旋转的⾓度（起始⾓和结束⾓），旋转轴上的点（两个），或⼀个点和⾓度等。下图是⼀个从单位正⽅形绕其中⼀条边，旋转45~270度形成的旋转体。
注意，旋转的基准轴必须在被旋转的⼏何对象外⾯！
图 30 旋转设定对话框